Урок по теме "Применение теоремы Пифагора при решении практических задач"

Урок геометрии в 8 классе

Класс: 8.

Место урока (по тематическому планированию ПРП): 3.

Уровень изучения: базовый.

Тип урока: урок систематизации знаний и умений.

Планируемые результаты:

Личностные:

• проявление интереса к истории математики, установка на активное участие в решении практических задач математической направленности, готовность к действиям в условиях неопределённости, повышению уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других.

Метапредметные:

Познавательные универсальные учебные действия:

• базовые логические действия: выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
• базовые исследовательские действия: аргументировать свою позицию, мнение при решении задач.
• работа с информацией: выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления.

Коммуникативные универсальные учебные действия:

• принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы.

Регулятивные универсальные учебные действия:

• самоорганизация: самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи.
• самоконтроль: владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи.

Предметные:

• пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач.
• строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины.

Ключевые слова: прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза, теорема Пифагора.

Краткое описание: При решении практических задач используется теорема Пифагора.

При подготовке и проведении урока используются:

1. ru.wikipedia.org https://www.mathedu.ru/text/gleyzer_istoriya_matematiki_v_shkole_7-8_klassy_1982
2. Математическая составляющая/ Редакторы-составители Н.Н.Андреев, С.П.Коновалов, Н.М.Панюнин; Художник-оформитель Р.А.Кокшаров. - М.: Фонд «Математические этюды», 2015.
3. Учебник «Геометрия»: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. М.: Вентана - граф, 2017.
4. «Геометрия»: дидактические материалы: 7 класс: пособие для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. М.: Вентана - граф, 2017.
5. Раздаточный материал, https://math-oge.sdamgia.ru/?redir=1,
6. Мультимедийная установка.

1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала

1.1. Мотивирование на учебную деятельность.

На экране три портрета учёных и четыре варианта ответов, на столах листы с описанием трёх ученых (групповая работа).

Перед вами портреты трёх великих людей, сделавших немало открытий в области геометрии.

1. Первый из них принадлежит к первым представителям Александрийской школы, жил за 300 лет до н.э.

Именно он сделал то, что сегодня кажется само собой разумеющимся: он стал основывать все свои выводы на цепочке строгих логических выводов. При этом он считал важным, что цепочка должна где-то начинаться, а не вырастать из пустого места. Он сам сформулировал свои знаменитые аксиомы - утверждения, не требующие доказательств. И только на этих аксиомах ему удалось вывести все остальные доказательства и теоремы.

Одна из самых известных легенд о нём дошла до нас со слов самого Архимеда. Тот поведал, что однажды сам царь Птолемей решил начать изучать геометрию. Однако наука показалась царской особе весьма трудной и никак не давалась. И тогда Птолемей поинтересовался, нет ли способа как-нибудь попроще и побыстрее все освоить… На что учёный произнес сегодня уже ставшую крылатой фразу: «В геометрии нет царских путей».

2. Второй был одним из величайших математиков древности. Родился приблизительно в 580 г. до н.э. на острове Самос. Он стоял у истоков греческой науки, был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Его целью было разобраться в строении Вселенной и человеческого общества. В молодости он путешествовал по Египту, жил в Вавилоне. Всюду он по крупицам собирал древнейшие знания народов по математике, астрономии, технике. Этот античный ученый побеждал на Олимпийских играх. Он сформулировал и доказал одну из важнейших теорем которую очень часто используют при изучении геометрических вопросов.

Причина популярности этой теоремы триедина: это простота, красота и значимость. Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье эту теорему называли «мостом ослов». У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теорема невесты», за сходство чертежа с пчёлкой, бабочкой, что по - гречески называлось нимфой. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертёж, перевёл слово « нимфа» как «невеста», а не «бабочка».

3. Третий родом он был из Милета, называли его милетским мудрецом. Он разделил год на 365 дней, объяснил причину солнечных затмений и предсказал знаменитое затмение 585 г., происходившее в день битвы. Но больше всего прославилось его учение о происхождении мира. Его считали мудрецом. Своим характером он напоминал чудака-учёного. «Происходя из знатного рода, он жил просто и бедно, занимаясь своими вычислениями. В геометрии есть теорема, доказанная этим мудрецом и носящая его имя. Она до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Расположите этих учёных в порядке описания и назовите учёного провозгласившего тезис: «Числа правят миром через свойства геометрических фигур». Ответ запишите в тетради через запятую (групповая работа).

