Решение задач на смеси и сплавы

С самого начала моей профессиональной деятельности мне приходится искать ответ на вопрос: «Как научить решать детей различного вида задачи?». Я, думаю, что эта проблема беспокоит любого практикующего учителя, как начальной школы, так и старшей.

С введением ЕГЭ и ОГЭ данный вопрос стал еще более актуальным. Если рассмотреть учебники по которым ведется преподавание математики в наших школах, то становится понятно, что решение задач любого вида рассматривается только с одной стороны, тогда как на самом деле большую часть из них можно решать более простыми и красивыми способами.

Рассмотренные мною методы решения задач на смеси и сплавы позволяют упростить решение данного вида задач, расширить математический кругозор учащихся, развивают умение отбирать и анализировать информацию.

1. С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА

В ходе решения различных задач я пришла к выводу, что их решать проще, если есть определенная картинка. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции - сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
3. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:

Решение.

1-й способ. Пусть хг - масса первого сплава. Тогда, (200-х)г - масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х= 60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго - 60г.

2-й способ. Пусть х г и у г - масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: x = 140, y = 60. Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго - 60 г.

Ответ: 140г, 60г.

В конечном итоге задачу можно решить с помощью уравнения или системы уравнений, однако без рисунка это сделать гораздо сложнее. Стоит отметить, что решение задач на смеси и сплавы таким способом является основным и наиболее часто используемым.

2. С ПОМОЩЬЮ ПРИРАВНИВАНИЯ ПЛОЩАДЕЙ РАВНОВЕЛИКИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Как нам известно из курса геометрии площади равновеликих прямоугольников равны. Это свойство можно использовать при решении задач на смеси и сплавы, когда известны концентрации смешиваемых растворов, полученного раствора и масса какого-нибудь из них.

Пример: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Пусть x г масса первого раствора, тогда масса второго (600 - x) г.

На горизонтальной оси отложим массы всех трех растворов, на вертикальной - процентное содержание соляной кислоты. На рисунке площадь голубого прямоугольника равна 15х, сиреневого - 5(600 - х).

15 х = 5 (600 - х)
х = 150

Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора.

При рассмотрении этого способа возникло сомнение в равновеликости полученных прямоугольников. Для доказательства этого возьмем два раствора с некоторым веществом: I - имеет a %концентрацию этого вещества, II - с %, причем с>a. При их смешивании получили раствор массой m, концентрация вещества в котором составляет b %.

Изобразим на координатной плоскости имеющиеся данные, причем массу раствора с большей концентрацией возьмем за x, тогда масса второго раствора будет (m - x).

Предположим, что площади закрашенных прямоугольников равны:

Наше предположение верно. Следовательно, данный способ можно использовать при решении задач в том случае, когда известны концентрации смешиваемых растворов, полученного раствора и масса одного из них.

3. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

При написании данной работы, я столкнулась со способом решения задач, который в разных источниках называется по-разному: арифметический, метод креста, метод рыбки, метод квадрата. Несмотря на то, что существует некоторая разница в оформлении, суть этого способа не меняется.

Любой человек понимает, что когда происходит смешивание каких либо веществ, они берутся в каком-то отношении. Суть этого метода заключается в том, что существует возможность найти в каком отношении взяты смешиваемые вещества. Так же возможно найти массу двух из веществ, если известна масса третьего.

Рассмотрим пример решения задачи. В точке начала двух отрезков обозначают концентрацию смеси. Далее указывают концентрации составных частей смеси, а справа - разности концентраций смеси и ее составных частей:

Возьмем два раствора с некоторым веществом: I - имеет a % концентрацию этого вещества, II - с %, причем с>a. При их смешивании получили раствор массой m, концентрация вещества в котором составляет b %. Исходя из предложенной схемы, получим, что вещества берутся в отношении:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Применяется для решения задач на разбавление и смешивание растворов.

Преимущества: легко восстановить в памяти (в отличие от метода креста), решает задачу одним уравнением.

В основе метода лежит определение:

где ω - массовая доля растворенного вещества,
m в-ва - масса растворенного вещества,
m - масса раствора.

