Цели урока:
- ввести понятие независимых событий, опираясь на жизненный опыт учеников;
- научить видеть независимые события в окружающем мире;
- ввести формулу умножения вероятностей;
- показать применение формулы на практике.
Учащиеся должны усвоить, что такое независимые события в контексте теории вероятностей. Это фундаментальное понятие, которое необходимо для дальнейшего изучения вероятности и статистики.
Основная цель - научить учащихся использовать формулу умножения вероятностей для вычисления вероятности совместного наступления двух или более независимых событий.
Учащиеся должны научиться применять формулу умножения вероятностей в различных ситуациях, включая решение задач и анализ реальных сценариев.
Через практические задания и домашние задания учащиеся развивают способность анализировать ситуации, определять, являются ли события независимыми, и правильно вычислять их вероятности.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что формула умножения вероятностей применима только к независимым событиям и не может быть использована, если события зависимы.
Эти цели направлены на то, чтобы учащиеся не только запомнили формулу, но и поняли её применение и ограничения, что является ключевым для глубокого понимания темы.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания (выборочно собрать тетради)
№120 На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что очередная произведенная тарелка попадет в продажу.
Используем дерево вероятностей
Вероятность искомого события Р(А) = 0,1ˑ0,2 +0,9 = 0,92.
Ответ: 0,92
№124. В семье есть двое детей. Известно, что среди них есть мальчик. Найдите вероятность того, что второй ребенок тоже мальчик (считайте , что рождение мальчика и девочки равновозможны).
Событие A - "в семье есть мальчик", и событие B - "второй ребенок тоже мальчик".
Возможны исходы ММ, МД, ДМ, ДД. Р(А) = 3/4 = 0,75; Р(В) =0,5
Вероятность того, что в семье два мальчика (AB), равна вероятности рождения мальчика, умноженной на вероятность рождения еще одного мальчика: P(AB)=0.5·0.5=0.25
Теперь, используя формулу условной вероятности:
Таким образом, условная вероятность того, что второй ребенок тоже мальчик:
Ответ: 1/3
II. Изучение нового материала
1) Мы уже знаем какие бывают события. События бывают достоверные, случайные, невозможные; совместные и несовместные.
А={Василиса спит}
В={Василиса ест бутерброд} Какие это события? (события несовместные)
Какие это события? А={Маша на даче}
В={Маша ест бутерброд}
Это события совместные {Маша на даче ест бутерброд}
2) События могут быть зависимые и независимые
Определение независимых событий:
Независимые события - это такие события, при которых наступление одного не влияет на вероятность наступления другого. Например, бросок игрального кубика и выбор карты из колоды - независимые события, потому что результат одного не зависит от результата другого.
Задание: Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как зависимые и независимые.
а) А: я получил двойку; В: мама будет ругаться.
б) А: на первой кости выпало 5 очков; В: на второй кости выпало 3 очка.
в) А: гол забил Иванов; В: гол забил Макаренко.
г) А: Оля пришла без сменной обуви; В: Оля ходит в бахилах.
3) В теории вероятностей существует и другое определение независимости событий. События А и В называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей.
Чтобы пояснить формулу рассмотрим пример Бросаем две игральные кости. В этом опыте 36 элементарных событий, записанных в виде таблицы:
Выпадение числа на первой кости (вероятность 1/6) не влияет на выпадение числа на второй кости (и наоборот).
Событие А = {выпадение двойки на первой кости};
Событие В = {выпадение двойки на второй кости}.
При бросании двух костей выпадают две двойки - событие А∩В.
Тогда: Р(А∩В) - 1/6 ˑ 1/6 = 1/36
Формула умножения вероятностей
Для независимых событий A и B вероятность их совместного наступления P(A∩B) вычисляется по формуле: P(A∩B)=P(A) ˑ P(B)
Это означает, что если мы хотим узнать вероятность двух независимых событий, которые происходят одновременно, мы умножаем вероятности каждого из них.
