Задания, связанные с параметрами, представляют собой одну из самых трудоемких областей математики в школьной программе. Эти задачи примечательны своими креативными и аналитическими аспектами. Для решения задач такого типа необходимы как хорошие знание теории из школьного курса математики, так и развитое логическое мышление, способность адаптироваться к нестандартным ситуациям, умение проводить исследования и высокий уровень общей математической подготовки [5].
В современном образовательном контексте акцент на углубленное изучение математики в школьных курсах становится все более существенным. В этом контексте, методика решения уравнений с параметрами в 8-9 классах приобретает особую актуальность:
1. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ: Умение решать уравнения с параметрами становится ключевым компонентом успешной сдачи ОГЭ и подготовки к ЕГЭ по математике профильного уровня. Этот навык не только позволяет эффективно решать задачи, но и развивает аналитическое мышление и логическую последовательность в рассуждениях.
2. Подготовка к высшему образованию: В современном мире высокая математическая компетенция является важным преимуществом при поступлении в ведущие вузы. Методика решения уравнений с параметрами сегодня оценивается как неотъемлемая часть уровня математической подготовки абитуриентов.
3. Развитие аналитического мышления: Учение решать уравнения с параметрами способствует развитию гибкого и адаптивного мышления. Этот процесс требует анализа различных сценариев и поиска оптимальных решений, что формирует у школьников навыки самостоятельного мышления и решения проблем.
4. Соответствие требованиям современного образования: С учетом изменяющихся стандартов образования, методика решения уравнений с параметрами обеспечивает соответствие требованиям современного учебного процесса, ориентированного на развитие творческих и аналитических способностей обучающихся.
5. Подготовка к профильному обучению: Для учащихся, которые решили углубленно изучать математику в рамках профильного образования, освоение методов решения уравнений с параметрами является ключевым аспектом, становится важным этапом формирования базовых математических компетенций.
Цель статьи - изучение различных подходов к решению уравнений с параметрами, применяемых в образовательной программе для учеников 8-9 классов, которые выбрали углубленное изучение математики.
ОГЭ - это итоговый экзамен для выпускников 9 классов, завершающий курс основного общего образования в России. Для достижения отличных результатов на этом экзамене необходимо умение решения задач второй части экзамена. Одной из трудных задач, которые могут встретиться на письменной части, являются задачи с параметром. Научиться решать их на уровне ОГЭ имеет важное значение, так как они также встречаются на Едином государственном экзамене (ЕГЭ) и на математических олимпиадах.
Умение решать задачи с параметрами не только демонстрирует высокий уровень математической подготовки обучающихся, но и является ключевым навыком для успешной сдачи экзаменов и получения преимуществ при поступлении в высшие учебные заведения. Эти задачи способствуют развитию вариативного мышления, углубляют знания и позволяют выявить наиболее способных абитуриентов для вузов, требования к которым постоянно растут.
Приобретение навыков решения нестандартных задач, включая задачи с параметрами, остается важной задачей для учащихся в школах. Несмотря на наличие обширного материала по этой теме, педагоги часто сталкиваются с трудностями при обучении решению таких задач. Это обусловлено тем, что основной подход к математическому обучению в школе сконцентрирован на приобретении навыков, необходимых для решения типовых задач. Уравнения с параметрами выходят за рамки этого подхода, поскольку их решение требует более глубокого понимания математики, включая сложные логические рассуждения, анализ, и построение, которые могут значительно отличаться от решения задач стандартного типа [1].
В рамках подготовки научной статьи использовались методы аналитического изучения образовательных ресурсов и интеграции, а также систематизации данных, полученных из учебных и методических материалов.
Толковый словарь математических терминов дает следующее определение: «Параметр (греч. parametron - отмеривающий) - величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения» [4]. Когда в уравнении или неравенстве используются буквы для обозначения коэффициентов вместо числовых значений, такие буквы именуют параметрами.
В результате задача с параметрами распадается на ряд однотипных задач, соответствующих возможным числовым значениям параметра.
Сложность задач с параметрами. Задачи с параметрами часто кажутся проще, чем на самом деле. Это связано с тем, что наличие параметров может привести к нестандартным и неочевидным ситуациям, требующим особого подхода к решению. Из-за отсутствия универсального алгоритма решения такие задачи обладают повышенной сложностью.
Решение задач с параметрами. Для этого необходимо:
- Определить множество допустимых значений переменных и параметров, при которых уравнение или неравенство имеют смысл.
- Найти множества решений для каждой допустимой системы значений параметров.
