Комментарий к занятию: Графический метод решения задач линейного программирования относиться к разделу методов оптимизации, изучаемых в высшей школе. Применим для построения математических моделей процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и др. В силу наглядности и доступности школьники 8-11 классов хорошо осваивают и применяют этот метод в различных типах задач.
Тип мероприятия: урок получения новых знаний, комбинированный урок.
Форма мероприятия: лекционно-практическая.
Продолжительность мероприятия: 90 минут.
Возрастная аудитория: занятие рассчитано на школьников 8-11 класса.
Цель мероприятия: Расширить представление школьников о применении математического аппарата в решении различных типах заданий.
Задачи мероприятия:
- познакомить с графическим методом линейного программирования;
- научить решать определённый тип оптимизационных задач;
- научить применять метод в решении сложных задач профильного ЕГЭ, а также в ряде олимпиадных задач по математике, а также смежным наукам.
Планируемые результаты:
личностные УУД, формируемые в ходе мероприятия:
- личностные действия, осуществляемые учеником в ходе мероприятия, позволяют сделать учение осмысленным, обеспечивают ученику значимость решения учебных задач, увязывая их с реальными жизненными целями и ситуациями.
метапредметные УУД, формируемые в ходе мероприятия:
- понимать и использовать различные математические средства наглядности;
- видеть математическую задачу в контексте любой проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
- материал занятия показывает связь математики с жизнью, что на самом деле обуславливает усиление мотивации к изучению данного предмета.
регулятивные УУД, формируемые в ходе мероприятия:
- формирование целеполагания, на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;
- планирование, т.е. определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
- оценка, т.е. выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.
познавательные УУД формируемые в ходе мероприятия:
- осуществление выбора наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий;
- построение рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях; умение устанавливать аналогии;
- использование знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения учебных задач;
- ориентироваться на разнообразие способов решения задач;
- осуществление анализа объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
- создание и преобразование модели и схемы для решения задач.
Оборудование урока: проектор, презентация, распечатанные дидактические материалы, брошюра, также возможно применение персональных компьютеров.
Структура и ход урока
|
Этапы урока
|
Время |
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
Формы и приемы организации деятельности |
|
1. Вводное слово |
5 мин. |
а) Целеполагание. Настрой аудитории на освоение нового научного материала.
|
Настрой на работу. Знакомство с новыми научными понятиями. |
Лекционная работа.
Материал беседы в Приложении 1. |
|
2. Актуализация знаний, постановка проблемы |
10 мин. |
а) Опираясь на ответы учеников, разбирает условие задачи о ткани, составляют графическую интерпретацию.
|
а) Отвечают на наводящие вопросы учителя по задаче.
|
Лекционно-практическая работа.
Дидактический материал в Приложении 2. |
| 3. Получение и закрепление новых знаний. |
25
мин |
а) Математическая модель и линейное программирование.
Учитель знакомит с определениями математического моделирования и линейного программирования. Показывает идеи метода на задачах оптимального рациона питания. Слайды 8-12. Обобщает с учениками понятие моделирования задачи Слайд 13-14. Объясняет алгоритм решения задачи. Слайд 15. б) Объясняет суть построения области допустимых значений. Разбирает с учениками возможные варианты ОДЗ. Обобщает построение ОДЗ на примере задачи о рационе. Слайд 17-18 в) Предлагает учащимся самостоятельно реализовать этапы моделирования задачи об оптимальном планировании. Осуществляет консультативный контроль. Слайд 19-21. |
а) Знакомятся с новыми научными понятиями.
Составляют математическую модель задачи рациона. б) Выдвигают гипотезы и строят варианты ОДЗ. Самостоятельно строят ОДЗ задачи о рационе, на основе предложенного алгоритма завершают решение задачи. в) Самостоятельно составляют и реализуют математическую модель задачи об оптимальном планировании. Ученики отрабатывают и закрепляют полученные навыки по реализации математичес кой модели. |
Лекционно-практическая работа.
