1. Введение
Изучая геометрию, мы заинтересовались такими фигурами, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для нас представляют так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут.
«Я знаю точно: невозможное возможно», - пел Дмитрий Билан и он прав. Ведь смогли же «невозможные фигуры» нарисовать на бумаге. Почему тогда эта зрительная иллюзия ломает наш мозг? Что с ними не так?
Тема нашей работы актуальна, ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм».
«Невозможные фигуры» - это один из видов оптических иллюзий. Другие оптические иллюзии основаны на особенностях человеческого зрения, а невозможные фигуры затрагивают ещё наше пространственное восприятие и логику.
Перед нами встал вопрос: «Существуют ли в реальном мире невозможные фигуры?»
Цель: изучение невозможных фигур и область их применения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: изучаем историю, виды «невозможных фигур». Пробуем создать модель невозможной фигуры - треугольник «трибар».
Методы исследования: анализ, практическое моделирование, сравнение.
Объект исследования: зрительные иллюзии.
Предмет исследования: невозможные фигуры.
Гипотеза исследования - в нашей жизни нет ничего невозможного, главное знать, под каким углом смотреть.
Работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора.
2. Основная часть
2.1. История возникновения невозможных фигур
Невозможные фигуры известны, чуть ли, не со времен наскальной живописи, их систематическое изучение началось лишь в середине XX века.
Первая «невозможная фигура» появилась совершенно случайно. Шведский художник Оскар Рутерсвард (Реутерсвард или Рёйтерсверд), когда в 1934 году учился в гимназии, то скучая на уроках грамматики стал чертить карандашом кубики, и однажды они сложились в удивительный трёхмерный треугольник неправильной геометрической формы.
Вернее, форма треугольника вроде бы правильная, но вот «что-то» не дает осознать, как же на самом деле расположены эти кубики в этом треугольнике. (рис.1)
Рисунок 1
Он этот рисунок показал своему другу-математику Яну Корнеллу. Ян пришел в восторг. Они долго искали похожие объекты с такими удивительными свойствами, но не нашли и поняли, что Оскар стал первым, кто смог нарисовать вот такие «невозможные фигуры».
Но, все же первооткрывателем невозможных фигур закрепилось за другим именем - Роджером Пенроузом, который первый опубликовал в печати невозможный объект. Статья появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как "трехмерную прямоугольную структуру". Она также получила название "трибар" (удивительный треугольник).
Рутерсвард позже писал:
«В 1958 году <…> прочитал статью, в которой Пенроузы описали несколько невозможных объектов. Только после этого я понял, что я открыл в детстве. До той поры я нарисовал порядка сотни невозможных объектов, и статья Пенроузов вдохновила меня на исследования в данной области. На сегодняшний день (на 1986 год) я нарисовал примерно 2500 невозможных объектов.» (1, с.206)
2.2. Виды невозможных фигур
В ходе работы над темой изучены 4 вида невозможных фигур: трибар, бесконечная лестница, невозможные ящики и космическая вилка. Все они уникальны по-своему.
Трибар (треугольник Пенроуза) (рис.2).
Рисунок 2
С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.
Бесконечная лестница
Эту фигуру чаще всего называют "Бесконечной лестницей", "Вечной лестницей" или "Лестницей Пенроуза" - по имени ее создателя. Ее также называют "непрерывно восходящей и нисходящей тропой" (рис.3).
Рисунок 3
Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. При этом «вечная лестница» состоит всего из четырех пролетов. А значит, всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение.
Космическая вилка (невозможный трезубец)
Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов". (рис.4).
Рисунок 4
Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается, что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект - плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней.
С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой".
Невозможные ящики
Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф.Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве" (рис.5).
Рисунок 5
"Сумасшедший ящик" - это вывернутый наизнанку каркас куба. Непосредственным предшественником "Сумасшедшего ящика" была "Невозможная коробка" (автор Эшер), а ее предшественником в свою очередь стал куб Неккера (рис.5). Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.
Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.
2.3. Применение невозможных фигур
За рубежом, на улицах городов, можно увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.
Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру, высотой 13,5 метров. Но стоит изменить угол зрения, как треугольник из "невозможного" превращается в реальное и эстетически непривлекательное сооружение, не имеющее к треугольникам никакого отношения (Приложение 1).
Многие художники использовали невозможный трезубец в своем творчестве. Японский художник Шигео Фукуда в 1985 нарисовал невозможную колоннаду. Психолог из Стенфорда Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона. (Приложение 2)
Бельгийский художник Жос де Мей создал свой невозможный мир, его картины называли абсурдными. Вот одна из его «невозможных фигур». (рис.6)
Рисунок 6
В 1982 году по заказу правительства Швеции Оскаром Реутерсвардом были выполнены марки с изображениями невозможных фигур. (рис.7)
Марки выпускались ограниченным тиражом, сегодня они являются большой редкостью и пользуются большим спросом среди филателистов.
Первая же из таких марок была посвящена математическому конгрессу в Инсбруке (Австрия), проходившему в 1981 году. За основу взят невозможный ящик Эшера.
Рисунок 7
Невозможные фигуры используют в логотипах и символике. На рисунке 8 изображен логотип французской автомобильной компании Renault. В 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник. Так же невозможный треугольник в своем логотипе использует мебельный магазин «Мебельные галлюцинации» (рис.8).
Рисунок 8
Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога».
3. Практическая часть
Невозможные фигуры можно «создать» и собственным руками из бумаги, вырезав развёртку и склеив её. Представляем выкройки нескольких таких фигур. (Приложение 3)
Попробуйте!
Сделайте разрезы по всем сплошным линиям, а по пунктирным - согните. Все сгибы делайте от себя, каждый сгиб - под 900. Серые клапаны приклеивайте в порядке, обозначенном цифрами; клапан приклеивается к участку с той же цифрой. Уголок с буквой «Х» в итоге не должен быть виден. Изготовив фигурку, наклейте полоску скотча на участки с буквой «С», скрепив их.
Сгибайте и склеивайте фигурку очень аккуратно и точно, иначе иллюзия может не получиться!
Чтобы увидеть иллюзию, смотрите на фигурку одним глазом. Поверните фигурку в руках так, чтобы остались видны только голубые грани, а чёрные точки были сверху и совместились.
Если какие-то белые части немного выступают и мешают иллюзии, попробуйте чуть изогнуть фигурку в руках и всё-таки увидеть невозможный треугольник.
4. Заключение
«Мир невозможных фигур» одна из интереснейших тем, которая получила свое бурное развитее всего лишь в начале ХХ века. Однако, гораздо раньше, многие ученые и философы занимались этим вопросом.
Эти фигуры называют невозможными потому, что они в реальном мире не просто не существуют, но даже не могут существовать! Например, драконов, эльфов и гномов не бывает, но можно сделать объёмную скульптуру в форме дракона. А в случае некоторых невозможных фигур нельзя сделать даже этого. Невозможную фигуру можно нарисовать на листе бумаги, и каждая деталь такого рисунка будет выглядеть как изображение детали реального объёмного тела. Но при внимательном рассмотрении рисунка в целом становится очевидным, что его элементы соединены противоречивым образом.
Все понимают, что такого быть в реальности не может, но глаза видят и мозг просто «ломается». И с тех пор эти невозможные фигуры влекут к себе (как зрительные иллюзии) и математиков, и психологов, и компьютерщиков, и графических дизайнеров, и философов, и простых людей.
Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.
Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности.
В данной работе мы показали, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками, но рассматривать их нужно с разных сторон.
Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.
Список использованных источников информации
- Реутерсвард, О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат,1990, 206 с.
- Пенроуз, Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с. 26
- http://www. im-possible. info/russian/articles/reut_imp/
- http://www. impworld. narod. ru/
- Левитин Карл Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984, - 176 с.
- http://www. geocities. jp/ikemath/3Drireki. htm
- https://www. liveinternet. ru/users/irzeis/post181085615
- https://newtonew. com/science/impossible-objects
- http://www. psy. msu. ru/illusion/impossible. html
- http://referatwork. ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
- http://geometry-and-art. ru/unn. htm