На уроке рассказывается, как используя программу Advanced Grapher можно строить графики алгебраических и тригонометрических функций в декартовой системе координат, исследовать функции, находить производную, первообразную, вычислять площади замкнутых фигур с применением знаний основ алгоритмизации. Приводятся примеры решения типичных задач на уроке алгебры в старших классах и показываются преимущества программы при исследованиях функции.
Учитель, располагающий компьютером, имеет уникальную возможность сделать процесс обучения более наглядным и динамичным с помощью графической программы Advanced Grapher. Программа строит графики в полярной системе координат, а также линии, заданные параметрически, что упрощает работу ученика при построении графиков.
Цели:
- Закрепить умение строить графики в различных системах координат
- Закрепить знания школьного алгоритмического языка
- Закрепить математические знания по теме "Исследования функции"
- Развивать внимательность, логику мышления
Тип урока: интегрированный.
Задачи урока:
образовательные:
- усвоение учащимися понятий алгоритмического языка, математического языка, знание темы исследование функции;
- формирование у учащихся умений и навыков работы с программой Advanced Grapher;
- развивать умение считывать информацию и пользоваться ею.
развивающие:
- развитие познавательного интереса учащихся;
- развитие у учеников логического мышления, памяти, внимания;
- формирование информационной культуры учащихся.
воспитательные:
- воспитание трудолюбия;
- прививание учащимся навыков самостоятельной работы.
Ход урока
I. Учет знаний
а) вспомнить ключевые слова из школьного алгоритмического языка:
- абсолютная величина: abs;
- корень: sqrt;
- запись тригонометрический функций: sin(x), cos(x) и т.д.;
- степень 2x, 2^x, sin2x- (sin(x))^2.
II. Работа в классе
№ 1. Исследовать функцию y = (x2 - 1)/ x, построив её график [1].
РЕШЕНИЕ
Используя график построенной функции определим:
1. Область определения.
Область значений.
2. Монотонность функции (т.е. промежутки возрастания или убывания функции)
3. Промежутки знакопостоянства:
а) f(x) > 0
б) f(x) < 0
4. Чётность или нечётность, т.е. f(-x) = f(x) - симметрично относительно оси координат f(-x) = - f(x) - симметрично относительно начала координат
5. Нули функции (точки пересечения графика):
а) с осью Оx:
б) с осью Оy:
6. Точки экстремума:
|
max y = [ ] |
min y = [ ] |
Каждый учитель и ученик знает, как однообразны и трудоёмки уроки исследования функций, как порой нелегко объяснить некоторые этапы исследования: особенности окрестности точки, в которых происходит перегиб; асимптоты графика и другие. Данная программа облегчает объяснение материала, а ученикам позволяет быстрее усвоить трудные места этого материала, поскольку дает возможность увеличить размеры графика, выполнить дополнительные построения, более детально и полно производить исследование функции.
Выполнение работы:
Вводим на алгоритмическом языке функцию:
y = (x^2 - 1)/ x
(График → Добавить график → Cвойства y(x) → (вносим формулу (x^2 - 1)/ x) (рис. 1). Полученный график представлен на рис. 2.
Рис. 1
2) Вычисления → Исследования функции → (вносим функцию целиком) → Нули функции + экстремумы функции + min + max (+ использование производной). 3) Результат исследования (по производной):
а) нули функции;
б) экстремумы (рис. 4).
Рис. 4
4) Результат исследования без производной:
а) нули функции;
б) max;
в) min.
5) Вычисления → Пересечения → y(x1) = (x^2 - 1)/ x (рис. 5)
y(x2);
x = -1, y = 0.
x = 1, y = 0.
Рис. 5
6) Касательная y(x) = (x^2 - 1)/ x, точка касания x = -1.
Касательная → Добавить график → Свойства → OK (формула)
Результат решения показан на рис. 6.
Рис. 6
График любой функции можно построить и по точкам, т.е. по таблице.
Таблица значений → формула (x^2 - 1)/ x от -10 до 10 с шагом 1.
→ Вычисления функции → формула (x^2 - 1)/ x → Считать.
Мы рассмотрели подробно пример решения №1, так же были исследованы и построены графики функций примеров №2 - №4.
№2. Построить график функции: y = ׀ 2x + 3׀ + 3׀x-1׀ - ׀x+2׀
№3. Построить график функции: y = 2x ·cosx.
(Графики → Наборы свойств → Тригонометрический набор)
(y(x) = 2^x * cos(x)) → OK → Получаем график
(Вид → Панели инструментов → Стандартная)
№4. Построить график функции: (не на одном)
а) y = 1 + sinx;
б) y = x + 2sinx;
в) y = 1+ cos2x.
С помощью программы можно построить графики и в полярной системе координат, а также линии, заданные параметрически. Кроме того, она чертит графики и направления, которые задаются с помощью уравнений или неравенств, выполнение которых на уроках занимают большое количество времени. Рассмотрим пример построения такого графика.
№5. В полярных координатах построить графики следующих функций (выполнить построение последовательно на одном графике):
1) R(a) = 4sin4a;
2) x(t) = 8cost - 2cos4t и y(t) = 8sint - 2sin4t;
3) (x2 + y2)2 - 54(x2 - y2) = 0 - в декартовой системе координат [2].
Рис. 7
№6. Для самостоятельного выполнения. Построить график функции:
1) y = ׀ x2 - 5x+ 6 ׀, (y(x) = abs(x^2 - 5*x +6))
2) y = ׀ x2 - 5 ׀ x ׀ + 6 ׀, (y(x) = abs(x^2 - 5abs(x) +6)
3) y = ׀׀ x2׀ -5 ׀ x ׀ +6 ׀, (y(x) = abs(abs(x^2) - 5abs(x) +6)
III. Подведение итогов урока
IV. Домашнее задание
Записать алгоритм построения графиков задания № 6.
Литература
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. (в двух частях). Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2005.
- Азевич А.И. Advanced Grapher на уроке и после него // Математика в школе. - 2001. - №6. - С. 69.
- Босова Л.Л., Босова А.Ю. Информатика и ИКТ (в двух частях). Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Бином, 2012.