Для развития у детей познавательного интереса к изучаемому материалу большое значение имеет методика преподавания данного материала. Поэтому естественно навыки устных вычислений будут у учащихся прочными, если дети будут заинтересованы этими знаниями. Следовательно, нужны новые приемы, средства, формы работы, которые будут побуждать у учащихся активное восприятие.
Многие педагоги, методисты работают над этой проблемой, предлагая в статьях свои идеи. Это и М.П.Никитина, которая предлагает различные приемы проверки устных вычислительных навыков; и рассказывает, как можно выработать сознательные навыки деления чисел; и В.А.Степных, которая разработала свою методику изучения табличного умножения и деления; и В.М.Сухорукова, которая рассматривает в своей статье интересные приемы устных вычислений; и А.К.Артемов, который говорит о том, что в формировании прочных вычислительных навыков большую роль играет сравнение, и многие другие.
Рассмотрим некоторые методы и приемы, способствующие формированию сознательных навыков устных вычислений. В.А.Степных в своей статье «Изучение табличного умножения и деления» писала: «Работая над темой «Табличные умножения и деления» я провожу некоторые изменения в системе расположения материала. Так при работе над темой выделяю два этапа:
- Ознакомление с действием умножения и деления. Изучение переместительного свойства умножения. Установление связи между компонентами и результатами умножения и деления, а также между самими действиями.
- Ознакомление с особыми случаями умножения и деления. Знакомство с порядком действий в выражениях. Знакомство с модернизованной таблицей Пифагора. Изучение табличного умножения и деления.
В связи с изучением случаев умножения и деления с десятками, нулем и единицей до изучения табличного умножения и деления, у учащихся отпадает необходимость задавать вопрос: почему в таблице умножения нет результатов умножения с числами 1 и 10 (при работе с таблицей Пифагора). После раскрытия смысла умножения и деления знакомлю учащихся с таблицей Пифагора. В таблице Пифагора часть ее выделена. При удалении этой части получается таблица, которая называется срезанной таблицей Пифагора. Работая со срезанной таблицей, учащиеся чаще используют переместительное свойство умножения». [6, С.55].
Далее В.А.Степных предлагает свою систему работы: изучение таблицы умножения начинаю от результата действия. Выявление всех случаев умножения и их результатов веду на числовых промежутках по таблице Пифагора:
1. От 1 до 10
2. От 11 до 20
3. От 21 до 30
4. От 31 до 40
5. От 41 до 60
6. От 61 до 90
1. Выявление всех случаев умножения и их результатов в числовом промежутке от 1 до10.
Работа ведется по таблице Пифагора. Выясняется, что для запоминания требуется 5 чисел:
4 6 |
8 |
9 |
10 |
|
2 • 2 |
2 • 3 |
2 • 4 |
3 • 3 |
2 • 5 |
|
3 • 2 |
4 • 2 |
|
5 • 2 |
Сразу выделяется таблица умножения с числом 2. ученики доказывают, как получается в таблице с числом 2 каждое последующее число (оно больше на две единицы). Учащимся сразу же предлагается запомнить, что с числами 4 и 9 можно составить только по одному примеру на умножение и деление, а с результатами 6, 8, 10 по два примера на умножение (применив правило о переместительном свойстве умножения) и по два примера на деление.
2. Выявление всех случаев умножения и их результатов в числовом промежутке от 11 до 20.
Для запоминания выделяют 6 чисел. Сначала выделяются результаты таблицы умножения с числом 2, составляются примеры на умножение и деление:
12 |
14 |
16 |
18 |
2 • 6 |
2 • 7 |
2 • 8 |
2 • 9 |
6 • 2 |
7 • 2 |
8 • 2 |
9 • 2 |
Затем выделяются другие случаи умножения и их результаты в этом числовом промежутке:
12 |
16 |
15 |
20 |
3 • 4 |
4 • 4 |
5 • 3 |
5 • 4 |
4 • 3 |
|
3 • 5 |
4 • 5 |
Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, три и четыре примера на умножение и деление.
3. В числовом промежутке от 21 до 30 предлагается для запоминания 6 чисел:
21 |
24 |
25 |
27 |
28 |
30 |
3 • 7 |
3 • 8 |
5 • 5 |
3 • 9 |
4 • 7 |
5 • 6 |
7 • 3 |
8 • 3 |
9 • 3 |
7 • 4 |
6 • 5 |
|
|
4 • 6 |
|
|
|
|
|
6 • 4 |
|
|
|
|
Обобщается таблица умножения с числом 3, выделяются другие случаи умножения. Делается вывод, как получается в таблице умножения с числом 3 каждый последующий результат. Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, четыре примера на умножение и деление.
