Методический практикум «Решение финансовых задач»

Разделы: Математика

Классы: 10, 11

Введение

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике представляет собой форму государственной итоговой аттестации, проводимой в целях определения соответствия результатов освоения обучающимися основных образовательных программ среднего общего образования по математике требованиям федерального государственного образовательного стандарта.

Экзамен содержит достаточный материал для диагностики общих математических умений, применяемых при изучении иных предметов, в быту и массовых профессиях.

Задания части 2 предназначены для проверки математических знаний на уровне, необходимом для абитуриентов технических и математических специальностей. Традиционно в их число входит исследование функций, задачи по стереометрии, планиметрии, решение уравнений и неравенств, текстовая задача.

Задание №15 проверяет умение анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах, решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения.

1. Критерии проверки и оценка решений задания № 15 ЕГЭ-2022

Задание проверяет сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для выполнения этого задания нужно уметь решать текстовую задачу с экономическим содержанием.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Верно построена математическая модель

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Отмечу, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного ответа. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (арифметической, алгебраической, геометрической, функциональной) модели.

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

2. Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж - это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.

При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула:

,

где A - сумма, взятая в кредит, r % - процентная ставка в банке, x - сумма платежа, n - количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Например, если Вы взяли кредит в банке на сумму 500 тыс. рублей сроком на 3 года под 14% процентов годовых, то справедливо следующая формула:

Задача 1. Банк предлагает кредит на 3 года на покупку машины стоимостью 546000 рублей на следующих условиях: - раз в год банк начисляет на остаток долга 20%; - после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга; - выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами. Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

Решение:

3. Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж - это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные.

Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита A разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на A по сравнению с долгом на начало года.

Задача 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

Пусть A тыс. рублей - сумма, взятая в кредит. Фраза "долг должен быть на одну и ту же величину меньше" означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.

Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая - это часть от A; вторая часть состоит из процентов, "набежавших" на долг в этом месяце.

Составим таблицу:

4. Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей

Задача 3. В январе банк предоставляет кредиты на сумму A рублей на 6 лет на следующих условиях: - в ноябре каждого года, начиная с первого (когда был взят кредит) сумма долга возрастает на некоторое целое число y процентов; - в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга; - платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

Какой наибольший процент годовых, выраженный целым числом, должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

Решение:

5. Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины

Задача 4. На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся t2 часов в неделю, то они производят t товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся р2 часов в неделю, то они производят 2р товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн. рублей.

Решение:

6. Основные ошибки при решении задания № 15 ЕГЭ-2021

На основной волне ЕГЭ-2021 по математике профильного уровня предлагалась следующая задача:

Задача 5. 15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2-го по 14-ое число каждого месяца надо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-ый (с февраля по ноябрь 2025 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца;
  • 15-го ноября 2025 года долг составит 400 тысяч рублей;
  • 15-го декабря 2025 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение:

Условие этой задачи позволяет вычислить величину, на которую ежемесячно уменьшается долг (1200 -400):10 = 80. Значит можно найти и величину долга на начало каждого периода (1200, 1120, 1040, …400). Поэтому не составит труда вычислить сумму выплат после полного погашения кредита.

Применение формулы суммы членов арифметической прогрессии позволяет существенно облегчить вычисления. Так как величины долга на начало каждого периода составляют арифметическую прогрессию, то и проценты, на них начисленные, так же составляют арифметическую прогрессию, в которой

а1 =0,01 *1200=12; п=11; а11 =0,01 * 400=4 .

Переплата равна сумме начисленных процентов, то есть сумме 11 членов арифметической прогрессии (12 + 4):2 * 11 = 88 тыс.руб.

Значит, общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна

1200+ 88 = 1288 тыс.руб.

Ответ: 1288 тысяч рублей.

Комментарий. Участники экзамена, которые не смогли выполнить данное задание, делятся на две группы: те, кто не смог составить математическую модель решения (или составил её неверно), и те, кто допустил ошибки (как правило, вычислительные) при решении. Следует отметить резкое снижение за последние годы доли участников экзамена, которые допускают ошибки при составлении математической модели. Это является следствием, в том числе, резкого усиления внимания к практико-ориентированным заданиям в школьном курсе. При этом рост сформированности культуры решения уравнений, безошибочного выполнения математических действий, несколько отстаёт, так как основы этого закладываются в 1-6 классах.

Задание, некоторое время назад считавшееся сложным, уже показывает высокий уровень выполнения. Многие из тех, кто брался за задачу, верно составляли арифметическую модель последовательности платежей и выясняли, что она является арифметической прогрессией. Основной проблемой в решении таких задач стали вычислительные ошибки, причем ошибки на порядок или два. Следует обращать внимание на прикладной характер задачи. При подготовке опять годится метод внимательного рассмотрения ситуации. В долг клиент берет в банке 1 млн 200 тыс. рублей. Может ли сумма, которую он возвращает в банк, быть меньше или превосходить взятую сумму на порядок? Очевидно, нет. Задав себе эти вопросы, участник экзамена может допустить ошибку в счёте, но вероятность вовремя её обнаружить многократно возрастает, так как он не оставит без анализа собственные результаты: 15 млн рублей или 7 тыс. рублей, либо им подобные. Обращаем внимание на то, что в задачах, имеющих прикладной или практический характер, очень часто можно выстроить систему подготовки на наводящих вопросах - ответах, заставляющих обучающегося волей-неволей производить прикидку результата задолго до проведения вычислений.

Заключение

Повлиять на результаты выполнения данного задания возможно только работая по трем направлениям:

  • через повышение качества математической подготовки за основную школу,
  • через усиление внимания к соответствующим разделам курса математики старшей школы,
  • через выявление учащихся, потенциально способных справляться с такого рода заданиями, и выстраивание с каждым из них на этапе подготовки к экзамену грамотной диагностической работы, направленной на выявление конкретных проблемных зон, что позволит вести адресную работу.

Отмечу также негативную тенденцию: произошло снижение процента участников, набравших баллы за решение задания 15 (экономическая задача).

№

Проверяемые требования (умения)

Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы

Уровень сложности задания

Уровень выполнения заданий по группам участников, %

2021г

2020г

17

Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни

Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах. Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

П

10

11,8

На данный результат могло повлиять натаскивание, так как эта задача не поддерживается самостоятельной линией в программе курса и отрабатывается лишь при подготовке к экзамену.

Использованные источники

  1. https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2 Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ 2022. Математика.
  2. Методические материалы для председателей и членов РПК по проверке выполнения заданий с развернутым ответом ЕГЭ 2022.
  3. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по математике. И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий. Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Федеральный институт педагогических измерений», 2021.
  4. Методический анализ результатов ЕГЭ 2021 г. по математике (профильный уровень ) в РСО-Алания.