Слово «лайфхак» от англ. лайф (life) - жизнь и хак (hack) - взломать, при дословном переводе означает «взлом жизни», реальное же значение этого слова можно описать так: короткий путь, позволяющий упростить получение конечного результата.
Получается, что математика должна приветствовать лайфхаки, так как все в ней стремится к упрощению, и сама цель математики - упростить взаимодействие с окружающим миром, который является бесконечно сложным. Однако тут кроется опасность. Каждый шаг, приводящий к упрощению вычислений в математике, понятен, обоснован и доказан, тогда как современные лайфхаки, зачастую, не объясняются, а просто выглядят как магия, которая почему-то работает именно так. Пользуясь такими приемами, человек скорее открещивается от понимания и рискует пройти мимо тех умений, которые сокращает лайфхак. В то же время, если разобраться и понять, как именно работает лайфхак, то наш мозг не теряет нужных навыков, а высвобождает время для других, более сложных действий. Мы же с вами стараемся повышать эрудированность и понимание происходящего, поэтому подробно разберем несколько лайфхаков, а вопрос о применимости оставим на суд читателя.
Лайфхак о лайфхаках
Перед тем как рассказывать о лайфхаках в математике, поговорим о том, как внедрить сами лайфхаки. Тут надо совсем ненадолго заглянуть в психологию человека. Вне зависимости от осознания, что лайфхак удобен и короток, нашему мозгу простым кажется не тот путь, который занимает меньше времени или усилий в принципе, а тот, который в большей степени доведен до автоматизма. Проще говоря, мозгу кажется простым тот путь, который мы уже умеем воплощать в данный конкретный момент или с элементами которого мы наиболее знакомы.
Если же мы хотим начать экономить время путем лайфхаков, достаточно осознания нескольких простых вещей:
- надо разобраться в том, как и почему лайфхак работает: так будет проще его запомнить и не упустить общие методики, которые он упрощает;
- помнить, что поначалу он будет распознан мозгом, как новый путь, а значит более сложный, и быть готовым себя заставлять его применять первые несколько раз;
- вознаграждать себя при использовании, обращая внимание, что так интереснее и быстрее.
Данные правила распространяются на лайфхаки не только в математике, а на любые из них.
1. Устный счет
Начать следует с самого простого и одновременно нужного лайфхака. Строго говоря, для того, кто постоянно сталкивается с любыми расчетами, это даже не лайфхак, а необходимое умение. Тем не менее, кому-то эти приемы могут существенно упростить жизнь.
1.1. Сложение
Для более эффективного сложения (оно же вычитание, которое есть сложение с отрицательными числами) нужно вспомнить, что мы можем добавить нужное нам число, а затем, чтобы получить верное равенство, нужно будет прибавить обратное ему число (со знаком минус). Таким образом мы можем получить более удобные вычисления.
396 + 47 = 443
сам по себе несложный пример, но может быть удобно сделать следующее:
396 + 47 = 396 + 4 − 4 + 47 = 400 + 47 − 4 = 447 − 4 = 443
Также можно разбивать числа на слагаемые и складывать поэтапно, получая несколько «удобных» чисел:
218 − 139 = 218 − 18 − 100 − 21 = 200 − 100 − 21 =
= 100 − 21 = 79218 − 139 = 218 − 18 − 100 − 21 =
= 200 − 100 − 21 = 100 − 21 = 79396 + 47 =
= 396 + 4 − 4 + 47 = 400 + 47 − 4 = 447 − 4 = 443
Комбинируя два этих приема, можно делать в уме довольно замысловатые вычисления, главное не запутаться, что мы прибавили, а что отняли, чтобы затем восстановить равновесие, но это уже дело тренировки:
218 − 139 = 218 + 2 − 2 − 139 − 1 + 1 =
= 220 − 140 − 2 + 1 = 220 − 20 − 100 − 20 − 1 =
= 200 − 100 − 20 − 1 = 100 − 20 − 1 = 80 − 1 = 79
Получилась длинная цепочка, но состоящая из очень простых шагов.
218 − 139 = 218 + 2 − 2 − 139 − 1 + 1 =
= 220 − 140 − 2 + 1 = 220 − 20 − 100 − 20 − 1 =
= 200 − 100 − 20 − 1 = 100 − 20 − 1 = 80 − 1 = 79
1.2. Умножение
Для упрощения процесса умножения достаточно освежить операцию раскрытия скобок:
85 ∙ 28 = (80 + 5) ∙ 28 = 80 ∙ 28 + 5 ∙ 28 = 80 ∙ (20 + 8) + 5 ∙ (20 + 8) =
= 80 ∙ 20 + 80 ∙ 8 + 5 ∙ 20 + 5 ∙ 8 = 1600 + 640 + 100 + 40 =
= 238085 ∙ 28 = (80 + 5) ∙ 28 = 80 ∙ 28 + 5 ∙ 28 =
= 80 ∙ (20 + 8) + 5 ∙ (20 + 8) =
= 80 ∙ 20 + 80 ∙ 8 + 5 ∙ 20 + 5 ∙ 8 =
= 1600 + 640 + 100 + 40 = 2380
В предыдущем примере разумно применить еще один маленький трюк. Чтобы умножить на 5, достаточно разделить на 2, а затем умножить на 10. Чтобы разделить на 5, нужно умножить на 2, а затем разделить на 10. Действительно : и аналогично : то есть, в нашем примере:
28 ∙ 5 = 28 ÷ 2 ∙ 10 = 14 ∙ 10 = 140
Еще интересно умножать на 9 и на 11. Для умножения любого числа на 9 достаточно умножить на 10, а затем вычесть из результата это же число:
48 ∙ 9 = 480 − 48 = 432
По аналогии для умножения на 11 нужно умножить на 10 и прибавить еще раз это число:
434 ∙ 11 = 4340 + 434 = 4774
Для 11 существует и более красивый лайфхак.
4 ∙ 11 = 44
Чтобы умножить однозначное число на 11 достаточно написать его два раза подряд, это и будет умножением на 10 и прибавлением числа еще раз:
9 ∙ 11 = 99
Чтобы умножить двузначное число на 11 достаточно между цифрами двузначного числа написать их сумму, а если она больше 9, то прибавить 1 к числу сотен:
45 ∙ 11 = 4[4 + 5]5 = 49589 ∙ 11 = 8[8 + 9]9 = 979
здесь сумма больше 9 - увеличиваем разряд сотен:
Понять, как это работает, несложно, достаточно записать умножение двузначного числа на 11 в столбик:
1.3. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Для того, чтобы возвести в квадрат двузначное число, которое имеет 5 на конце, достаточно сделать следующее: умножить первую цифру на следующее за ней число, а затем приписать справа 25:Это работает и с большими числами:
Для того чтобы понять, как это работает, нужно немного преобразовать квадрат числа:
Можно записать и в более общем виде. Пусть a - количество десятков в возводимом в квадрат числе, тогда: Таким образом, количество сотен в получаемом числе равно a(a + 1), а на конце числа - 25.