Повышение уровня сознания и конструктивное мышление при решении задач по математике

Сознание - порядок действий,
Нас правила движут вперёд,
Как ЯВИ-ЁН конструкт,
Что общую формулу
Для мысли задаёт.

Результат промежуточной проверки ЕГЭ и ОГЭ по математике показывает, что в большинстве школ учащиеся не справляются с предложенными заданиями и задачами так, что неудовлетворительных оценок гораздо больше, чем положительных. Это свидетельствует, что нынешняя система образования имеет пробелы знаний, которые определяются по нашему мнению следующими причинами: уменьшением количества часов на работу в классе за счёт переноса части часов на самостоятельную работу; перевод системы образования на дедуктивную линию мышления, хотя большинство учащихся привыкло мыслить индуктивно, переходя от конкретного знания к общему; слабое усвоение основополагающих понятий в плане конструктивного мышления и недостаточное закрепление знаний практической работой.

В связи с этим целью работы является разработка идеи конструктивного мышления [1-2] и её применение для повышения уровня сознания и практического решения задач.

И.Кант задавался вопросом: существует ли такое независимое от опыта и даже от всех чувственных впечатлений познание? Такие знания он называл априорными, и они отличаются от эмпирических знаний, которые имеют апостериорный источник, а именно в опыте [3]. В школе априорные знания даёт учитель. Но при решении практических задач ученику самому приходится находить в памяти такие априорные знания в форме методов, правил, формул и определений, а иногда - делать обобщения и формулировать их в краткой форме для себя. Культуру данного процесса формирует учитель, если в ходе решения задач он напоминает необходимые формулы, правила действий и формирует у учащихся способность строить логику решения.

Такой процесс называется сознанием, и он связан с феноменом сознания, который является серьёзной философской проблемой, имеющий многоплановый характер. Сознание как способность знать мир и себя в мире является экзистенциальным качество человека. По почти общему мнению сознание есть только у человека. Поэтому именно в сознании сосредоточена цельность человека [4]. И, сознавая мир с объективной точки зрения, человек формирует мировоззрение и постепенно становится личностью.

Но, что для этого нужно сделать? Чтобы человек активно участвовал в практической деятельности и умел решать определённый круг задач. По мнению [5] самосознание собственного «я» является эпицентром сознания и самосознания, а само сознающее «я» становится активной силой при достижении поставленных целей. И здесь важно «быть, а не казаться», а, чтобы быть надо уметь реализовать себя и свои возможности и повышать уровень сознания. И возникает вопрос, как повышать сознание?

В философии известно понятие «спираль сознания» [6], и считается, что сознание повышается в ходе рефлективного познания, но вопрос состоит в выборе вертикальной ориентации направления движения. И на этот вопрос философы не дают прямого ответа, поэтому целью работы является разработка априорной системы повышения уровня сознания в ходе решения практических задач на уроках математики.

Вначале дадим определение уровня. Под уровнем сознания мы понимаем круг вещей, предметов или понятий о них. Так выделяют два уровня сознания: материальный и идеальный. Более высокий уровень позволяет расширить горизонт сознания или ориентировать его на цель.
Наша конкретная цель выделить такие уровни при анализе и решении примеров и текстовых задач.

Для этого нами предлагается экологический подход к определению сознания. Когда живое существо находится в окружающей среде, на него действует ряд факторов, и основной проблемой является адаптация его к действию данных факторов. Основной идей при этом является сохранения гомеостаза или состояния равновесия природных процессов в организме при воздействии внешних факторов.

Для неорганических веществ решению данной проблемы помогает принцип Лё Шателье. Он заключается в следующем [7]: если внешние факторы, при которых система находится в равновесии, изменяются, то равновесие смещается в сторону, способствующим восстановлению первоначального состояния. Иначе говоря, если на систему, находящуюся в равновесии действует некоторый фактор, то она стремится так изменить своё состояние, чтобы уменьшить его воздействие. При этом в системе может происходить внешнее или внутреннее движение в форме перемещения отдельных атомов или химических реакций.

