Методическая разработка урока: "Испытания Бернулли. Испытания до первого успеха"

Разделы: Математика

Тип урока: урок освоения новых знаний по вероятности и статистике.

Цель урока: создание условий для формирования:

  • личностных УУД (овладение навыками исследовательской деятельности, установка на осмысление опыта);
  • регулятивных УУД (планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка);
  • познавательных УУД (общеучебные, логические - делать логические заключения с учётом математических допущений);
  • коммуникативных УУД (планирование, постановка вопросов, работа в паре и в группе, умение точно выражать свои мысли средствами предмета Вероятность и статистика при изучении темы «Успех и неудача. Испытания до первого успеха.»).

Задачи:

  • способствовать формированию мотивации изучения темы путем проведения опытов;
  • актуализировать знания учащихся через их участие в беседе;
  • организовать индивидуальную, в парах, групповую работу учащихся по анализу предложенных решений, а также решению, поиску подходов к решению заданий;
  • организовать рефлексию учащимися своей деятельности.

Ожидаемые результаты:

личностные:

  • учащиеся демонстрируют интерес к изучению темы;
  • учащиеся осознают, какое значение имеет тема урока в картине познания мира.

Метапредметные:

регулятивные:

  • учащиеся умеют составлять план и определять последовательность действий;
  • учащиеся умеют прогнозировать результат своих действий;
  • учащиеся умеют контролировать правильность своих действий;
  • учащиеся умеют корректировать свои действия;
  • учащиеся умеют давать оценку своей деятельности и деятельности одноклассников;

познавательные:

  • учащиеся умеют принимать цели учебной деятельности и осуществлять поиск средств её выполнения;
  • учащиеся умеют строить грамотное математическое высказывание;
  • учащиеся умеют находить наиболее эффективный способ решения задач;
  • учащиеся умеют осуществлять анализ и синтез, формулировать выводы;
  • учащиеся умеют выдвигать гипотезы и их обосновывать;
  • учащиеся умеют определять цели участников взаимодействия.

коммуникативные:

  • учащиеся умеют осуществлять инициативное сотрудничество в процессе работы в группе;
  • учащиеся умеют контролировать и оценивать действия партнера;
  • учащиеся умеют четко выражать свои мысли.

Предметные:

  • учащиеся владеют понятиями успеха и неудачи в испытаниях Бернулли,
  • учащиеся вычисляют вероятности случайных событий в сериях испытаний до первого успеха,
  • учащиеся умеют изобразить дерево эксперимента, составить формулу определения вероятности успеха в серии испытаний,
  • учащиеся владеют понятием элементарного события в испытаниях до первого успеха.

Методы обучения:

  • проведение эксперимента
  • проблемного изложения;
  • частично-поисковый.

Средства обучения: интерактивная доска, раздаточный материал, компьютер учителя, калькуляторы.

Организационные формы: фронтальная, парная, групповая, индивидуальная.

Педагогические технологии: технология диалогового взаимодействия с элементами технологии проблемного обучения и развития критического мышления [1].

Ход урока

Организационный этап урока, взаимные приветствия

Показываем портрет учёного. Узнают Л.Эйлера. Вспоминают, в каких разделах курса теории вероятностей знакомились с этим великим российским (в общей сложности 30 лет работы в нашем городе) учёным. (Графы, диаграммы Эйлера-Венна).

Замечаем, что благодаря Даниилу и Николаю Бернулли, племянникам одного из самых известных швейцарских математиков, Якоба Бернулли, Леонард Эйлер был приглашён впервые на работу в наш город. У Якоба Бернулли отец Л.Эйлера брал уроки математики. Сегодня мы познакомимся с испытаниями, названными именем Бернулли.

Показываем портрет Якоба Бернулли.

Актуализация знаний

Прошу дать определение элементарного события, противоположных событий.

Дают определение элементарного события как события случайного опыта, которые нельзя разделить на более простые; противоположных событий - как двух событий, которые в результате опыта одновременно произойти не могут, но одно из них обязательно произойдёт, приводят примеры.

