Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Разделы: Математика, Общепедагогические технологии

Класс: 11

Математика, группа №5. 18а «Повар-кондитер» 43.01.09. 2 курс. Урок №26

Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. образовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницкий и другие. Москва «Просвещение» 2013 год.

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели урока:

  • ввести понятие интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила ее вычисления;
  • проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции;
  • закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

Задачи урока:

  • Образовательные:
    • сформировать понятие интеграла;
    • формирование навыков вычисления определенного интеграла;
    • формирование умений практического применения интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.
  • Развивающие:
    • развитие познавательного интереса учащихся, развивать математическую речь, умения наблюдать, сравнивать, делать выводы;
    • развивать интерес к предмету с помощью ИКТ.
  • Воспитательные:
    • активизировать интерес к получению новых знаний, формирование точности и аккуратности при вычислении интеграла и выполнении чертежей.

Тип урока: изучение новой темы.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная.

Оборудование: Тригонометр (график функции косинус), интерактивная доска, переносная доска, магнитная доска, обычная доска, кроссворд, тест, математическая лото, доклады обучающихся, презентация.

Тип урока: Изучение новой темы.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная.

Структура урока:

  1. Мотивационная беседа с организационным моментом.
  2. Актуализация опорных знаний - работа у доски, тест с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний, обобщение материала.
  3. Изучение нового материала.
  4. Обогащение знаний - знакомство с историей интеграла, презентация
  5. Закрепление материала.
  6. Самостоятельная работа.
  7. Подведение итогов урока.
  8. Творческое домашнее задание.
  9. Рефлексия.

Ход урока

1. Мотивационная беседа с организационным моментом

Поприветствовали друг друга. Отметили отсутствующих обучающихся.

2. Актуализация опорных знаний - работа у доски, тест с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний, обобщение материала

Преподаватель: На прошлом уроке вы узнали, что такое криволинейная трапеция и вывели формулу для вычисления ее площади. Чтобы закрепить эти понятия, для выполнения дома было задано?

Обучающийся: № 353(а), №353(б).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у=х2,

  • у=0,
  • х=3.

б) у=cosx,

  • у=0,
  • х=0,
  • х=π/2.

Преподаватель: Решим их на доске. (Разобрать решение у доски, вызываются двое обучающихся). Пока они записывают решения, все остальные работаем по тесту. Тест проецируется на интерактивную доску. Через 5 минут соберу талоны ответов и спроецирую на доску схему верных ответов, чтобы вы проверили и оценили свои знания по теме: «Первообразная» т.е. самоконтроль. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Верные ответы:

1

х

2

х

3

х

4

х

5

х

Тест №1

1. Найдите первообразную функции f(x)=2х+5.

  1. х2 +5х+с.
  2. 7х.
  3. 2.
  4. 2х2+5х.

2. По какой формуле можно вычислить площадь крив. трапеции.

  1. S=F(a)-F(b).
  2. S=F(a)+F(b).
  3. S=F(b)-F(a).
  4. S=F(a)-F(b).

3.Сколько первообразных имеет одна и та же функция?

  1. одну.
  2. множество.
  3. не больше двух.
  4. 0.

4. Найдите первообразную функции f(х)=4х3+5х-3.

  1. 4х +5
  2. 4х2+1
  3. х4+5х2/2-3х+с
  4. 2х2+с

5. Найдите общий вид первообразных f(х)=2sinx.

  1. 2sinx+c
  2. cosx+c
  3. -2cosx+c
  4. -2sinx+c

Преподаватель: Проверим решения заданий на доске.

Обучающийся: Вычислены площади фигур, ограниченные линиями по формуле: S= F(b)-F(a).

Преподаватель: Отметьте у себя в тетрадях. Запись формулы для вычисления площади криволинейной трапеции и решение одной из номеров (более удобной для использовании далее) оставляем на доске, все остальное убираем с доски.

3. Изучение нового материала

Преподаватель: S= F(b)-F(a) - формула для вычисления площади криволинейной трапеции.

На сегодняшнем уроке мы с вами рассмотрим другой подход, более широкий, к задаче нахождения площади криволинейной трапеции, который своими корнями уходит в глубокую древность. Еще 3 веке до нашей эры великий Архимед усовершенствовал метод решения задач на вычисление площадей, предложенный Евдоксом Книдским. Назвали этот метод - «Метод исчерпывания», который спустя две тысячи лет был преобразован в метод интегрирования. В его основе лежит такое понятие, которое мы с вами сейчас узнаем.

Так, что же, интересно, лежит в основе этого метода?

Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем разгадать кроссворд.

