Решение задачи можно разбить на 4 этапа:
- Подготовка
- Заполнение таблицы
- Составление математической модели
- Решение и получение искомого результата
Немного вводной теории.
1) От момента получения кредита до полного его погашения циклически повторяются 3 шага:
А) начисление процентов;
Б) внесение выплат;
В) формирование оставшегося долга
ВАЖНО!!! Каждый новый период проценты начисляются НА ОСТАТОК ДОЛГА!!!
2) Для удобства и сокращения записи в таблице перед началом ее заполнения введем переменные: S - сумма кредита, х - процентный коэффициент. Если в задаче известна процентная ставка и сумма кредита, то при решении эти данные будут использованы
Рассмотрим задачу. Это одна из самых простых задач.
1) Подготовка
S-сумма кредита. Х=1+0,15 = 1,15
2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
0,8S |
||
|
2 |
0,5S |
||
|
3 |
0,1S |
||
|
4 |
0 |
Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг - это взятый кредит
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
0,8S |
|
|
2 |
0,8SX |
0,5S |
|
|
3 |
0,5SX |
0,1S |
|
|
4 |
0,1SX |
0 |
Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
SX - 0,8S |
0,8S |
|
2 |
0,8SX |
0,8SX - 0,5S |
0,5S |
|
3 |
0,5SX |
0,5SX - 0,1S |
0,1S |
|
4 |
0,1SX |
0,1SX |
0 |
3) Составление математической модели.
Известно, что общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей
SX - 0,8S + 0,8SX - 0,5S + 0,5SX - 0,1S + 0,1SX < 50
4) Решение и получение искомого результата
Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие - без него.
(SX + 0,8SX + 0,5SX + 0,1SX) - (0,8S + 0,5S + 0,1S ) < 50
Вынесем общие множители за скобки
SX(1 + 0,8 + 0,5 + 0,1) - S(0,8 + 0,5 + 0,1 ) < 50
SX*2,4 - S*1,4 <50
S(2,4X - 1,4) <50
Теперь можно подставить значение Х
S(2,4*1.15 - 1,4) <50
S< 50/1.36. Так как S-целое число и нам требуется наибольшее, S=36
Рассмотрим задачу с неизвестной процентной ставкой.
1) Подготовка
S=1,5 млн. - сумма кредита. Х=1+0,01r
2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
1,2 |
||
|
2 |
1 |
||
|
3 |
0,7 |
||
|
4 |
0,5 |
||
|
5 |
0,3 |
||
|
6 |
0 |
Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг - это взятый кредит.
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
1,5X |
1,2 |
|
|
2 |
1,2X |
1 |
|
|
3 |
1X |
0,7 |
|
|
4 |
0,7X |
0,5 |
|
|
5 |
0,5X |
0,3 |
|
|
6 |
0,3X |
0 |
Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
1,5X |
1,5X - 1,2 |
1,2 |
|
2 |
1,2X |
1,2X - 1 |
1 |
|
3 |
1X |
1X - 0,7 |
0,7 |
|
4 |
0,7X |
0,7X - 0,5 |
0,5 |
|
5 |
0,5X |
0,5X - 0,3 |
0,3 |
|
6 |
0,3X |
0,3X |
0 |
3) Составление математической модели.
Известно, что общая сумма выплат будет больше 2,2 млн рублей
1,5X - 1,2 + 1,2X - 1 + 1X - 0,7 + 0,7X - 0,5 + 0,5X - 0,3 + 0,3X >2,2
4) Решение и получение искомого результата
Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие - без него. Вынесем общие множители за скобки.
Х(1,5 + 1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) - (1,2 + 1 + 0,7 + 0,5 + 0,3) > 2,2
5,2Х - 3,7 >2,2
X > 59/52 Так как Х=1+0,01r и r - наименьшее, получаем r=14
Рассмотрим задачу с большим сроком выплаты кредита.
1) Подготовка
S - сумма кредита. Х=1+0,01*2=1,02
2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение
Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.
Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/18
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
17/18*S |
||
|
2 |
16/18*S |
||
|
3 |
15/18*S |
||
|
…………………………………………………. |
|||
|
16 |
2/18*S |
||
|
17 |
1/18*S |
||
|
18 |
0 |
||
Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг - это взятый кредит
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
17/18*S |
|
|
2 |
17/18*S*X |
16/18*S |
|
|
3 |
16/18*S*X |
15/18*S |
|
|
…………………………………………………. |
|||
|
16 |
3/18*S*X |
2/18*S |
|
|
17 |
2/18*S*X |
1/18*S |
|
|
18 |
1/18*S*X |
0 |
|
Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
SX - 17/18*S |
17/18*S |
|
2 |
17/18*S*X |
17/18*S*X - 16/18*S |
16/18*S |
|
3 |
16/18*S*X |
16/18*S*X - 15/18*S |
15/18*S |
|
…………………………………………………. |
|||
|
16 |
3/18*S*X |
3/18*S*X - 2/18*S |
2/18*S |
|
17 |
2/18*S*X |
2/18*S*X - 1/18*S |
1/18*S |
|
18 |
1/18*S*X |
1/18*S*X |
0 |
3) Составление математической модели.
