Сложные проценты – это просто!

Разделы: Математика

Класс: 9

Ключевые слова: проценты


Цель урока: обобщить и углубить знания, необходимые для решения широкого круга практических задач на процентные вычисления, закрепить алгоритм решения задач на простые проценты и изучить алгоритм решения задач на проценты с помощью формул «сложных процентов».

Планируемые результаты:

  • Предметные (ПР): Изучение темы «Сложные проценты»
  • Метапредметные (МПР):
    • Познавательные УУД: закрепляем навыки и умения применять алгоритмы при решении задач на проценты; систематизируем знания, обобщаем и углубляем знания при решении задач по теме «Проценты».
    • Регулятивные УУД: развиваем умение высказывать своё мнение на уроке, оценивать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять рефлексию.
    • Коммуникативные УУД: развиваем умение слушать и вступать в диалог; воспитываем культуру учебного труда, уважительное отношение к чужому мнению, требовательное отношение к себе и своей работе.
  • Личностные УУД: формируем трудолюбие, способность к организации своей деятельности, внимательность и аккуратность в вычислениях; требовательное отношение к себе и своей работе, ориентация на понимание причин успеха и неудач в учебной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения новых и прежних знаний, умений.

Методы обучения: исследовательско-поисковый.

Основные понятия: простые проценты, сложные проценты, начальная сумма, годовая процентная ставка, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, вклад, вкладчик.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, калькулятор, ЦОР презентация к теме «Сложные проценты - это просто!», карточки с заданиями.

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Цель: ознакомить учащихся с темой и целями урока, актуальность изучаемого материала, формирование учебной мотивации.

II этап. Повторение (5 мин)

Цель: повторение знаний и навыков по теме «Проценты».

Устный опрос.

  1. Что называется процентом? (Процентом называется одна сотая часть какого-либо числа)
  2. Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)
  3. Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.) Гектара? (ар или сотый)
  4. Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом данного числа а называется число 0,01∙а, т.е. 1% (а) = 0,01∙а)
  5. Как определить р% от данного числа а? (найти число 0,01∙р∙а, т.е. р% = 0,01∙р∙а)
  6. Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01)
  7. Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы найти часть в от числа х в процентах, нужно эту часть разделить на число и умножить на 100, т.е. а(%)=(в/х)∙100)
  8. Как находится число по его проценту? (Если известно, что а% числа х равно в, то х можно найти по формуле х = (в/а)*100)

Устный счет.

  1. Представьте данные десятичные дроби в процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.
  2. Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.
  3. Найдите % от числа:
    • 0,1% от числа 1200? (1,2)
    • 15% от числа 2? (0,30)
  4. Найдите число по его проценту: Сколько центнеров весит мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг= 0,5 ц)
  5. Сколько процентов от 10 составляет 8? (80%)

III этап: Формирование новых знаний и навыков. (15 мин)

Цель: ознакомление с формулами «сложных процентов» и формирование навыков применения формул при решении задач.

Тема урока: «Сложные проценты - это просто!» (Презентация) Приложение 1.

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода - простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со «сложными процентами» (т.е. используются начисления "процентов на проценты")

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 10000 рублей, то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Начальная величина

1-й год

2-й год

3-й год

4-й год

5-й год

Простые проценты

10000

11000

12000

13000

14000

15000

Сложные проценты

10000

11000

12100

13300

14600

16100

Решение задач на сложные проценты

Задача 1. В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тысяч руб. под 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

n = 3

t = 4 (в году - 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S3 = (1+0.12/4)3*4*50000 = 1.0312*50000 = 71288 руб.

Ответ: 71288 рублей.

Можно сделать вывод что, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

Задача 2. Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 1400 руб. 40 коп.

Решение:

Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле сложных процентов имеем:

S0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01·20)(1 - 0,01·10) = 1400,4

S0·1,3·1,2·0,9 = S0*1,4004 = 1400,4

S0 = 1400,4:1,4004 = 1000 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

1400,4 - 1000 = 400,4

Ответ: 400,4 рублей

Физкультминутка - 2 мин.

IV этап: Работа в группах из 2-4 учащихся. Решение практических задач (10-15 мин.)

Цель: Выработка практических навыков по теме.

Каждой группе дается 3 задания на 10 минут. Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя соседними столами. Они обсуждают решение задачи, которая записана на карточке. Карточка выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает карточки с одинаковыми по типу задачами. Задача считается решённой, если все члены группы записали в своих тетрадях решение задачи. Из такой группы учитель вызывает ученика, который оформляет решение задачи на доске. Остальные продолжают решать другие задачи из карточки. Из второй группы вызывается ученик для оформления уже другой задачи из карточки. Таким образом, решение всех задач рассматриваются на доске. Группа, решившая все задачи, получает новую карточку, с дополнительной задачей.

Карточка 1.

Задача 1. Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько процентов?)

Решение: Пусть S0 - начальная цена, S2 - конечная цена, х - искомое число процентов изменения, где х = (1 - S2/S0 )·100% (*)

Тогда по формуле Sn = S0 (1 + 0,01р1)(1 + 0,01р2 )(1 + 0,01рn ), получим

S2 = S0 (1 + 0,01*10)( 1 - 0,01*10) = S0·1,1*0,9 = 0,99·S0.