1.2. Актуализация опорных знаний.

Тест с последующей взаимопроверкой по эталону (индивидуальная работа)

1. К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?
а) любым
б) прямоугольным
в) равнобедренным

2. В прямоугольном треугольнике углы равны:
а) 90; 60; 90
б) 45; 90; 45
в) 60; 30; 60

3. Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?
а) да
б) нет
в) не знаю

4. Теорема Пифагора, где а, b - катеты, с - гипотенуза, записывается так:
а) а² = с² - b²
б) b² = с² - а²
в) с² = а² + b²

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а катет 9 см. Найдите длину второго катета.
а) 24
б) 6
в) 12

6. Египетский треугольник имеет стороны:
а) 3, 4, 5
б) 3, 5, 7
в) 5, 12, 13

1.3. Целеполагание.

Сегодня на уроке мы научимся применять полученные знания по теме «Теорема Пифагора» при решении практических задач.

2. Обобщение и систематизация знаний

2.1. Подготовка учащихся к обобщённой деятельности.

Фронтальная работа.

Найдите длину неизвестного отрезка x.

2.2. Проверка первичного усвоения.

1. Начертите прямоугольный треугольник. Запишите теорему Пифагора, если катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна с.

2. Используя данное равенство, запишите формулы для нахождения любой стороны прямоугольного треугольника по двум известным.

3. Применение изученного материала

3.1. Применение знаний в новых ситуациях.

Работа в парах.

Решите задачи:

1. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами A и B, расположенными на разных берегах озера.

2. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,4 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места троса на земле равно 3,3 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах.

3. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 3,5 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

4. Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а её высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.

5. Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 12 м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.

3.2. Выполнение межпредметных заданий и заданий из реальной жизни.

6. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

3.3. Выполнение заданий в формате ОГЭ.

Работа в группах.

Серёжа летом отдыхает с папой в деревне Пирожки. В среду они собираются съездить на машине в село Княжеское. Из деревни Пирожки в село Княжеское можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Васильево до деревни Рябиновки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в село Княжеское. Есть и третий маршрут: в деревне Васильево можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Княжеское, которая идёт мимо пруда.

Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Серёжа с папой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге - со скоростью 40 км/ ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, длина стороны каждой клетки равна 2 км.

1) Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённый пункт	д. Пирожки	д. Васильево	д. Рябиновка
Цифры

2) Сколько километров проедут Серёжа с папой от деревни Васильево до села Княжеское, если они поедут по шоссе через деревню Рябиновку?

3) Найдите расстояние от деревни Васильево до села Княжеского по прямой. Ответ дайте в килметрах.

4) Сколько минут затратят на дорогу из деревни Пирожки в село Княжеское Серёжа с папой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

3.4. Развитие функциональной грамотности.

Индивидуальная работа.

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе. Вышки сотовой связи бывают разной высоты: от 30 метров до 120 метров. Золотая середина 75 метров, сперва оператор оценивает экономическую эффективность, где и как строить АМС, как правило, строят там, где нет покрытия. Чем выше, тем лучше. Найдите радиус обслуживания S вышки высотой (h) 75 м, радиус земли принять за 6378 км.

Этап 3.5. Систематизация знаний и умений.

Индивидуальная работа.

№ 565

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

4. Подведение итогов, домашнее задание

4.1. Рефлексия.

Фамилия, имя
Я научился решать задачи
Я научился применять теорему Пифагора
Мне было интересно на уроке
Мне нужно ещё потренироваться в решении задач
На уроке чувствовал себя не комфортно, задания слишком трудные.
Мне было неинтересно на уроке
Мне это не нужно

4.2. Домашнее задание.

Параграф 16.

• I уровень: Найдите две задачи, пришедшие к нам из глубины веков, в решении которых используется теорема Пифагора, запишите их формулировки и решение.
• II уровень: Составьте практико-ориентированную задачу на применение теоремы Пифагора.

По желанию: № 560.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.