4. Выявление всех случаев умножения и их результатов на числовом промежутке от 31 до 40.
Учащиеся запоминают 4 числа:
32 |
35 |
36 |
40 |
4 • 8 |
5 • 7 |
4 • 9 |
5 • 8 |
8 • 4 |
7 • 5 |
9 • 4 |
8 • 5 |
|
|
6 • 6 |
|
Из всех знакомых случаев умножения с числом 4 и составляются примеры на деление на 4. Учащиеся объясняют, как получается в таблице умножения с числом 4 каждый последующий результат, выделяются результаты, по которым можно составить по два, три примера на умножение и деление.
5. В числовом промежутке от 41 до 60 учащиеся находят по таблице Пифагора все результаты табличного умножения. Работа ведется такая же, как и на предыдущем этапе. Для запоминания учащиеся выделяют 6 чисел:
42 |
45 |
48 |
49 |
54 |
56 |
6 • 7 |
5 • 9 |
6 • 8 |
7 • 7 |
6 • 9 |
7 • 8 |
7 • 6 |
9 • 5 |
8 • 6 |
|
9 • 6 |
8 • 7 |
Составляют таблицы умножения с числами 5 и 6.
6. В числовом промежутке от 61 до 90 для запоминания предлагаются 4 числа:
| 63 | 64 |
72 |
81 |
7 • 9 |
8 • 8 |
8 • 9 |
9 • 9 |
9 • 7 |
|
9 • 8 |
|
Выделяются результаты и до конца составляются таблицы умножения на 7, 8, 9.
После знакомства со всеми случаями умножения делается вывод, что в числовом промежутке от 1 до 90 для запоминания требуется 31 число». [6, С.56].
Итак, по мнению В.А.Степных, такой прием изучения таблицы умножения способствует сознательному усвоению таблицы умножения и деления.
Известный российский психолог Л.С.Выготский когда-то говорил о том, что только там, где есть движение руки, тела ребенка, начинается движение его души и ума. В статье «Применение жестов на уроках обучения грамоте и математике» Н.П.Бурмистрова говорит о том, что это действительно так, а также о том, что использование различных жестов положительно влияет на формирование навыков устных вычислений.
Приведем некоторые строки из ее статьи: «На уроках математики, на пальцах можно показывать знаки всех арифметических действий. Каким действием будем узнавать: на сколько одно число больше другого? Дети показывают «-» указательным пальцем. Использую этот вид работы и при проведении устного счета.
- Сколько будет 6+7? Дается команда «Ночь», дети закрывают глаза и показывают сжатый кулачок левой руки (десяток) и три пальца на правой руке (13). Два сжатых кулачка – это два десятка. Знак «>» - правая, согнутая в локте рука, знак «<» – левая рука, знак «=» - руки расположены параллельно.
С удовольствием дети выполняют задания после моей команды: «Губы!». Например, читаю задачу: «Малыш угостил Карлсона 2 леденцами и 1 шоколадной конфетой. Сколько конфет съел Карлсон?». Даю команду: «Губы!». Отвечающий на вопрос задачи ученик «говорит» губами без звука. По артикуляции губ «читаю» ответ: «Три». При этом способе можно опросить многих учеников, причем исключается бездумное повторение предшествующего ответа». [2, С.95].
Кажется, что может быть проще темы «Сложение и вычитание в пределах 10»? Однако в каждом классе есть ученики, которым эта тема трудна. Задача учителя – научить каждого складывать и вычитать в пределах 10. Как здесь помочь и учителю, и ученикам? Эту проблему рассматривает В.В.Елисеева в своей статье «Сложение и вычитание в пределах 10». Вот что она пишет: «Во время изучения этой темы на доске, как правило, всегда есть ряд чисел, но он часто бездействует. Мы говорим детям: «Если к числу прибавить 1, будет следующее число, вычесть 1 – предыдущее». Смотрят – смотрят некоторые ученики на этот ряд чисел, а ответа дать не могут. Мы заставляем этот ряд чисел «говорить», дополняя его стрелками и знаками действий. Получается вот такой ряд:
А как же решать примеры вида ±2? Мы составляем два ряда чисел. Первый через 1, начиная с 1, второй – через 1, начиная с 2. Но не все ученики могут справиться с этим заданием. Поэтому предлагаем такой вариант: «Считай от 1 до 10 (от 2 до 10), но одно число называй громко, другое – тихо». Записываем только числа, произнесенные громко. Получается два ряда чисел:
| 1 | 3 |
5 |
7 |
9 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
В начале решаем несколько примеров на сложение и вычитание с числом 2, рассуждая при этом так: +1+1, -1-1. А потом замечаем, что ответы на выполненное сложение и вычитание уже имеются в этих рядах чисел. Делаем дополнения:
При решении примеров рассуждаем так. Числа, указанные в примере, находим в этих рядах, например, 6-2. Находим 6. Если вычесть, значит, будет меньше, шагаем назад, влево. Ответ: 4.
