Экзаменационные задания по математике (профильный уровень) содержат задачу с экономическим содержанием под №17. Это задание повышенного уровня сложности, которое оценивается максимально в 3 балла. Для того, чтобы успешно решать подобные задачи, ученики должны не только владеть определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие математические модели по заданным условиям. При подготовке учащихся к решению данных задач возникает ряд вопросов, которые надо с ними предварительно обсудить.
1. Что нам дает решение экономических задач?
На самом деле при решении экономических задач формируются навыки, столь необходимые в реальности. Это:
- навык моделирования процесса по реальной ситуации;
- знакомство с кредитной системой изнутри;
- понимание основ расчета прибыли и затрат;
- навык анализа информации;
- навык решения практических задач;
- развитие алгоритмического мышления;
- умение структурировать информацию.
2. Какие типы экономических задач нам могут встретиться на экзамене?
В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. Это:
Задачи на кредиты и вклады:
- вклады;
- кредиты с различными схемами выплат.
Задачи на оптимальный выбор:
- экстремальные задачи;
- задачи на ограничение производственных возможностей.
Прежде, чем приступить, собственно, к решению задач, следует провести предварительную подготовку, которая заключается в следующем:
- Хорошо объяснить проценты и разобрать различные задачи на понимание процента;
- Простой и сложный процент;
- Понимание расчета выгоды и альтернативной стоимости;
- Вычисление производной, нахождение минимума и максимума;
- Моделирование процесса, описанного в задаче;
Перед началом объяснения экономической задачи полезно повторить темы:
- Задачи на проценты
- Арифметическая прогрессия
- Производная
Полезные задачи на проценты
1) На сколько процентов 5 больше, чем 4? На сколько процентов 4 меньше, чем 5?
Должно быть понимание того, что основа - это то, с чем сравниваем.
5:4=1,25, то есть 5 больше, чем 4 на 25%.
4:5=0,8, то есть 4 меньше, чем 5 на 20 %.
2) Сколько процентов от 20 составляет 25? Сколько процентов от 25 составляет 20?
25:20=1,25=125%
20:25=0.8=80%
3) Цена винограда в сентябре увеличилась на 10%, а в октябре снизилась на 10%. Как изменилась цена винограда по сравнению с первоначальной?
Можно пока показать в рублях: 100р → 110р → 99р.
Затем перейти решению задачи:
Пусть х - начальная цена, тогда цена в сентябре - 1,1х, а цена в октябре-
1,1х-1,1х*0,1=0,99х, то есть цена понизилась на 1%.
Полезные задачи на арифметическую прогрессию
1. В кинотеатре в каждом ряду на 2 сиденья больше, чем в предыдущем. В первом ряду 12 сидений, всего 30 рядов. Сколько мест в кинотеатре?
При изучении темы «Арифметическая прогрессия» решение подобных задач не вызывает затруднений у учащихся. Достаточно применить формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.
а30 = 70, S30 = (12+70)*30/2=1230.
А после предложить задачу:
2. Первоначальный долг составлял 200 тыс. руб., и каждый месяц убывал на 20 тыс.руб. За сколько месяцев был выплачен этот долг?
Можно воспользоваться схемой:
200 тыс → 180 т ыс → 160 тыс → … → 0, за 10 месяцев
Полезные задачи на понимание процесса:
1) Доходы фирмы составили 200 тыс.руб., а расходы - 180 тыс.руб. Чему была равна прибыль компании?
Решение:
П(прибыль)= Д(доход)-Р(расходы)
П=200 тыс-180тыс
П=20 тыс. р.
Ответ: 20 000 рублей.
2) Доходы и расходы фирмы зависят от того, какое количество продукта она произвела. Фирма производит Q единиц продукции. Доходы считаются по формуле 150Q, а расходы Q2+10Q-3000. По какой формуле можно рассчитать прибыль фирмы? При каком значении Q прибыль будет максимальной? Найдите эту максимальную прибыль.
