Данная статья посвящена проблеме подготовки обучающихся решению задач по теории чисел, которые входят в комплект заданий профильного уровня ЕГЭ по математике в качестве заданий под номерами 3 и 4. Такие задачи вызывают затруднение даже у хорошо подготовленных обучающихся, а некоторые школьники даже не предпринимают попыток решить эти задания. В статье автор поделилась опытом работы по данной проблеме в обучении и воспитании.
Решение заданий на применение теории вероятности предполагает умение моделировать и исследовать простейшие реальные жизненные ситуации на языке теории чисел. В статье перечислены разные виды задач, встречающихся в ЕГЭ под номерами 3 и 4, а также показаны методы и приемы их решения. Умение решать задачи на нахождение вероятности некоторого события на этапе подготовки выпускников к единому государственному экзамену лучше достигается путем решения собранных задач разного типа по теории вероятности. Все виды задач имеют решения с развернутым ответом для активизации познавательной деятельности учащихся при подготовке к ЕГЭ. Автор статьи утверждает, что образцы решения задач и их прототипы систематизируют знания по решению вероятностных задач, активизируют логическое мышление и помогают выпускникам учебных заведений старшего звена более качественно подготовиться к государственной итоговой аттестации по математике.
Ключевые слова: ЕГЭ, теория чисел, теорема Бернулли.
Введение
Важной частью обучения математике сегодня является подготовка к Единому государственному экзамену, особенно в старших классах. Желающие продолжить обучение по техническим или математическим специальностям выбирают профильный уровень ЕГЭ по математике, который отличается от базовой более высокой сложности и разнообразием заданий.
Проведенный анализ результатов ЕГЭ по математике показывает, что у обучающихся среди заданий из первой части по алгебре наибольшую сложность вызывают задачи 3 и 4, требующие осознанного понятия методов решения разных видов заданий. Считаю, что эти задачи необходимо рассматривать дополнительно, обращая внимания на особенности решения. Кажется, при определенных условиях можно повысить эффективность подготовки учащихся с целью успешного решения задачи №3 и №4 профильного уровня ЕГЭ.
Элементы теории чисел представляют значимость именно для математического образования, так как позволяют сформировать понятие числа как основы числовых систем. Кроме того, изучение теории чисел положительно воздействует на развитие логического мышления, формируют математическую культуру учащихся, учит их работать с абстрактными понятиями
Уже начиная с 5-6 класса необходимо регулярно разбирать с учащимися задачи на теорию чисел. При этом содержание задач должно соответствовать изучаемым темам. Например, можно использовать в процессе изучения таких тем, как «Признаки делимости», «Среднее арифметическое», «Арифметический квадратный корень», «Квадратный трехчлен», «Проценты» и т.д.
Но не всегда один учитель ведет весь курс математики у одного класса, часто происходят замены учителя, либо школьник меняет образовательное учреждение. К тому же такой подход требует от учителя серьезных затрат времени на поиск или составление задачи, подходящей по своему содержанию. Поэтому целенаправленную подготовку учащихся начинают ближе к экзамену, обычно в старших классах.
При подготовке обучающихся старшего звена к итоговой аттестации наиболее оптимальным вариантом подготовки, на мой взгляд, является разработка образцы решения, направленные на знакомство учащихся с заданиями ЕГЭ. Курс может быть представлен также и в дистанционном формате. Например:
Задачи с решениями
Прототипы заданий
1.1. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Ответ: 0,88
1.2. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,92. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Ответ: 0,89
1.3. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Ответ: 0,90
2.1. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Ответ: 0,2
2.2. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Ответ: 0,25
2.3. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.
Ответ: 0,5
3.1. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,42
3.2. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно три броска? Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,08
4.1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,75
4.2. Агрофирма закупает куриные яйца только в двух домашних хозяйствах. Известно, что 5% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 30% яиц высшей категории. В этой агрофирме 15% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,6
4.3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 85% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 65% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,75
5.1. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
Ответ: 1,05
5.2. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?
Ответ: 5,25
5.3. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
Ответ: 4,8
Разработка образцов решения задач и прототипы всегда должны лежать на доступном месте для учащихся. Если в ходе выполнения тренировочной работы ученик не может решить задания по теории вероятности, то может посмотреть образец решения, прорешать несколько похожих задач, свериться с ответами. Через определённое время уменьшается потребность в необходимости данных образцов. Но за период подготовки к ЕГЭ, если не часто попадались более сложные задачи №4 и №5, то через определённое время обучающие все же обращаются к этим образцам. Конечно, во время проверочных работ контролирующего характера школьники не должны пользоваться данным материалом.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что сложность заданий №3 и №4 профильного уровня ЕГЭ по математике вполне преодолима, если обучающийся будет готовиться к ЕГЭ, имея образцы решения каждого типа задач и прототипы таких же заданий.