Значение задач с параметрами. Задачи, включающие параметры, представляют собой упрощённые версии задач, с которыми можно столкнуться в научных исследованиях. Они отличаются широким спектром типов, охватывая анализ квадратных функций, рациональных уравнений и тригонометрических выражений. Решение таких задач развивает логическое мышление, творческие способности и способность находить нестандартные решения.
Для решения уравнений с параметрами при углубленном изучении математики, полезно овладеть следующими методиками:
1. Подстановка: Подстановка значений параметров в уравнение для нахождения конкретных решений. Этот метод особенно удобен, когда уравнение принимает форму, которую можно легко решить с известными значениями параметров.
Пример:
Рассмотрим систему уравнений:
Для начала выразим y из первого уравнения:
у = 10−3x
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
х−2(10−3х) = p
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:
Теперь, зная x, мы можем найти y из первого уравнения:
Таким образом, мы получили выражения для x и y через параметр p.
2. Анализ графиков: Построение графиков уравнений с параметрами и анализ их поведения при изменении параметров. Это позволяет визуализировать влияние параметров на решения уравнений.
Пример: Рассмотрим уравнение с параметром p:
y=mx+p,
где m - некоторый коэффициент, а p - параметр.
Для анализа этого уравнения с параметром можно использовать следующий подход:
- Изучение наклона графика:
- Если m положительно, график функции будет наклонен вверх справа налево.
- Если m отрицательно, график функции будет наклонен вниз справа налево.
- Влияние параметра p:
- Параметр p сдвигает график функции вверх или вниз (это определяет его знак и величина).
- Если p>0, график поднимается на ∣p∣ единиц.
- Если p<0, график опускается на ∣p∣ единиц.
Анализируя график уравнения с параметром, можно определить его поведение в зависимости от значений коэффициентов m и p, что поможет понять общую форму графика и его свойства.
3. Обобщенные методы: При решении уравнений с параметрами важно уметь применять различные методы в зависимости от их структуры и особенностей. Ниже приведены некоторые обобщенные методы, которые могут быть полезны при решении таких уравнений:
- Метод подстановки: Позволяет выразить одну переменную через параметр из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение для последующего решения.
- Метод анализа графиков: Основан на изучении графиков уравнений с параметрами. Позволяет определить поведение графика в зависимости от значений параметров.
- Метод сравнения коэффициентов: Позволяет сравнить коэффициенты при одинаковых степенях переменных в уравнениях с параметрами для выявления связей между ними.
- Метод исключения: Позволяет избавиться от одной из переменных путем выражения ее через другие переменные и параметры.
- Метод подстановки конкретных значений параметров: Пригоден для уравнений, где параметры принимают конкретные значения. Позволяет рассмотреть уравнение как обычное уравнение и решить его.
Методы могут применяться как в сочетании, так и по отдельности, в зависимости от характера задачи и личных предпочтений того, кто её решает. Ключевым является умение гибко подстраивать методику под каждый конкретный случай для успешного нахождения решений уравнений, содержащих параметры.
4. Системы уравнений: Изучение систем уравнений, включающих параметры, предполагает анализ уравнений, где каждое может иметь свои уникальные параметры. Решая такие системы, можно определить значения параметров, которые соответствуют заданным условиям. Линейные системы уравнений с параметрами решаются с применением стандартных методов, аналогичных тем, что используются для обычных систем уравнений, в том числе метода подстановки, метода сложения и графического метода.
Вывод: В данной научной статье рассмотрена методика решения уравнений с параметрами в рамках математического образования на уровне 8-9 классов с углубленным изучением предмета. Методика представляет собой систематизированный подход, позволяющий школьникам освоить основы работы с уравнениями, включая их решение при наличии параметров. Предложенный подход направлен на развитие математической грамотности и аналитического мышления у учащихся, а также способствует формированию у них навыков абстрактного мышления и логического вывода. Представленные в статье методы и приемы могут быть успешно применены учителями математики для повышения эффективности обучения и развития математических компетенций учащихся на старших этапах обучения.
Список литературы
- Литвинова И.Н. Решение задач с параметрами как средство формирования исследовательских умений учащихся // Концепт. 2015. №6. С. 11-15.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений с прил. На электрон. носителе. Под ред. С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2013. 287 с.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений. 4-е изд. Под ред. С.А.Теляковского. М.: Просвещение, 2017. 287 с.
- Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: учеб. пособие. М.: «Просвещение», 1965. 540 с.
- Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика: учеб. пособие. М.: «Экзамен», 2009. 286 с.
- Постникова С.Я. Уравнения с параметрами на факультативных занятиях // Математика в школе. 2002. № 8. С. 45-46.