Для решения любой задачи важно хорошо изучить её условие, определить исходные данные и найти взаимосвязь известных величин с искомыми.
Алгоритм решения задач с помощью уравнений:
- Неизвестную величину нужно обозначить буквой;
- Используя условия задачи, составить уравнение;
- Решить это уравнение;
- Ответить на вопрос задачи.
При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:
- переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный;
- делить или умножать обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Решим задачу с помощью уравнения.
Ученик задумал число, увеличил его в 2 раза, прибавил 8 и получил 10. Какое число он задумал?
Решение.
Пусть x - задуманное число. Увеличим x в 2 раза, получим 2х. Прибавим 8, получим выражение 2х+8, которое равно10. Составим и решим уравнение.
2х+8=10
2х=10-8
2х=2
х=2:2
х=1.
Значит, ученик задумал число 1.
Ответ: 1.
Решим ещё одну задачу.
Найдите число, три пятых которого равно пятнадцати.
Решение.
Пусть х - искомое число. Тогда 3/5 этого числа - это 3/5х. По условию задачи 3/5х равно 15. Составим и решим уравнение.
3/5х = 15
х=15 : 3/5
х= 15 · 3/5
х=25.
Значит, искомое число 25.
Ответ: 25.
Рассмотрим задачу.
Рубашка стоила 1200 рублей. В магазине, при покупке этой рубашки в выходные дни, даётся скидка 30 %. Чему равна цена рубашки со скидкой?
Решение.
Пусть х рублей - цена рубашки со скидкой. Узнаем, сколько процентов составляет цена рубашки со скидкой.
100% - 30% = 70%.
Составим пропорцию:
120 руб - 100%
х руб - 70%
Значит, цена рубашки со скидкой 840 рублей.
Ответ: 840 рублей.
К сожалению, в учебниках математики, нет целостной системы обучения решению текстовых задач. Оформление решения задач алгебраическим способом ведется путем описания. Вводится переменная, все остальные величины выражаются через неё. Такой способ не всегда является доступным и понятным учащимся. Многие виды задач можно решить с помощью составления таблиц.
1. На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?
Указания:
а) обозначь через х число книг, находящихся первоначально на второй полке;
б) заполни следующую таблицу:
| Число книг |
Было |
Стало |
|
на полке I |
||
|
на полке II |
х |
в) составь уравнение;
г) реши уравнение;
д) дай ответ на вопрос задачи.
Пусть х книг было на второй полке.
| Число книг |
Было |
Стало |
|
на полке I |
5х |
5х - 12 |
|
на полке II |
х |
х + 12 |
Вопросы по ходу решения и заполнения таблицы:
- Сколько было книг на I полке? (в 5 раз больше, чем на второй)
- Каким выражением можно это показать? (5х)
- Что означает выражение 5х? (то, что на I полке было в 5 раз больше книг, чем на II)
- Сколько книг переложили с I полки? (12)
- Сколько стало на I полке? (на 12 меньше)
- Каким выражением можно это показать? (5х - 12)
- Куда переложили эти 12 книг? (на II полку)
- Сколько стало книг на II полке? (на 12 больше)
- Каким выражением можно это показать? (х + 12)
- После выполнения всех действий с книгами, какое количество книг стало на I и II полках? (равное)
- Как составить уравнение?
Зная, что книг на полках стало поровну, составим и решим уравнение:
5х - 12 = х + 12
5х - х = 12 + 12
4х = 24
х = 6
Значит, 6 книг было на II полке.
6 · 5= 30 (книг) - было на I полке.
Ответ: 30 книг, 6 книг.
2. Используя указания к предыдущей задаче, решим следующую:
В первой корзине было в 5 раз больше яблок, чем во второй. После того как из первой корзины взяли 8 кг яблок и переложили их во вторую корзину, яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было первоначально в каждой корзине?
Указания:
а) обозначь через х число яблок, находящихся первоначально во второй корзине;
б) заполни следующую таблицу:
в) составь уравнение;
г) реши уравнение;
д) дай ответ на вопрос задачи.
Пусть во второй корзине было х кг яблок.
| Число яблок |
Было |
Стало |
|
в корзине I |
5х |
5х - 8 |
|
в корзине II |
x |
х + 8 |
Зная, что яблок в корзинах стало поровну, составим и решим уравнение:
5х - 8 = х + 8
5х - х = 8 + 8
4х = 16
х = 16 : 4
х = 4
Значит, во второй корзине было 4 кг яблок.
5 ﮲ 4 = 20 кг - в первой корзине.
Ответ: 20 кг, 4 кг.
3. На путь от поселка до города велосипедист затрачивает 2 часа, а пешеход - 6 часов. Скорость велосипедиста на 12 км/ч больше скорости пешехода. С какой скоростью идет пешеход? Используй при решении таблицу.
Пусть скорость пешехода х км/ч.
| Движение |
V (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
|
пешехода |
x |
||
|
велосипедиста |
|
Движение |
V (км/ч) |
t (ч) |
S (км) |
|
пешехода |
x |
6 |
6х |
|
велосипедиста |
х + 12 |
2 |
2(х + 12) |
Вопросы по ходу решения и заполнения таблицы:
- Как найти расстояние, зная время и скорость движения? (S = V · t)
- Что означают выражения: 6х, х + 12, 2·(х + 12)?
- Есть ли среди этих выражений равные? Какие?
Составим и решим уравнение: 6х = 2 · (х + 12).
6х = 2х + 24
4х = 24
х = 6
6 км/ч - скорость пешехода.
Ответ: 6 км/ч.