Аналогично составляем таблицы на сложение и вычитание с числами 3 и 4. при составлении рядов чисел можно рассуждать и по-другому – еще проще. Если составляем таблицы на ±2, то числа записываем в две строки: одно – в одну строку, другое – в другую, при составлении таблицы на ± 3 записываем числа от 1до 10 в три строки:
1 |
4 |
7 |
10 |
2 |
5 |
8 |
|
3 |
6 |
9 |
|
При составлении таблицы на ± 4 – в четыре строки:
| 1 | 5 9 |
|
2 |
6 |
10 |
3 |
7 |
|
4 |
8 |
|
на ± 5 – в пять строк:
1 |
6 |
2 |
7 |
3 |
8 |
4 |
9 |
5 |
10 |
Такие опоры есть у каждого моего ученика. Постоянная работа по ним приводит к успеху даже самых слабоуспевающих». [3, С.38].
Успешное применение знаний, умений и навыков на практике во многом зависит от умения контролировать свою деятельность. В связи с этим в последнее время в методической литературе уделяется большое внимание формированию самоконтроля. Вот и Т.И.Полозова в своей статье «Роль самоконтроля в формировании вычислительных навыков» затрагивает наиболее важные вопросы этой проблемы. Она пишет о том, что «знакомство учащихся с приемами самоконтроля я начинаю с первой четверти первого класса.
Прежде всего, в доступной для учащихся форме провожу небольшую работу, цель которой – показать, что такое самоконтроль. Приведу фрагмент этого урока.
- Мы с вами составили таблицу сложения и вычитания двух. Многие ребята уже запомнили ее и могут решать примеры без ошибок. Давайте проведем небольшую самостоятельную работу. Я раздам вам листочки, на которых записаны примеры:
| 7 + 2 | 4 + 2 |
8 - 2 |
6 - 2 |
9 - 2 |
6 + 2, |
а вы запишите только ответы, кто выполнит работу, положит ручку.
Выполнение работы занимает пять минут. Я быстро прохожу по классу и фиксирую количество ошибок.
- А теперь я дам вам время для того, чтобы вы сами проверили свою работу, сами себя проконтролировали.
Давайте вспомним, как можно прибавить к числу 2 (вызываю одного из учеников, допустивших ошибку). (Можно прибавить один, а потом еще один). Проверьте, правильно ли вы решили пример, пользуясь этим приемом. Давайте послушаем Колю. Проверь, Коля, пример 9-2 (мальчик допустил в нем ошибку). (Надо из 9 вычесть 1, будет 8, из 8 вычесть 1, будет 7). А у тебя сколько получилось? (6). Зачеркни неверный ответ и напиши правильный.
Ребята, попробуйте также проверить все решенные примеры. Дети начинают проверять. Через три минуты я фиксирую результаты проверки. С тремя учениками, которые не исправили ошибку, работаю индивидуально после уроков. В качестве приема самоконтроля предлагаю им обратиться к наглядности (палочки).
При проверке примера 8-2 предлагаю этим ученикам следующие задания и вопросы:
- Отсчитайте 8 палочек. Сколько нужно вычесть из 8 (2). Покажите, сколько останется на палочках (6). (Считают все палочки). А у вас сколько получилось? (5) Зачеркните неверный ответ и напишите над ним правильный. Постарайтесь запомнить результат вычисления 8 – 6 = 2». [5, С.66].
Далее в своей статье она говорит о том, что сначала проверка занимает времени больше, чем выполнение самой работы, но очень быстро у учащихся формируется умение и даже потребность проверять свои действия.