Переход внешнего фактора на внутреннее движение способствует формированию в системе обратной связи, которая изменяет интенсивность внешнего фактора и может уменьшать энергетическое воздействие. Для живых существ характерно образование буферных подсистем, которые уменьшают внешнее воздействие и позволяют сохранить равновесие в системе [8].

И действие внешнего фактора может быть пояснено рисунком. При этом существует влияние какого-то фактора на изучаемую систему или живое существо, например теплового воздействия.

Рис. 1. Схема системы с обратной связью

Зависимость управляющего воздействия внутри организма от состояния буфера самой системы. Таким образом, обратная связь - это управление системой с учетом состояния её буферной подсистемы, которое может забирать часть энергии внешнего фактора. Для нас более важна отрицательная обратная связь. Отрицательные обратные связи приводят систему в равновесие, а положительные - переводят ее в лабильное неустойчивое состояние.

Центр, который регулирует величину обратной связи, будет центром сознания для организма, как системы. В ходе мышления такой центр контролирует правильность наших действий или математических и логических операций. В основе такого центра лежит базовое понятие, при помощи которого производится анализ существующей информации, задачи или возникшей ситуации. Для выделения таких понятий рассмотрим взаимодействие педагога и учащегося на уроке.

Рис. 2. Схема восприятия материала учеником.

Что делает педагог на занятии? Он представляет материал или проводит презентацию и даёт задания в форме задач или вопросов. А, что должен делать учащийся? Изобразим эти действия в виде матрицы сознания рис 2.

Таким образом, мы получили несколько первичных центров сознания. Предположим ученику необходимо решать некоторую задачу. При решении задач, мы будем постепенно выделять уровни сознания.

1.Уровень - понятий

Задача 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 350. Найдите другой его острый угол. Ответ дайте в градусах.

В данной задаче вводится общее понятие ∆ и частное понятие прямоугольного ∆ и одного из его углов. Поэтому мы должны дать определение ∆ как фигуры и вспомнить его свойства, связанные с углами, а именно: теорему, что сумма внутренних углов ∆ равняется 1800.

Так как два угла у нас известны, то задача решается устно.

Задача 2. Синус одного из углов прямоугольного треугольника равен , определить его косинус.

Здесь мы тоже должны дать определение функций синуса, как отношение противолежащего катета к гипотенузе, и косинуса, как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но этого не достаточно, так как нужно знать связь между этими функциями, которая вытекает из теоремы Пифагора, sin2α + cos2α = 1. Из данного соотношения задача решается путём составления уравнения для вычисления неизвестной величины - косинуса.

Следовательно, при решении задач для имеющихся понятий, необходимо давать чёткое определение, знать основные свойства, а так же - связи между ними.

Но в нынешней школе дают в основном дескриптивные определения. Так в учебнике [9] вначале даётся пример, а затем определение понятия «отношение». «Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго». Но, чтобы работать с понятием «отношение» нужно, чтобы учащийся имел о нём представление не только в форме слов, но и в виде некоторых формул.

2. Уровень представлений

Для перехода к уровню представлений необходимо дать конструктивное определение понятию отношение. Для этого рассмотрим исходные понятия «целое» и «часть». Целое - это отрезок, фигура, предмет, границы которого можно измерить и представить в виде числа. Так столешница может быть представлена в виде прямоугольника со сторонами а - длина, b - ширина, которые после измерения представлены числами или величинами: а =110 см, а b = 60 см. Если мы рассмотрим отношение О, как

(1)

то получим формулу или конструктивное определение отношения, которое в соответствии с [9] показывает во сколько раз длина столешницы больше, чем ширина или какую часть ширина столешницы составляет от длины. Таким образом, данное определение наполняется конкретным содержанием величин, которое понимает учащийся.

Каждый отрезок, фигуру или предмет можно разделить на две части, допустим, а, b. Если целое (Ц) есть сумма его частей: Ц = а + b, то можно дать ещё одно конструктивное определение отношения:

(2)

Отношение есть дробная часть целого.

Следствие 1: Ч = Ц·Дробь

И этих отношений при разбиении будет уже два:

(3)

Следствие 2: О1 + О2 = 1

Если мы подставим в (2) конкретные значения чисел, то получим дробь. Можно ввести и обратное отношение Об

(4)

А теперь при помощи данных определений мы приходит к пониманию, как решать задачи на отношения?