1и

2н

3т

4е

5г

6р

7а

8л

По горизонтали:

  1. Промежуток. (Интервал).
  2. Что мы хотим узнать, решив кроссворд. (Название).
  3. Четырехугольник или криволинейная… (Трапеция).
  4. Наименьшее положительное число. (Единица).
  5. 0 - это (Граница) положительных и отрицательных чисел.
  6. Название квадратного корня. (Радикал).
  7. Независимое переменное. (Аргумент).
  8. - математическая название фигуры. (Ломанная).

По вертикали:

  1. Понятие, которое лежит в основе метода интегрирования и тема нашего урока.

Обучающийся: Это, правильно, ИНТЕГРАЛ.

Преподаватель: Что такое интеграл? Мы с вами сейчас определим и рассмотрим формулу его вычисления - формулу Ньютона-Лейбница.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока.

Тема: «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница».

В чем же состоит «метод исчерпывания» Архимеда. Продемонстрируем его. Предположим, что нужно вычислить объем лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-нибудь известную формулу нельзя. С помощью взвешивания найти объем также трудно, так как плотность лимона в разных его частях разная. Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку лимона можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объем такого цилиндрика легко вычислить по формуле: Y=πR2H. Сложив oбъемы маленьких цилиндриков, мы получим приближенное значение объема всего лимона.

Применим аналогичную процедуру для вычисления площади криволинейной трапеции. Рассмотрим ее на отрезке [а; в]. Разобьем отрезок [а; в] точками на несколько равных отрезков a = x0<x1<…<xn-1<xn= b, k=1, 2, …, n-1, n.

Определим длину одного такого отрезка [хk-1; хk] dx= b-a/n,

d - начальная буква латинского слова differentia (разность).

На каждом таком отрезке построим прямоугольник с высотой f(xk-1).

Площадь Sn = S1 +S2 + S3 +…+ Sn-1 + Sn (по свойству площади).

Sn = f(x0)dx + f(x1)dx +…+ f(xn-1) = dx(f(x0) + f(x1) +…+ f(xn-1)) = f(x)dx

В силу непрерывности функции f(x) объединение построенных прямоугольников при большом n, почти совпадают с интересующей нас криволинейной трапеции. Поэтому Sn"S при больших n. Это число называют интегралом функции.

Определение. Для положительной непрерывной функции f(x) определенной на конечном отрезке [а; b] интегралом называется площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Итак, интеграл - это площадь - геометрический смысл.

Интеграл от функции f(x) на [а;b] обозначается так: ∫f(x)dx, где

∫- знак интеграла - стилизованная запись буквы S - первой буквы слова «сумма» на латинском языке.

а, b - пределы интегрирования

a - нижний предел интегрирования

b- верхний предел интегрирования

f(x) - подынтегральная функция

x - переменная интегрирования.

Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит и интегралов от некоторых функций, проделал Архимед. Однако лишь в 17 веке английскому ученому Исааку Ньютону в 1671году и Готфриду Лейбницу - немецкому ученому в 1684 году удалось открыть общий способ вычисления интегралов.

Преподаватель: Если S=F(b) - F(a) и S=∫f(x)dx.

Вопрос: Что мы имеем, если левые части двух равенств равны -?

Обучающийся: Если левые части двух равенств равны, равны и правые.

Значит:∫f(x)dx = F(b) - F(a). (Пишет формулу на доске).

Преподаватель: Правильно, эта формула - Формула Ньютона-Лейбница ∫f(x)dx=F(b) - F(a).

Запишите в тетради и обведите в рамочку.

4. Обогащение знаний - знакомство с историей интеграла, презентация

Сообщение обучающегося. Презентация.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408- ок. 355 до н.э.) все эти задачи мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

5. Закрепление материала

Пример 1: Вычислите интеграл от -1 до 2. ∫x2dx

Пример 2. Вычислите интеграл от 0 до π. ∫Sinxdx

6. Самостоятельная работа

Преподаватель: №357(а, б) - дается на интерактивной доске решение данных номеров, чтобы обучающиеся осуществили контроль самоконтроль, взаимоконтроль)

7. Подведение итогов урока - обобщение результатов урока

8. Творческое домашнее задание - на интерактивной доске по электронному учебнику показываем

Пример 3: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать рисунок) f(x)=Sinx, у=0, x=0, x=π. (использовать тригонометр - график функции синус - синусоиду) разобрать дома. (изучение данной темы продолжим на следующем уроке)

Д/З. §8, П.30. №357(в, г). Пример №3 стр.185.

9. Рефлексия

Преподаватель: У вас на столах коррекционные листы, где вы должны продолжить предложение - со следующей колонки и передать мне при выходе (при наличии времени на уроке можно побеседовать).

На уроке я работал(а)_________________
Своей работой на уроке я__________
Урок для меня показался___________
Материал урока мне был___________
Мое настроение__________________

доволен / не доволен
коротким / длинным
полезен / бесполезен
активно / пассивно
интересен / скучен
стало лучше / стало хуже

Приложение