Решение:
П(прибыль)= Д(доход)-Р(расходы)
П=150Q-(Q2+10Q-3000)
П= -Q2+140Q+3000
(П)ꞌ= -2Q+140
-2Q+140=0
Q=70 - точка максимума.
Max П=П(70)=7900(р)
Ответ: 7900 рублей.
3) На заводе можно за день произвести 100 деталей первого типа либо 50 деталей второго типа, при этом оборудование и материалы будут использованы полностью. Прибыль от детали первого типа 700 рублей, а второго - 1000 рублей. Сегодня нужно изготовить 20 деталей первого типа, а остальные - второго. Какое наибольшее количество деталей второго типа можно произвести? Какую прибыль при этом можно получить?
Решение:
1. 20/100=20% мощности потратили
2. На 2 тип деталей осталось 80%
0,8*50=40(дет)
3. П= 20*700+40*1000=54000(р)
Ответ: 54000 рублей
И, после того, как была проведена соответствующая подготовка, можно приступать к решению задач. Разумеется, решение следует начинать с более простых задач, постепенно усложняя разбираемые ситуации.
Задачи, которые я буду рассматривать, взяты из сборника по подготовке к ЕГЭ под редакцией И.В.Ященко 2020 г.
Наибольшее количество задач, которые встречаются в этом сборнике (и не только) - это задачи на кредиты и вклады.
Математическая модель: вклады и кредиты
(Вариант 3)
«В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн. рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?»
Решение:
Пусть сумма кредита равна S, тогда
| n |
Долг до начисления % |
Долг после начисления % |
Выплаты |
|
1г |
S |
1,15 *S |
1,587 |
|
2г |
1,15 *S-1,587 |
1,15*(1,15 *S-1,587) |
1,587 |
|
3г |
0 |
|
|
Поскольку долг стал равен нулю после второй выплаты, то можно составить уравнение:
1,15*(1,15 *S-1,587) -1,587=0
1,152S- 1,15*1,587=1,587
S=2,58 (млн. р.)
Ответ: 2,58 млн. р.
(Вариант 16)
«31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?»
Решение:
Пусть Михаил взял в банке S млн. рублей, тогда:
| n |
Долг до начисления % |
Долг после начисления % |
Выплаты |
|
1г |
S |
1,1 *S |
2928200 |
|
2г |
1,1 *S-2928200 |
1,1*(1,1 *S-2928200) |
2928200 |
|
3г |
1,1*(1,1*S-2928200)--2928200 |
1,1*(1,1*(1,1 *S-2928200)-2928200) |
2928200 |
|
4г |
1,1*(1,1*(1,1*S-2928200)-2928200)-2928200 |
1,1*(1,1*(1,1*(1,1*S-2928200)-2928200)-2928200) |
2928200 |
|
5г |
0 |
|
|
Поскольку долг стал равен нулю после четвертой выплаты, то можно составить уравнение:
1,1*(1,1*(1,1*(1,1 *S-2928200)-2928200)-2928200)- 2928200=0
1,14S-1,13*2928200-1,12*2928200-1,1*2928200-2928200=0
S= 9282000 (р)
Ответ: 9282000 рублей.
(Вариант 7)
«По бизнес-плану четырехлетний проект предполагает начальное вложение - 25 млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме того, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн. рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн. рублей и в третий, и в четвертый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года, как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.»
Решение:
Итак, имеем:
| n |
Вклад до начисления % |
Вклад после начисления % |
Дополнительные вложения |
|
1 |
25 |
1,2*25=30 |
n |
|
2 |
30+n |
1,2*(30+n)=36+1,2n |
n |
|
3 |
36+2,2n |
1,2*(36+2,2n)=43,2+2,64n |
m |
|
4 |
43,2+2,64n+m |
1,2*(43,2+2,64n+m) |
m |
|
5 |
1,2*(43,2+2,64n+m)+m |
|
|
1) Поскольку за первые два года начальные вложения, как минимум, должны удвоиться, получаем неравенство:
36+2,2n ≥ 2*25
n ≥ 6,3
Но, по условию, n-целое число. Значит n=7.