В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно
SX - 17/18*S + 17/18*S*X - 16/18*S + 16/18*S*X - 15/18*S + … + 3/18*S*X - 2/18*S + 2/18*S*X - 1/18*S + 1/18*S*X =
4) Решение и получение искомого результата
Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие - без него. Вынесем общие множители за скобки.
= SX/18 (18 + 17+ 16 + … + 3+ 2 + 1) - S/18* (17 + 16 + 15 +…+ 2 + 1) =
В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до 18 и от 1 до 17
=
- 
= 19SX/2 - 17S/2 = S(9,5*1,02 - 8,5) = S*1,19.
То есть сумма выплат составляет 119% от суммы взятого кредита.
Рассмотрим задачу с неизвестным сроком выплаты кредита.
1) Подготовка
S=5 - сумма кредита. Х=1+0,01*20=1,2
2) Заполнение таблицы. В условии сразу даны все значения третьего столбца (долга). С него и начнем заполнение
Так как срок большой, ограничимся первыми тремя и последними тремя месяцами.
Если в условии сказано, что «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше предыдущего», то сумма кредита делится на количество месяцев и каждый месяц долг уменьшается на 1/n
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
(n-1)/n*S |
||
|
2 |
(n-2)/n *S |
||
|
3 |
(n-3)/n *S |
||
|
…………………………………………………. |
|||
|
n-2 |
2/n*S |
||
|
n-1 |
1/n*S |
||
|
n |
0 |
||
Далее начисляем проценты на остаток долга. Первый долг - это взятый кредит
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
(n-1)/n*S |
|
|
2 |
(n-1)/n*S*X |
(n-2)/n *S |
|
|
3 |
(n-2)/n *S*X |
(n-3)/n *S |
|
|
…………………………………………………. |
|||
|
n-2 |
3/n*s*x |
2/n*S |
|
|
n-1 |
2/n*S*X |
1/n*S |
|
|
n |
1/n*S*X |
0 |
|
Выражаем ВЫПЛАТЫ из двух заполненных, как разность начальной и конечной суммы
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
SX |
SX - (n-1)/n*S |
(n-1)/n*S |
|
2 |
(n-1)/n*S*X |
(n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S |
(n-2)/n *S |
|
3 |
(n-2)/n *S*X |
(n-2)/n *SX-(n-3)/n *S |
(n-3)/n *S |
|
…………………………………………………. |
|||
|
n-2 |
3/n*s*x |
3/n*s*x-2/n*S |
2/n*S |
|
n-1 |
2/n*S*X |
2/n*S*X-1/n*S |
1/n*S |
|
n |
1/n*S*X |
1/n*S*X |
0 |
3) Составление математической модели.
В задаче стоит вопрос об общей сумме выплат. Следовательно
SX - (n-1)/n*S + (n-1)/n*S*X-(n-2)/n *S + (n-2)/n *SX-(n-3)/n *S + …+3/n*S*X-2/n*S + 2/n*S*X-1/n*S + 1/n*S*X = 7,5
4) Решение и получение искомого результата
Для удобства сгруппируем множители: в одни скобки с процентным коэффициентом, в другие - без него. Вынесем общие множители за скобки.
SX/n*(n + (n-1) + (n-2) + …+3 + 2+ 1) -S/ n* ((n-1)/ +(n-2) + (n-3) +…+2 +1) = 7,5
В скобках сумма арифметической прогрессии от 1 до n и от 1 до (n-1)
- 
=7,5
Сокращая дроби и подставляя значения S и Х, получаем 
=7,5
n=4
Рассмотрим другой тип задач, в которых известен не долг, а сумма выплат.
1) Подготовка
S - сумма кредита. Х=1+0,01*10=1,1
2) Заполнение таблицы. В условии говорится о трех платежах, то есть
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
Х |
||
|
2 |
2Х |
||
|
3 |
3Х |
Начисляя проценты, получаем
|
Проценты |
Выплаты |
Долг |
|
|
1 |
1,1S |
Х |
1,1S - X |
|
2 |
(1,1S - X)*1,1 |
2Х |
(1,1S - X)*1,1-2X |
|
3 |
((1,1S - X)*1,1-2X)*1,1 |
3Х |
((1,1S - X)*1,1-2X)*1,1-3X |
3) Составление математической модели.
Учитывая, что последний долг должен быть равен нулю, получаем
((1,1S - X)*1,1-2X)*1,1-3X = 0
4) Решение и получение искомого результата
А также известна сумма, выплаченная за три года, то есть
Х+2Х+3Х=2395800, откуда получаем Х=399300
Подставляя найденное значение и решая первое уравнение, получаем S=1923000 рублей
Секрет: существуют только два вида уравнений:
- Сумма выплат;
- Последний остаток равен нулю.
Других видов уравнений нет!
Желаю всем легких решений!