Слайды 8-21 Дидактический материал в Приложении 2 |
| 4. Реализации полученных знаний в различных типах задач. |
35
мин |
а) Предлагает разделить класс на четыре группы. На основе полученных знаний, каждая группа решает по одной задаче из второй части профильного ЕГЭ по математике (№17) .
1, 2 группа решает первую задачу, 2, 3-я - вторую задачу. Учитель осуществляет контролирующую и консультативную функцию. Слайд 22-24. |
а) Каждая группа решает свою задачу из профильного ЕГЭ по математике.
У каждых двух групп одинаковая задача. Цель групп решить задачи, объяснить их, ответив на вопросы оппонента. Группы 1-2, 3-4 кидают жребий, и представитель группы объясняет своё решения. Представитель группы с такой же задачей задаёт вопросы, апеллирует решение. Затем, сверяют математическую модель и её графическую реализацию с готовым решением на слайде. Вторая половина класса смотрит и записывает решение «чужой» задачи. Аналогично для другой пары групп. |
Групповая работа с элементами математичес
ких боёв. Слайды 22-24. |
| 5. Тестовая диагностика. |
6
мин |
Предлагает ученикам ответить на вопросы обзорного теста по теме, закрепить, проговорить новые, сложные понятия, рассмотренные на уроке. Расстановка акцентов.
Слайды 30-36 |
Отвечают на вопросы теста.
Осознают усвоение новых понятий и определений, осуществляют самооценку. |
Тест
индивидуальная деятельность Слайды 30-36 |
| 6. Рефлексия. |
7
мин |
а) Предлагает ученикам обсудить преимущества метода.
Где: 1-я строка отвечает за основную тему занятия и состоит из ключевого слова 2-я строка - два прилагательных, характеризующих это понятие 3-я строка - три глагола, отвечающих за действие 4-я строка - короткое предложение, раскрывающее суть происходящего
5-я строка - синоним главного слова.
Благодарит за работу. |
а) Обсуждают преимущества и применимость метода.
б) Составляют личный синквейн. Наиболее удачные синквейны зачитываются классу. |
Синквейн
Слайды 36-38 |
| 6. Домашнее задание. |
2
мин |
Для заинтересованных учеников предлагает выполнить домашнее задание.
Поясняет, что данным методом владеют далеко не многие ученики. Что способствует уверенности и дальнейшей заинтересованности учащихся. Слайд 39. |
Те ученики, кто хочет закрепить, отработать и расширить знания берут домашнее задание. |
Материалы к мероприятию
Приложение 1
Вводное слово к мероприятию.
В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В послешкольной жизни все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, информатика, биология и многое другое). Математизация - это характерная черта современной науки и техники. Человечество осознало, что знание, уж во всяком случае, в области естественных наук, делается точным только тогда, когда для его описания удается использовать математическую модель (уже известную, либо специально созданную). Математической моделью называют формальную зависимость между значениями параметров на входе моделируемого объекта или процесса и выходными параметрами. Математика представляет собой стройную и глубокую совокупность знаний о математических моделях со своими проблемами, с собственными путями развития, обусловленными внутренними и внешними причинами и задачами.
Со временем развития общества жизнь выдвинула на первый план вопросы организации производства, управления промышленностью и техникой. Так постепенно роль «поставщика» новых направлений и новых задач в математике перешла от физики и техники к экономике. Если ранее математический аппарат преимущественно использовался как инструмент расчета, то в настоящее время ставится задача принятия решения, задача выбора наиболее эффективного варианта, при котором был бы достигнут наилучший результат. Такие задачи и привели к появлению математического программирования, а в частности и линейного программирования.
Ценность изучения линейного программирования математики заключается в том, что изучая можно научиться строить математические модели. При этом практические задачи переводятся на математический язык, решаются методом линейного программирования.
Приложение 2
Задача (Старинная задача). В лавке 1м шелка стоит 300 монет, а 1м сукна 400 монет. Сколько шелка и сукна можно купить, затратив не более 2000 монет?
Задача (Олимпиадная задача). Али-Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов - 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов - 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Сколько денег он может получить за сокровища, которые он принесет из пещеры за один раз?