S2 = 0,99·S0; 0,99 = 99%, значение S2 составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% - 99% = 1%.

Или по формуле (*) получаем: х = (1 - 0,99)100% = 1%.

Ответ: понизилась на 1%.

Задача 2. За 2023 год предприятие дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года предприятие ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Пусть S0 - начальная цена, S2 - конечная цена, р - постоянное количество процентов.

По формуле получаем: р = 100((726 / 600)1/2 - 1) = 10%.

Ответ: 10%

Задача 3. Цена на компьютерную технику были повышены на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых процентных снижений цена на компьютеры оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов каждый раз понижали цену?

Решение: По формуле сложных процентов составляем уравнение

S3 = S0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01р)(1 - 0,01р) = S0*1,44(1 - 0,01р )2 = S0 *(1-0,01*19).

Решая уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.

Ответ: 25%

Карточка 2.

Задача 1. Легковой автомобиль ехал по шоссе с определенной скоростью. Выезжая на проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а затем на участке крутого подъема он уменьшил скорость на 30%. На сколько процентов эта новая скорость ниже первоначальной?

Решение: Пусть V0 - начальная скорость, V - новая скорость, которая получается после двух разных изменений, р - искомое количество процента.

Тогда по формуле, составляем уравнение V0(1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V0(1 - 0,01р). Решая его получаем V0·0,8*0,7 = V0(1 - 0,01р); р = 44.

Ответ: 44%

Задача 2. Предположим, что в комнатной температуре за день вода испаряется на 3%. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100 литров? А сколько воды испарится?

Решение: n=2; р=3%; S0= 100л. Тогда по формуле (2), получаем

S2 = S0 (1 - 0,01р )2 = 100(1-0,01*3)2 = 100*0,972 = 94,09.

S0 - S2= 100 - 94,09 = 5,91.

Ответ: 94,09 литра; 5,91 литра.

Задача 3. Вклад, положенный в банк 2 года назад, достиг 11449 рублей. Каков был первоначальный вклад при 7% годовых? Какова прибыль?

Решение: n=2; р=7%; S2= 11449; S0= ?

В формулу S0 = Sn · (1 + 0,01р) - n подставляем данные значения, получаем:

S0 =11449(1+ 0,01·7) -2 = 11449/(1,07)2=11449/1,1449 = 10000.

11449 - 10000 = 1449

Ответ: 10000 рублей и 1449 рублей.

Дополнительная задача. Для определения оптимального режима повышения цен фирма решила с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом - через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца, во втором магазине?

Решение: Пусть S0 - начальная цена, р - постоянное количество процентов.

Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на 2%) в первом магазине цена на товар станет равна S0 (1 + 0,01·2)6, а во втором магазине (после трех повышений на р%) цена товара будет равна S0 (1 + 0,01р)3. Получаем уравнение S0 (1 + 0,01·2)6 = S0 (1 + 0,01р)3. Решая его, получаем

(1 + 0,01·2)2 = (1 + 0,01р); 1,022= (1 + 0,01р); р = 4,04

Ответ: 4,04%

V этап: Дифференцированная самостоятельная работа (5 мин.)

Цель: Выявление уровня усвоения материала, типичных ошибок.

Первый уровень. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 10%, а после замены оборудования еще на 30%. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции?

Ответ: на 43%.

Второй уровень. Число 50 трижды увеличили на одно и то же число процентов, а потом уменьшили на это же число процентов. В результате получили число 69,12. На сколько процентов увеличивали, а потом уменьшали данное число?

Ответ: на 20%.

Третий уровень. Банк начисляет ежегодно 7% от суммы вклада. Найдите наименьшее число лет, за которое вклад вырастает более чем на 20%.

Ответ: 3 года.

VI этап: Домашнее задание (1 мин.)

(Задание на карточке) Приложение 2.

VII этап: Подведение итогов (3 мин.)

Рефлексия:

  • С какими новыми понятиями мы познакомились на уроке?
  • Что такое "сложный процент"? Чем он отличается от «простого процента»?
  • Как найти "сложный процент"?
  • Где используется эти проценты?
  • Какие трудности вы испытывали при решении задач?
  • Чему научились?
  • Оцените свою работу на уроке.

Итоги по решению задач (по карточкам).

Итоги самостоятельной работы. Выставление оценок.

Основная литература

  1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 класс.- Москва «Просвещение», 1995.
  2. Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы.- Москва «Дрофа», 2010.

Дополнительная литература

  1. Артеменко А.Р. Задачи на концентрацию и процентное содержание //Математика в школе» 1994, № 4.
  2. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе, 2003, №5.
  3. Водинчар М.И., Лайкова Т.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений //Математика в школе, 2001, №4.
  4. Гончарова Л.В. Предметные недели в школе. Математика. Волгоград: издательство «Учитель», 2003г.
  5. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе //Математика в школе, 2002, №1.
  6. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. - Москва: Дрофа, 2003г.
  7. Симонов А.С. Некоторые применения геометрической прогрессии в экономике // Математика в школе, 1998, №3
  8. Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты //Математика в школе, 1998, № 4.
  9. Симонов А.С. Сложные проценты //Математика в школе, 1998, № 5.