Казалось бы, что общего между ростом народонаселения, распадом радиоактивного вещества, ростом кристаллов, размножением бактерий, ростом денежных вкладов? А между тем при выводе закона, которому подчиняются эти естественные процессы, находит применение число e.
Константа, примерное значение которой в наше время знает практически любой школьник, сравнительно молода: она появляется в начале XVII века и негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык работы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». Само же число e впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
Существует четыре способа определения числа e:
- Через предел
- Как сумма ряда или
- Как единственное число а, для которого выполняется равенство
- Как единственное положительное число а, для которого выполняется равенство
Мы рассмотрим определение числа e через предел, для чего докажем теорему.
Теорема. Предел последовательности равен e.
Доказательство. Рассмотрим числовую последовательность с общим членом 
Воспользуемся теоремой Вейерштрасса*. Покажем сначала, что наша последовательность возрастающая. Разложим общий член последовательности по формуле бинома Ньютона**:
или
____________
* Любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел.
** Бином Ньютона - формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Имеет вид:
Из последнего равенства видно, что с увеличением номера n, каждое слагаемое, кроме первого, увеличивается и возрастает число таких слагаемых. Таким образом, каждый следующий член последовательности больше предыдущего, и поэтому последовательность возрастающая.
Покажем теперь, что рассматриваемая последовательность ограничена сверху. В последнем равенстве для n-го члена последовательности заменим выражения в круглых скобках единицами.
Тогда 
Подставляя вместо множителей 3,4… n в знаменателях число 2, мы еще больше увеличим правую часть:
Можно заметить, что часть слагаемых в правой части последнего неравенства образуют геометрическую прогрессию:
По формуле суммы членов геометрической прогрессии*
_____________
*
Поэтому an < 3 при любом n.
Таким образом, условия теоремы Вейерштрасса выполнены, а значит, последовательность имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой e:
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2,7182818284590…
Чтобы проверить, что, например, рост популяций живых организмов подчиняется закону экспоненциального роста, мы провели опыт по выращиванию плесени.
В качестве объекта наблюдения были выбраны плесневые грибы, поскольку они имеют высокую скорость роста и размножения. Кроме того, культуру плесневых грибов легко воспроизвести, не используя специальное оборудование.
На первом этапе работы была заложена питательная среда и созданы необходимые условия для роста плесневых грибов в двух чашках Петри. Были учтены следующие факторы: питательная среда обязательно должна содержать углеводную составляющую, необходимы достаточная влажность воздуха и относительно постоянная температура воздуха.
Общеизвестно, что в воздухе находится множество спор различных грибов, которые, попав в благоприятные условия, прорастают. Таким образом, для выделения плесневых грибов из воздуха чашки Петри с питательной средой открывают и оставляют в таком виде на 30 минут. Затем закрывают и ставят в теплое место. Через 3-4 дня на поверхности питательной среды вырастают колонии грибов, споры которых были в воздухе. При определении вида плесневых грибов, которые образовались на питательной среде, была установлена их принадлежность к биологическому виду Rhizopus nigricans.
Наблюдения проводились в течение 3 дней с момента возникновения первых мицелиев на поверхности питательной среды с периодичностью 12 часов. Длительность и периодичность наблюдения была выбрана в соответствии с биотическим потенциалом культуры плесневых грибов, отражающим способность популяции конкретного биологического вида к размножению и развитию при оптимальных условиях в отсутствии лимитирующих факторов.
В ходе наблюдений определялась площадь колонии плесневых грибов Rhizopus nigricans. Для измерений использовалась геоботаническая рамка для определения проективного покрытия. Результаты наблюдений были занесены в таблицу:
Показатели измерения площади колонии Rhizopus nigricans
| День наблюдения |
Временной промежуток |
Площадь колонии плесневых грибов (см²) |
|
1-й |
0.00 - 12.00
|
0,4
|
|
2-й |
0.00 - 12.00
|
2,89
|
|
3-й |
0.00 - 12.00
|
12
|
На завершающем этапе исследования, сравнивая «идеальную» кривую с полученными результатами, мы убедились, что рост популяций живых организмов подчиняется закону экспоненциального роста.
