Представим формирование понятия «Параллелограмм».
Цели:
Образовательные:
- Сформировать понятие параллелограмма;
- Рассмотреть свойства параллелограмма;
- Сформировать учебные умения по решению задач по теме «Параллелограмм».
Познавательные:
- Научить анализировать, выделять главное в изучаемом материале;
- Сравнивать и обобщать полученные знания.
Развивающие:
- Формирование грамотной устной и письменной речи.
Согласно концепции поэтапного формирования умственных действий, формируя понятие «Параллелограмм» выделим следующие этапы:
Первый этап: составление схемы ориентировочной основы действия
1. Вниманию учащихся предлагается изображение фигуры (рис.1).
Рис.1
2. Вводится понятие «параллелограмм» (Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны).
Второй этап: формирование действия в материализированном виде
Учащимся предлагается задание для выполнения с объяснением.
Найдите параллелограмм из множества предложенных фигур (рис.2).
Рис. 2
Второй этап учитель может считать завершённым, если учащиеся при полной самостоятельности или с небольшой помощью учителя могут выделить понятия «Параллелограмм» из целого ряда других понятий.
Третий этап: формирование действия как внешнеречевого
Учащимся предлагается рассмотреть некоторые свойства параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.3). Проведём диагональ AC, которая разделит параллелограмм на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (АС - общая сторона, 
1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых AB, CD и секущей АС (по определению), 1 = 2 (по свойству накрест лежащих углов), 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых ВС, AD и секущей АС (по определению), 3= 4 (по свойству накрест лежащих углов). Поэтому AB=CD, DA=CB и B = D. Пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4 получаем: В= 1+ 3 = 2+ 4 = С.
Рис.3
2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Пусть О - точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 4). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, 1 = 2 и 3 = 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому АО=ОС и ОВ=ОD, что и требовалось доказать.
Рис. 4
Данный этап учитель может считать завершённым, если на последующих уроках они смогут при полной самостоятельности проводить доказательство теорем на доске с подробным обоснованием каждой из выполненных операций.
Четвёртый этап: формирование действия во внешней речи про себя
Учащимся предлагаются задачи для самостоятельного выполнения с последующей проверкой.
Задача 1: периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна сторона на 3 см больше другой.
Решение:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.5).
2) Пусть сторона AB х см, тогда сторона AD будет равна (х+3) см.
3) Так как нам дан параллелограмм, то по свойству параллелограмма противоположные стороны будут равны, то есть AB=CD=x, AD=BC=(x+3).
4) P(ABCD)=AB+BC+CD+DA, тогда получаем:
48=х+(х+3)+х+(х+3)
4х+6=48
4х=42
х=10,5
Получаем: AB=CD=10,5 см, AD=BC=13,5 см.
Задача 2: биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС= 9 см.
Решение:
1) Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.6).
2) Проведённая биссектриса АК образует равнобедренный треугольник АВК. ВК=15 см (по условию), а так как треугольник равнобедренный, то и сторона АВ=15 см.Но мы рассматриваем параллелограмм, а по свойству параллелограмма о равенстве противоположных сторонах мы можем сделать вывод о том, что сторона СD = 15 см.
3) Сторона ВС параллелограмма ABCD равна ВК+КС=15+9=24 см, а по свойству параллелограмма, ВС=AD=24 см.
4) Находим P(ABCD)=AB+BC+CD+AD=15+24+15+24=78 см.
Рис. 6
Данный этап учитель может считать завершённым, если учащиеся, либо при полной самостоятельности, либо с небольшой помощью учителя могут выделять условие, заключение и сам процесс решения задачи.
Пятый этап: формирование действия во внутренней речи
На данном этапе учащимся предлагаются аналогичные задачи с целью проверки усвоения понятия параллелограмма, свойств параллелограмма, а так же усвоения навыка по решению задач данной темы.
Задача 1: периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см.
Задача 2: в параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН= 3 см, HQ= 5см, MNH=30°.
Этап можно считать завершённым, если учащиеся самостоятельно могут решить задачи, обосновать все выполняемые операции, обосновать на основе какого математического факта выполнена та или иная операция.