Примеры для иллюстрации:
- При броске двух кубиков вероятность того, что на обоих выпадет шестерка, равна 1/6 умножить на 1/6, что равно 1/36.
- При броске двух монет вероятность того, что обе выпадут орлом, равна 1/2 умножить на 1/2, что равно 1/4.
III. Тренировочные упражнения
Выполнить устно № 127, 128, 129 (учебник Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях, 7-9 классы/ Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред. Ященко И.В., Акционерное общество «Издательство «Просвещение», 2023)
Задачи, входящие в ЕГЭ
Задача 1. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна P(А) = P(1) · P(2) · P(3)
P(А)=0,3 · 0,3 · 0,3=0,027. Ответ: 0,027
Задача 2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решeние: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836.
Задача 3. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение: В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 - 0,8 = 0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность А= {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность
Ответ: 0,02
Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение: В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов.
Найдем вероятность противоположного события
= {оба автомата неисправны}.
Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий: Р(А) = 0,05 ˑ0,05 = 0,0025
Значит, вероятность события А = {хотя бы один автомат исправен} равна
Р(А) = 1 - Р() = 1 - 0,0025 = 0, 9975.
Ответ: 0,9975.
IV. Самостоятельная работа, обучающего характера
Вариант 1
1) События С и D независимы. Найдите Р(С ∩ D), если Р(С) = 0,3; Р(D) = 0,5.
Ответ: 0,15
2) События К и L независимы. Найдите Р(К), если Р(L) = 0,9; Р(K ∩ L) = 0,72.
Ответ: 0,8
3) В офисе работают три менеджера по продажам. Каждый из них находится на переговорах с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три менеджера находятся на переговорах одновременно (считайте, что встречи с клиентами происходят независимо друг от друга).
Решение: А= {Все три менеджера на переговорах}
P(А)=P(1) · P(2) · P(3)
P(А)=0,4 · 0,4 · 0,4=0,064
Ответ: 0,064
4) Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение: Обе перегорят (события независимые и пользуемся формулой произведения вероятностей) с вероятностью Р()=0,3 · 0,3=0,09
Противоположное событие (НЕ обе перегорят = ОДНА хотя бы не перегорит) произойдет с вероятностью Р(А) =1 - Р() = 1-0,09 = 0,91
Ответ: 0,91
Вариант 2
1. События E и F независимы. Найдите P(E∩F), если P(E)=0,4; P(F)=0,7
Ответ: 0,28.
2. События M и N независимы. Найдите P(M), если P(N)=0,8 P(M∩N)=0,64.
Ответ: 0,8.
3. В офисе работают четыре менеджера по продажам. Каждый из них находится на переговорах с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все четыре менеджера находятся на переговорах одновременно (считайте, что встречи с клиентами происходят независимо друг от друга).
Решение: А= {Все менеджера на переговорах} P(А)= 0,34=0,0081.
Ответ: 0,0081
4. В классе установлены три проектора. Вероятность выхода из строя одного проектора за год составляет 0,2. Найдите вероятность того, что за год выйдет из строя хотя бы один проектор.
Обозначим событие B - "все три проектора вышли из строя". Тогда вероятность этого события равна:
P(B)=0,2 · 0,2 · 0,2=0,008
Теперь найдем вероятность противоположного события - "хотя бы один проектор не вышел из строя", P(
)=1− P(B)=1−0,008=0,992
Ответ: 0,992
V. Подведение итогов урока
- Какие события называются независимыми? Приведите примеры.
- События А и имеют положительные вероятности. Могут ли эти события быть независимыми?
- Являются ли элементарные события в случайном опыте независимыми?
VI. Домашнее задание
- Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
- В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
- Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
- Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
- В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,08 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Ответы:
- 0,9216;
- 0,064;
- 0,0441; 0,04
- 0,96;
- 0,9936