Следовательно, масса растворенного вещества равна произведению массы раствора на массовую долю растворенного вещества:

mв-ва = m · ω (2).

При сливании растворов складываются как массы растворов:

m1 + m2 = m3 (3)

так и массы растворенных веществ:

mв-ва1 + mв-ва2 = mв-ва3

Подставляя вместо массы растворенных веществ произведение (2), получаем:

m1 · ω1 + m2 · ω2= m3 · ω3

Заменяя неизвестную массу на выражение (3), получаем:

m1 · ω1 + m2 · ω2= (m1 + m2) · ω3 (4), или

m1 · ω1 + (m3 - m1) · ω2= m3 · ω3 (5)

Пример: Определите массы 10%-ного и 50%-ного (по массе) растворов, необходимые для получения 200 г 20%-ного раствора.

Решение:

ω1 = 10%, ω2 = 50%, ω3= 20%, m3 = 200 г, m2 = 200 - m1

Составляем уравнение (5):

m1 · 10 + (200 - m1) · 50 = 200 · 20

40 ·m1 = 6000

m1 = 150 (г),

m2 = 200 - m1 = 200 - 150 = 50 (г)

Ответ: 150 г, 50 г.

Пример 2: Определите массы 25%-ного (по массе) раствора и воды, необходимые для получения 200 г 10%-ного раствора.

Решение:

ω1 = 25%, ω2 = 0%, ω3= 10%, m3 = 200 г

Составляем уравнение (5):

m1 ·25 + m2 · 0 = 200 · 10

25 · m1 = 2000

m1 = 80 (г),

m2 = 200 - m1 = 200 - 80 =120 (г)

Ответ: 80 г, 120 г.

ЗАДАЧИ НА ВЫСУШИВАНИЕ И ВЫПАРИВАНИЕ

При решении этих задач надо иметь ввиду, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично испаряется. Поэтому при решении этих задач мы каждый раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухой остаток», масса которого не меняется в условиях задачи.

Задача 1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влаж­ность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	Масса, в кг	Содержание, в %
		вода	сухого вещества
Свежие цветы	8	85	100-85=15
Высушенные	?	20	100-20=20

1) 0,15 · 8 = 1,2 кг - масса сухого вещества в 8 кг;

2) 1,2 кг сухого вещества - это 80% массы высушенных цветов, значит, масса высушенных цветов равна 1,2 : 0,8 = 1,5 кг.

Ответ: 1,5 кг.

Задача 2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	Масса, в кг	Содержание, в %
		вода	сухого вещества
Свежие грибы	22	?
Сухие грибы	2,5	12	100-12=88

1) 2,5 · 0,88 = 2,2 кг - масса сухого вещества;

2) 2,2 : 22 · 100 = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах;

3) 100 - 10 = 90% воды в свежих грибах.

Ответ: 90%.

Задача 3. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличится масса одной добытой тонны угля после того, как она две недели пролежит на воздухе?

Эта задача обратна предыдущим, здесь влажность угля увеличива­ется за счет поглощения влаги из воздуха.

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

	Масса, в т	Содержание, в %
		воды	сухого вещества
Было	1	2	100-2=98
Стало	?	12	100-12-88

1) 1000 · 0,98 = 980 кг - сухого вещество в добытом угле;

2) 980 кг - это 88%, 980 : 0,88 =1114 кг - масса угля после двух недель пребывания на воздухе;

3) 1114 - 1000 = 114 кг - увеличение массы одной добытой тонны угля.

Ответ: на 114 кг.

Задачи, решаемые другими способами.

Задача 10. Трава при высыхании теряет около 28% своей массы. Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи:

	Масса, в т	Содержание, в %
Трава	Х	100 10-2
Сено	1,44	100-28=72 100-12

Зависимость прямо пропорциональная. Задача решается простой пропорцией.

Существует множество способов решения задач на смеси и сплавы. Для каждой конкретной задачи подходит свой метод решения, иногда не один. Ученику придется самому решать, какой способ он будет использовать. Однако знание способов решения задач на смеси и сплавы для их решения не достаточно: нужно уметь рассуждать, решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений и их систем.