Выводы: понятие «Параллелограмм» можно считать усвоенным, если учащиеся могут дать определение данного понятия, а также, если у учащихся сформированы свойства параллелограмма и они без труда могут применять их при решении задач по данной теме.
Представим раскрытие процесса доказательств признаков параллелограмма.
При раскрытии процесса доказательств признаков параллелограмма учителю следует обратить особое внимание учащихся на следующие моменты:
- Умение выделять условие умозаключения.
- Умение выделять заключение.
- Умение выделять основные этапы самого процесса доказательств.
Первый этап: составление схемы ориентировочной основы действия
Перед учащимися ставится вопрос: как можно выделить параллелограмм из множества других фигур? ( У каждого предмета есть характерные признаки, по которым мы можем отличить этот предмет из множества других) .
Второй этап: формирование действия в материализированном виде
Вниманию учащихся предлагается изображение параллелограмма, по которому учащиеся пытаются самостоятельно сформулировать признаки параллелограмма. (рис.7)
Рис.7
Учащиеся предлагают различные формулировки признаков, которые учитель или принимает, но корректирует, или отвергает.
Третий этап: формирование действия как внешнеречевого
Учащимся предлагаются признаки параллелограмма с доказательствами.
1°. Если в чётырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Условие: Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны
Заключение: Четырёхугольник- параллелограмм.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD (рис. 8). Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, 1 и 2 накрест лежащие углы (по определению), 1=2 ( по свойству накрест лежащих углов) при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно 3 = 4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2° Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Условие: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны.
Заключение: Четырёхугольник - параллелограмм.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD (рис.9). Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что 1 = 2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
Рис. 9
3° Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Условие: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Заключение: Четырёхугольник- параллелограмм.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD (рис.10). Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, AOB и COD вертикальные углы (по определению), AOB =COD (по свойству вертикальных углов) ). Следовательно, AB = CD и Ð1 = Ð 2. Из равенства 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
Рис. 10
Четвёртый этап: формирование действия во внешней речи про себя
На данном этапе учащимся предлагаются задачи для самостоятельного выполнения с последующей проверкой.
Задача 1: из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А - острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK - параллелограмм (рис.11).
Дано:
ABCD - параллелограмм;
АВ ≠ ВС
Доказать:
BMDK - параллелограмм.
Доказательство:
Так как ВК и DМ перпендикулярны одной и той же прямой АС, BK и DM являются высотами, проведёнными в треугольниках АВС и CDA из вершин равных углов B и D к одной и той же стороне АС, значит, ВК=DM.
Имеем: две стороны ВК и DM четырёхугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK - параллелограмм.
Рис. 11
Задача 2: на сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы (рис.12).
Дано:
ABCD - четырёхугольник;
АМ=СР, BN=DQ, BM=DР, NC=QA
Доказать:
ABCD и MNPQ - параллелограмм.
Доказательство:
1) По условию в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны состоят из равных отрезков, поэтому равны, то есть AB=CD, значит, ABCD - параллелограмм.
2) Рассмотрим треугольники BMN и PDQ. BM=PD и BN=DQ (по условию). B=D как противоположные углы параллелограмма ABCD, значит треугольник MNB будет равен треугольнику PDQ по двум сторонам и углу между ними. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда MN=PQ. Мы доказали, что противоположные стороны MN и PQ четырёхугольника MNPQ равны. Аналогично, из равенства треугольников MAQ и PCN следует равенство сторон MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырёхугольника MNPQ. MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырёхугольника MPQ. Имеем: противоположные стороны четырёхугольника MNPQ попарно равны, а значит, MNPQ - параллелограмм.
Рис. 12
Пятый этап: формирование действия во внутренней речи
На данном этапе учащимся предлагается аналогичная задача для самостоятельного выполнения с целью проверки усвоения признаков параллелограмма и навыка решения задач по данной теме.
Задание 1: диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, - параллелограмм.
Вывод: признаки параллелограмма можно считать усвоенными, если учащиеся могут самостоятельно их сформулировать, а также применять при решении задач.