3. Уровень понимания

Задача 3 [9]. Проволока разрезана на два куска. Первый кусок имеет длину 9 м, а второй - 14,4 м. найдите, какую часть проволоки имеет первый кусок; второй кусок. Какую часть длина первого куска составляет от второго куска?

Если мы обозначим первый кусок а = 9, а второй b = 14, 4, то ответ на первый вопрос дают вычисления по формуле (3), а на второй - (1).

Задача 4 [9]. Между двумя городами построили дорогу. Первый город построил 5/7 дороги, а второй - оставшуюся часть. Во сколько раз часть дороги, построенная первым городом, больше, чем часть дороги, построенная - вторым.

Учащихся смущает, что в задаче явно не хватает данных. Мы же не знаем всей длины или целую часть дороги. Но из следствия 1, формулы (2) мы можем записать, что первая часть дороги (Ч₁) равна Ч₁ = Ц·5/7.

Задаём учащимся вопрос: как связаны между собой дроби двух частей дороги? И из следствия 2 получаем ответ для отношений и дробей. Дробная часть второго участка дороги равен 1 - 5/7 = 2/7. Теперь мы можем выразить длину второй части дороги: Ч₂ = Ц·2/7.

А теперь перейдём к конкретным значениям. Предположим, расстояние между городами составляет 140 км. В этом случае Ч₁ = 140·5/7 = 100 км, Ч₂ = 140·2/7 = 40 км. А их отношение будет равно 100/40 = 2,5.

Но учителю стоит объяснить, что конечное отношение не зависит от расстояния между городами и, как вывод сформулировать конструктивные правила действий для нахождения величин в задачах.

Правило 1. Для нахождения части необходимо дробь умножить на целое.

Правило 2. Если разбиение целого произошло на две части, то сумма их дробей равно единице, поэтому, зная, одну дробную часть можно находить другую.

Правило 3. Для нахождения целого (по части) необходимо часть умножить на обратную дробь.

Правило 4. Для нахождения отношений целых величин, необходимо выражать их в одних и тех же единицах измерения.

После усвоения определений и правил, производится закрепление материала и проработка сознания для адаптации к различным условиям при решении задач.

4. Проработка сознания

Выводы

• в работе рассмотрен подход, связанный с конструктивным мышлением в ходе решения задач;
• рассмотрено 4 этапа освоения темы или материала:
• на этапе восприятия выделяются базовые понятия;
• на этапе представления рассматриваются конструктивные определения понятий;
• на этапе понимания даются конструктивные правила для мышления и решения задач;
• на этапе проработки выделяются метапонятия и конструктивный порядок действий;
• в работе сформулировано 4 этапа металогики мышления:
• формула определения в виде конструкта даёт начало мышления при подходе к решению;
• направление мышления: от единого понятия к конструкту, от образа представления к идее;
• порядок мышления: от идеи к конструктивным действиям и уравнениям;
• преобразование выражений и получение формулы конструкта искомой величины;
• при помощи метапонятий строится логика мышления при решении задачи и вместе с учителем повышается уровень сознания учащихся.

Список литературы

• Владимиров В.М. Словарь конструктуаль. М.: DirectMEDIA, ч. 1, 2016, 681 с.
• Владимиров В.М. Словарь конструктуаль. М.: DirectMEDIA, ч. 2, 2016, 675 с.
• Кант И. Критика чистого разума - М.: Изд-во Эксмо, 2006. - 736 с.
• Книгин A.H. Философские проблемы сознания: Учебно-методический комплекс в двух частях. Ч. 1: Конспект лекций. Томск: Томский государственный университет, 2006. С. 248.
• Зинченко В.П. Миры сознания и структура сознания. Вопросы психологии. 1991. № 2.
• с. 15-36.
• Философия как учение о человеке / Под ред. Ю.В. Петрова. Учебное пособие для студентов вузов. - Томск, изд-во ТГУ, 1994, 208 с.
• Полинг А. Общая химия. М.: Мир, 1974. 846 с.
• Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления. Тамбов. Изд-во ТГТУ, 2004. 352 с.
• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2014, с. 117.