Т.И.Полозова предлагает различные приемы самоконтроля: это и проверка с помощью счетных палочек (о чем говорилось выше), это и сверка своих приемов с решенными на доске, но записанными в другом порядке, это и работа с линейкой, это и карточки с образцами решений, и многие другие. Знакомя учащихся с каждым новым приемом самоконтроля Т.И.Полозова проводит с учащимися небольшую беседу. Например, показывая, как использовать для самоконтроля линейку, говорит: «Большинство из вас уже хорошо выучили таблицу сложения и вычитания, и все-таки некоторые учащиеся еще допускают ошибки. Очень важно уметь найти допущенную ошибку, но для этого нужно знать, как это сделать. На уроке я предлагаю вам образец решенных примеров, а дома вы можете проверить свой ответ на палочках. Но можно использовать для этой цели линейку. Давайте, выполним такое упражнение. Запишите примеры, которые изображены на линейке:
Учащиеся записывают:
2 + 3 = 5
5 – 2 = 3
7 – 2 = 5
8 – 1 = 7
- А теперь по линейке проверьте, верно ли решены данные примеры.
5 – 2 = 4
7 – 3 = 5
6 + 2 = 8
Учащиеся стрелочками обозначают на линейке решенные примеры, находят ошибки». [5 , С.66].
Приемы самоконтроля постепенно усложняются. В своей статье Т.И.Полозова предлагает целый ряд самостоятельных работ, где используются эти приемы. Рассмотрим некоторые из них.
«Самостоятельная работа по теме «Вычитание вида 30 - 6»:
1.Реши примеры:
80 - 4
100 - 3
60 - 2
40 - 8
2.Проконтролируй правильность решения, пользуясь следующими примерами:
| 10 – 8 = 2 | 10 – 4 = 6 |
10 – 5 = 5 |
10 – 3 = 7 |
10 – 7 = 3 |
10 – 2 = 8 |
Самостоятельная работа по теме «Закрепление сложения и вычитания с переходом через 10»:
1. Реши примеры:
| 17 - 9 | 12 - 9 |
12 + 7 |
3 + 8 |
13 - 6 |
16 - 9 |
5 + 8 |
6 + 7 |
2. Используй для контроля числа, которые являются ответами (ответы даны не в том порядке, в котором решались примеры): 13, 7, 19, 3, 8, 11. Найди пример с таким же ответом и проверь его еще раз.
Самостоятельная работа по теме «Сложение вида 40 + 16»:
1. Реши примеры:
| 30 + 23 | 20 + 56 |
40 + 17 |
30 + 48 |
20 + 49 |
60 + 25 |
50 + 24 |
70 + 19 |
2. Проконтролируй себя. Каждый следующий ответ должен быть больше предыдущего». [5, С.67].
По данной статье можно сделать вывод: контролируя полученные результаты, учащиеся закрепляют, совершенствуют вычислительные навыки, осознают используемые вычислительные приемы.
На уроках математики многие учителя встречаются с проблемой, когда дети не могут правильно определять порядок выполнения действий в выражениях со скобками. В статье «В царстве математических выражений» А.А.Лысенко предлагает традиционную схему порядка действий немного изменить и придумать небольшую сказку. Например, схема может выглядеть так:
- ( )
- 2) • и :
- 3) + и –
А поясняет она ее следующим образом: «В царстве математических выражений: Скобки – грозная царица. Она любит порядок, ее боятся, выполняют все ее приказы. Умножение и деление – главные, важные ее помощники. Сложения и вычисление – верные слуги». [4, С.109].
Критериями по формированию вычислительных навыков являются быстрота, точность, умение обобщать, сравнивать, анализировать, а также рациональность. Сделать вычисления более рациональными помогают приемы формирования вычислительных навыков. Остановимся на приеме сравнения, о котором рассказывает А.К.Артемов в статье «Обучение сравнению в математике».
«Сравнение — прием интеллектуальной деятельности, направленный на выявление сходного и различного в данных объектах. В состав приема сравнения входят следующие операции:
а) выделение признаков предметов;
б) расчленение выделенных признаков на существенные и несущественные;
в) выделение признаков, являющихся основанием сравнения;
г) нахождение сходных и различных признаков объектов, т.е. осуществление неполного сравнения;
д) формулировка вывода из проверенного сравнения». [1, С.44].
Приведем несколько примеров.
Пример 1.
Сравните решение примеров:
- 48 + 21 = (40 + 8) + (20 + 1) = (40 + 20) + (8 + 1) = 69
- 27 + 32 = (20 + 7) + (30 + 2) = (20 + 30) + (7 + 2) = 59
- 54 + 13 = (50 + 4) + (10 + 3) = (50 + 10) + (4 + 3) = 67
- Какие признаки сходны в примерах, существенны для способа решения? (складываются двузначные числа)
- Какие признаки существенны в решении 1-го примера? (представление данных чисел в виде суммы разрядных слагаемых, сложение отдельно десятков и единиц).