2) За четыре года первоначальные вложения вырастут, как минимум, в четыре раза. Значит:
1,2*(43,2+2,64n+m)+m ≥ 4*25
Если n=7, то
1,2*(43,2+2,64*7+m)+m ≥ 4*25
m ≥ 11,8
По условию m-целое число. Значит m=12.
Ответ: n=7; m=12.
(Вариант 5)
«15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей на n+1 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15 числа n-го месяца долг составит 200 тыс. рублей;
- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 000 рублей?»
Решение:
По условию задачи имеем:
Пусть S - сумма кредита (по условию задачи, 600 тыс. руб.), p = 3% - банковский процент. За первые n месяцев долг уменьшился на 600 − 200 = 400 (тыс. руб.), а так как по условию долг уменьшается равномерно (т.е. каждый месяц на одну и ту же величину), то за каждый месяц он уменьшался на величину x = 400/n (тыс. руб.). Кроме основного долга (600 тыс. руб.), клиент выплачивает банку ежемесячные проценты (начисляются 1 числа каждого месяца на оставшуюся на данный момент сумму долга), запишем суммы всех переплат банку в таблицу:
| n |
Долг до начисления % |
Начисленный % |
|
1 |
S |
S*0,03 |
|
2 |
S-x |
(S-x)*0,03 |
|
3 |
S-2x |
(S-2x)*0.03 |
|
… |
… |
… |
|
n |
S-(n-1)x |
(S-(n-1)x)*0.03 |
|
n+1 |
200 |
200*0.03 |
Сумму всех выплат можно выразить формулой Sв= Sк + S%. Значит, получаем уравнение:
600+0,03*(600+ … +200)= 852.
Но выражение, записанное в скобках, есть сумма (n+1) члена арифметической прогрессии, которую можно переписать в виде:
(600+200)*(n+1)/2 = 400*(n+1)
Тогда уравнение принимает вид:
600+0,03*400*(n+1)=852
n = 20.
Ответ: 20
(Вариант 13)
«15-го июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15 числа 15-го месяца долг составит 100 тыс. рублей;
- к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей?»
Решение:
По условию задачи имеем:
Пусть S - сумма кредита (по условию задачи, 1300 тыс. руб.), p = r% - банковский процент. За первые 15 месяцев долг уменьшился на 1300 − 100 = 1200 (тыс. руб.), а так как по условию долг уменьшается равномерно (т.е. каждый месяц на одну и ту же величину), то за каждый месяц он уменьшался на величину 1200/15=80 (тыс. руб.). Кроме основного долга (1300 тыс. руб.), клиент выплачивает банку ежемесячные проценты (начисляются 1 числа каждого месяца на оставшуюся на данный момент сумму долга), запишем суммы всех переплат банку в таблицу:
| n |
Долг до начисления % |
Начисленный % |
|
1 |
S |
S*r/100 |
|
2 |
S-80 |
(S-80)* r/100 |
|
3 |
S-2*80 |
(S-2*80)* r/100 |
|
… |
… |
… |
|
15 |
S-14*80 |
(S-14*80)* r/100 |
|
16 |
100 |
100* r/100 |
Сумму всех выплат можно выразить формулой Sв= Sк + S%. Значит, получаем уравнение:
1300+ (1300*r/100 + … +100* r/100) =1636
1300+ r/100*(1300+ … +100) =1636
Но выражение, записанное в скобках, есть сумма 16 членов арифметической прогрессии, которую можно переписать в виде:
(1300+100)*16/2 =1400*8 =11200
Тогда уравнение принимает вид:
1300+ r/100*11200=1636
Откуда r = 3%
Ответ: 3%