(Познавательные УУД: умение структурировать собственные знания).

Постановка учебной задачи.

А) На столах размещены пластиковые стаканчики с игральными кубиками или монетами. Учащимся, на столах которых кубики, предлагается провести испытания до первого появления чётного числа очков, для тех, у кого монеты, - до первого появления орла. Учащиеся проводят испытания и с помощью выбранных ими символов записывают ход испытаний в тетрадях.

Несколько детей отвечают, какое количество опытов нужно было провести до достижения желаемого результата, какие обозначения были выбраны, что общего было в экспериментах тех, в чьём распоряжении были кубики и тех, кто располагал монетами. Можно ли в данном случае считать успехом выпадение чётного числа очков (или орла), а неудачей – нечётного (или решки)? Как в этом случае можно записать исход эксперимента? Как построить дерево эксперимента? Два ученика у доски строят дерево своего эксперимента, обозначая начальную точку буквой S, успех (У), неудачу (Н). Остальные ученики – в тетрадях.

(Личностные: регулятивные - прогнозирование - предвосхищение результата; регулятивные (контроль): в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона).

Б) Итак, нами проведён опыт, который может закончиться успехом (обозначим его вероятность p) или неудачей (обозначим её вероятность q). Такие испытания называются испытаниями Бернулли. Одно из важных требований к испытаниям Бернулли: вероятности успеха (0<p<1) и неудачи (q) остаются постоянными в ходе эксперимента. Ещё важное требование – независимость испытаний, заключающееся в том, что результаты предыдущих испытаний никоим образом не влияют на результаты последующих.

Установите связь между p и q.

Высказать предположение: возможна ли в принципе бесконечно большая цепочка неудач при p>0. Как можно вычислить её вероятность? В случае затруднения подсказка: идти от противоположного события - бесконечная цепь неудач как событие противоположно тому, что успех может осуществиться либо при первом же испытании, либо при втором, и т.д.

Ищут вероятность события, что успех наступит либо в первом испытании, либо во втором, …, n-м, …, пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Называют теоремы, которыми пользовались, составляя формулу для вычисления этой вероятности. Делают вывод о вероятности наступления противоположного события (не будет успеха никогда). Получают значение q, равное 0. (Здесь самое время проявить здоровый оптимизм!)

(

  • познавательные: умение структурировать собственные знания; личностные: формирование позитивной самооценки, учатся принимать причины успеха (неуспеха);
  • коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении ответа;
  • регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы

).

Открытие учащимися нового знания

Обсуждение: привести примеры из жизни, что можно считать успехом, и что – неудачей. Можно ли их поменять местами в зависимости от условий? Если вероятность успеха p = 5/7, то какова вероятность неудачи? Если считать успехом при бросании игрального кубика выпадение числа очков, не меньшее пяти, то что считать неудачей и каковы вероятности успеха и неудачи в этом случае? Если заявленный хладокомбинатом объём брикета мороженого 60±3(мл), то будет ли неудачей объём взятого на экспертизу брикета объёмом а) 55, б) 57, в) 60, г) 65мл?

Как должна выглядеть формула для нахождения вероятности элементарного (подчеркнуть!) события, при котором успеху предшествовало ровно k неудач, т.е. события ? Должны получить формулу P(HHH...HУ) = qk · p и ответить на вопрос: «Какая теорема теории вероятностей была использована для вывода этой формулы?» - (умножения вероятностей для независимых событий).

Ученикам раздаются карточки с заданиями по определению нужного дерева эксперимента.

Вариант 1. Укажи соответствующее дерево испытаний вероятности элементарного события P(HHHHHHHHУ) = q8 · p.

Ответ:

Вариант 2. Укажи соответствующее дерево испытаний вероятности элементарного события P(HHHHУ) = q4 · p.

Ответ:

Соответствующие своему варианту формулы и деревья фиксируют в тетрадях. Результаты обсуждают с соседями по парте. Осуществляют взаимопроверку.

(Коммуникативные УУД: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении ответа; регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить коррективы).

См. продолжение статьи