Путь, пройденный телом
Если тело движется неравномерно в
одном направлении и скорость его меняется в
зависимости от времени t,
т.е.
,
то для того чтобы найти путь, пройденный телом за
время от t1 до t2
разделим промежуток этого
времени на n равных и
очень малых частей
. В каждой из этих частей скорость
можно приближенно считать постоянной и равной
значению скорости в конце этого промежутка.
Тогда путь, пройденный этим телом, будет
приблизительно равен сумме:
Если функция
непрерывна, то
Итак:
Упражнения для работы на уроке.
1. Скорость движения
меняется по закону 
(м/с). Найдите длину пути,
пройденного телом за третью минуту его движения.
Решение. 
2. Скорость движения
тела меняется по закону 
(см/с). Найдите
путь, пройденный телом за 4 с от начала движения.
Решение.
(см).
3. Тело брошено
вертикально вверх со скоростью, которая
изменяется по закону 
(м/с). Найдите наибольшую
высоту подъема.
Решение. Найдем время, за которое
тело, поднималось вверх: 
(м).
4. Найдите длину пути,
пройденного телом от начала движения до
остановки, если его скорость изменилась по
закону 
(м/с).
Решение. Найдем время движения тела: 
(c).
Значит:
(м).
Работа силы.
Пусть на тело, движущееся по прямой ОХ,
действует сила F, которая
меняется в зависимости от пройденного пути, т.е. 
Для
того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от a до b,
разделим этот отрезок на n
равных и очень малых частей 
В каждой из этих
частей можно приближенно считать силу, равную ее
значению в конце этого промежутка. Тогда работа,
совершенная этой силой на участке от a до b,будет
приблизительно равна сумме:
Если функция 
непрерывна, то 
Итак:
- Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?
- Сила в 60 Н достаточна, чтобы растянуть пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины 14 см. Какую работу надо совершить, чтобы ее растянуть до 20 см?
Решение. По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е.: F=Rx.
Из условия задачи R=
и, следовательно,
Значит: 
Решение. R =
и, следовательно,
Растянуть пружину надо на 0,06 (м). Отсюда
Энергия заряженного конденсатора.
Пусть конденсатор электроемкостью С включается в цепь с напряжением U0. Требуется найти энергию заряженного конденсатора.
Заряд конденсатора будет функцией
напряжения: q=CU,
следовательно, величина заряда меняется от q=0 до q0=CU0. Разобьем заряд на n равных порций
q и найдем работу
по зарядке конденсатора. Приближено она равна
сумме работ, совершаемых при перемещении в
электрическом поле каждой порции заряда:
Отсюда 
Энергия заряженного конденсатора
равна работе по зарядке конденсатора: 
1. Найдите энергию конденсатора емкостью С=200 (мкФ), если напряжение на обкладках равно U0=1200 (В).
Решение.
200 мкФ=
Напряжение на
конденсаторе в процессе зарядки:
Конечный заряд: 
Энергия заряженного конденсатора:
Задача. Сила тока в цепи с
конденсатором меняется по закону
где
амплитуда тока 
Найдите заряд, накапливающийся на
пластинах конденсатора с начального момента
до
момента времени а) 
; б) 
Объясните
полученный результат.
Решение. По определению, сила тока
есть производная заряда по времени. Чтобы найти
заряд, нужно найти интеграл 
:
а)
;
б)
Конденсатор первую четверть периода заряжается, вторую четверть периода разряжается, и к концу полупериода заряд равен 0.
Задача. Из шахты глубиной 
м надо поднять клеть весом Р=104 Н,
которая висит на канате, намотанном на барабан.
Вычислите работу, необходимую для поднятия
клети, если вес одного погонного метра каната Р=20
Н.
Решение. Найдем работу по поднятию
клети
(Дж). Работа
по поднятию каната пропорциональна весу каната,
т. е.
или(Дж).
Значит, полная работа будет 106+105=11 • 105 (Дж.)
Задача. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5-104 Н на 1 см. Какую работу надо затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).
Решение. F=Rx, где х — величина
деформации. При х=0,01 м имеем: R =
Отсюда: 
Задача. Два электрических заряда е1= +30 К и е2= +40 К находятся на расстоянии 0,2 м друг от друга. Вычислите работу силы отталкивания зарядов, если заряд e1 закреплен, а заряд е2 удалился под действием силы отталкивания на 0,5 м.
Решение. По закону Кулона
Отсюда: 
Задача. В цилиндрическом сосуде
находится воздух нормального давления (
), который расширяется
изотермически (при постоянной температуре).
Определите работу, совершаемую силой Р давления
газа на поршень, если начальное положение поршня
х0=0,06 м, а конечное, x1=0,2 м.
Решение. 
. По закону Бойля — Мариотта
pV=p0 V0(,=const, где р 0 и V0 — начальное давление и объем поршня в положении х0.
Отсюда: 
Значит: 
Зная, что 
где d – диаметр поршня, получаем:
Упражнения для домашней работы.
1. Скорость движении тела определяется законом
(см/с).
Найдите длину пути, пройденного телом за 4 с.
2. Найдите длину пути, пройденного телом от
начала движения
до остановки, если его скорость меняется по
закону
(см/с).
3. Вычислите работу, производимую при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 20 Н.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
а) y= 4х—х2 и осью абсцисс;
б) y=(x—2)2 и y=х.
5. Найдите объем тела, получающегося от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:
а) у=х2+1; x=0; x=1; y = 0;
б);x=4; y=0.