Также разбираются и два других примера. На основе сравнения делается вывод:
Чтобы сложить два двузначных числа, надо представить их в виде суммы разрядных слагаемых, отдельно сложить десятки и единицы, а затем сложить полученные суммы.
Пример 2.
Сравните решение примеров:
- 5 • 14 = 5 • (10 + 4) = 5 • 10 + 5 • 4 = 50 + 20 = 70
- 7 • 22 = 7 • (20 + 2) = 7 • 20 + 7 • 2 = 140 + 14 = 154
- 6 • 47 = 6 • (40 + 7) = 6 • 40 + 6 • 7 = 240 + 42 = 282
Обращаем внимание на то, что в данных примерах существенными являются признаки: действие умножения, первый множитель – однозначное число, второй – двузначное. Сравниваем способы решения примеров и в результате узнаем способ умножения однозначного числа на двузначное.
Также в своей статье А.К.Артемов рассмотрел некоторые виды приема сравнения.
«1. Последовательное сравнение.
Его сущность состоит в том, что учащимся предлагается рассмотреть один за другим несколько объектов, например, образцов действий, и сравнить их с целью получения определенного обобщенного вывода.
Например, рассмотреть записи:
- 7 + 4 = 7 + 3 + 1 = 10 + 1 = 11
- 7 + 5 = 7 + 3 + 2 = 10 + 2 = 12
- 7 + 6 = 7 + 3 + 3 = 10 + 3 = 13
Сравнивая способы действий, ученики выявляют общий способ прибавления однозначного числа к 7. Цель этого приема – усвоить способ сложения однозначных чисел с переходом через десяток.
2. Параллельное сравнение.
Этот прием характеризуется тем, что сразу одновременно предъявляются несколько образцов, отражающих все типичные варианты из данной совокупности.
Например, предложим учащимся сравнить следующие образцы:
- 15 – 6 = 15 – 5 – 1 = 10 – 1 =9
- 17 – 9 = 17 – 7 – 2 = 10 – 2 = 8
- 12 – 7 = 12 – 2 – 5 = 10 – 5 = 5
Сравнение таких образцов обеспечивает достижение цели обучения: получение необходимого вывода о способе вычитания в рассматриваемом случае.
3. Сравнение примеров, требующих применения различных правил одного и того же свойства:
- 74 + 5 и 39 + 5
- 62 + 14 и 49 + 23
Первая пара примеров основана на применении правила прибавления числа к сумме и прибавления суммы к числу.
74 + 5 = (70 + 4) + 5, 39 + 5 = 39 + (1 + 4)
4. Сравнение примеров одного приема вычисления:
90 - 49 и 90 - 47
5. Сравнение примеров, способы, вычисления которых основаны на разных свойствах действий сложения и вычитания:
- 59 + 14 и 71 - 6,
- 46 + 12 и 54 - 16.
Эти примеры основаны на свойствах прибавления суммы к числу и вычитания суммы из числа.
6. Сравнение примеров типа:
34 + 20 и 34 + 2». [1, С.45].
Изложенные выше приемы помогут учителю в организации устного счета, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, привьют учащимся интерес к устным вычислениям.
Кроме выше перечисленных приемов существует еще большое множество таких приемов, которые способствуют формированию прочных навыков устных вычислений. Особенно большое внимание в методической литературе уделяется занимательному материалу: задачам в стихах, дидактическим играм, магическим квадратам, математическим сказкам, загадкам, ребусам и т.п. Ведь создание игровой атмосферы на уроке развивает познавательный интерес и активность учащихся, снимает усталость, позволяет удерживать внимание, способствует развитию самостоятельности. А это и есть элементы наиболее эффективных путей формирования сознательных и прочных устных вычислительных навыков.
Список литературы
- Артемов А.К. Обучение сравнению в математике // Начальная школа. – 1982. – №11. – С.43-46.
- Бурмистрова Н.П. Применение жестов на уроках обучения грамоте и математики // Начальная школа. – 1999. – №12. – С.95.
- Елисеева В.В. Сложение и вычитание в пределах 10 // Начальная школа. – 1991. – №9. – С.37-38.
- Лысенко А.А. В царстве математических выражений // Начальная школа. – 2000. – №7. – С.109.
- Полозова Т.П. Роль самоконтроля в формировании вычислительных навыков // Начальная школа. – 1985. – №3. – С.65-67
- Степных В.А. Изучение табличного умножения и деления // Начальная школа. –1991. – №9. – С.55-57.