Задача (оптимизации рациона питания). Известно, что при правильном питании человек должен получать в день не менее 20 единиц витамина А, не менее 15 единиц витамина В. Содержание этих витаминов в одной единице каждого из продуктов П1, П2, задано таблице. Составить наиболее дешевый рацион питания.
|
Витамины
Продукты |
А |
В |
Стоимость одной единицы продукта |
|
Продукт 1 |
4 |
5 |
25 |
|
Продукт 2 |
5 |
3 |
30 |
Задача (Оптимального производства). Фирма выпускает удобрения двух видов: А и В. При этом используется сырье 4-ех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы веса удобрения и ежедневные запасы сырья заданы в таблице. Выпуск одной единицы веса удобрения А приносит доход 6 у.е., вида В - 4 у.е. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.
| Удобрения |
Сырье |
|||
|
1-го вида |
2-го вида |
3-го вида |
4-го вида |
|
|
А |
2 |
1 |
0 |
2 |
|
В |
3 |
0 |
1 |
1 |
|
Ежедневные запасы сырья, ед. |
2 |
4 |
6 |
10 |
Задача 1. Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется пять часов работы станка А и три часа работы станка Б, а для изготовления изделия второго типа требуется два часа работы станка А и четыре часа работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, а станок Б - не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 д.е. прибыли, а каждое изделие второго типа - 200 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
Задача 2. Колхоз имеет возможность приобрести не более 19 трехтонных машин и не более 17 пятитонных. Трёхтонная машина стоит 4000 у.е, пятитонная 5000 у.е. На покупку колхоз может выделить 141 000 у.е. Сколько можно приобрети машин, чтобы их суммарная грузоподъёмность была максимальной?
Задача 3. Красный карандаш стоит 18 рублей, синий 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея только 499 рублей, при этом число синих карандашей не должно отличаться от числа красных больше чем на шесть.
а) можно ли купить 30 карандашей?
б) можно ли купить 33 карандаша?
в) какое наибольшее число карандашей можно купить?
Дополнительные задачи
Задача 1. Пусть предприятие изготавливает 2 вида продукции П1 и П2, поступающей в оптовую продажу. Для производства этой продукции требуется два вида сырья: А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Опыт показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более, чем на 1 единицу. Кроме того, известно, что спрос на П2 никогда не превышает 2 единицы в сутки. Оптовые цены единицы продукции равны: 3 денежные единицы - для П1 и 4 денежные единицы - для П2. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации был максимальным?
Задача 2. Некоторая фирма выпускает 2 набора удобрений для газонов: смесь А и смесь В. В таблице приведено содержание в смесях азотных, фосфорных и калийных удобрений.
| Смеси |
Содержание удобрений (кг) |
||
|
азотных |
фосфорных |
калийных |
|
|
А |
1,64 |
0,82 |
0,41 |
|
В |
1,23 |
0,82 |
1,64 |
Пакет А стоит 8 у.е, смеси В - 6 у.е. Для некоторого газона требуется не менее 7,38 кг азотных, не менее 4,1 кг фосфорных и не менее 3,28 кг калийных удобрений. Определите сколько пакетов каждого вида следует купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость покупки.
Задача 3. Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1м шерсти, 2м полиэстера и 1человеко-день трудозатрат. На мужской -3,5м шерсти, 0,5м полиэстера и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350м шерсти, 240 м полиэстера и150 человеко- дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского-20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.
Задача 4. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок - 75 мг витамина «С». Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина «С», не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок - 40р.?
Список используемых интернет-источников и литературы:
- Презентация и разработка урока "Графический способ решения задач" (infourok.ru)
- Примеры решения задач линейного программирования графическим способом (matburo.ru)
- Задача с экономическим содержанием: учебно-методическое пособие. / Под. ред. Ф.Ф.Лысенко Ростов-на-Дону: Легион, 2015.
- Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов: учебное пособие. - СПб.: Питер, 2007. (Серия «Учебное пособие»).
- Кузнецов Б.Т. Математика для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. (Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»)