На олимпиадах и ЕГЭ встречается класс задач, в качестве вопроса в которых используется формулировка следующего вида: какое наибольшее количество или какое наименьшее количество. На ЕГЭ это задача под номером 19. Обычно для ее решения необходим минимальный запас знаний: это арифметика программы 5-го или 6-го класса (всё, что связано с делимостью) и сведения по прогрессиям из алгебры 9-го класса. Больше ничего. Почему же задача 19 считается самой сложной на ЕГЭ по математике? Она нестандартна и требует так называемой математической культуры — умения грамотно строить рассуждения. А умение это у подавляющего большинства школьников отсутствует практически полностью. Учиться культурно рассуждать можно и обязательно нужно. Задача 19 предоставляет для этого отличную возможность. Получаться начнёт скорее всего не сразу, так что готовиться к решению этой задачи следует начинать задолго до 11 класса. Процесс формирования математической культуры длительный, занимает не один год. При обучении математике в школе необходимо уделять планомерное и настойчивое внимание тому, чтобы учащиеся осуществляли доказательные действия, приводили аргументы (примеры) и контраргументы (контрпримеры) в обоснование своих утверждений. Возраст обучаемых, безусловно, накладывает определённые ограничения на обсуждаемый материал и методы работы с ним, но и выбор этих методов достаточно широк, а диапазон задач для всех возрастов и того шире. В своей статье я приведу необходимый теоретический материал и разберу некоторые задачи с упором на разъяснение идей, лежащих в основе их решения. Необходимо учитывать, что при проведении занятий преподаватель должен быть готов к приведению контрпримеров к ошибочным заявлениям и примерам учащихся.
Итак, оценка плюс пример — это метод решения задач, который применяется при нахождении наибольших или наименьших значений. Суть метода состоит в следующем. Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа:
Оценка. Показываем, что всегда выполнено неравенство A ≥ а.
Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство A=а.
Тем самым доказываем, что наименьшее значение величины A равно а.
Суть этого рассуждения разберем на конкретных примерах.
Задача 1. Каким наименьшим числом монет в 3 и 5 копеек можно набрать сумму 37 копеек?
Решение. Если число монет не превосходит семи, то сумма окажется не более 7·5 = 35 копеек. Поэтому семи монет нам не хватит. Понятно, что не хватит и меньшего количества монет. Допустим, что монет восемь. Все они не могут быть пятикопеечными (8 · 5 = 40). Семь пятикопеечных монет и одна трёхкопеечная дают в сумме 38 копеек. Если же пятикопеечных монет не более шести, то сумма не превосходит 6·5+2·3 = 36 копеек. Значит, восемью монетами набрать 37 копеек также не получается. Таким образом, монет должно быть не менее девяти. Набор из девяти монет существует: пять пятикопеечных и четыре трёхкопеечных (5 · 5 + 4 · 3 = 37). Следовательно, наименьшее возможное число монет равно девяти.
Необходимо обратить внимание учащихся, что после того как мы сделали оценку, необходимо привести конкретный пример, так как практика показывает, что именно об этом ученики часто забывают.
Задача 2. Для натурального числа x нашлись такие натуральные числа a, b, c, d, e, f что x=a+b+c=d+e+f; при этом среди чисел a, b, c, d, e, f нет равных. Найдите минимальное возможное значение x .
Решение. Заметим, что 2x = a+b+c+d+e+f > 1+2+3+4+5+6 = 21, откуда следует, что x принимает значения не меньшие 11. Для числа 11 требуемые числа существуют: 11=1+3+7=2+4+5.
Ответ: 11.
Задача 3. Натуральные числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй группе. Какое наименьшее значение может принимать частное от деления первого произведения на второе?
Решение. Число 7 должно быть в первой группе, поскольку оно простое и никакое другое число на него не делится. Следовательно, частное не меньше 7 (оценка).
Приведем пример разбиения, при котором частное равно 7. Первая группа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; вторая группа: 8, 9, 10. В таком случае
Таким образом, наименьшее значение частного равно 7.
Для того чтобы придумать этот пример достаточно найти каноническое разложение произведения всех этих чисел:
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10=28 ∙ 34 ∙52.
Оно является квадратом числа 24 ∙ 32 ∙ 5=8 ∙ 9 ∙ 10.
Ответ. 7.
Задача 4. Несколько камней весят вместе 10 тонн, при этом каждый из них весит не более одной тонны. На каком наименьшем количестве трехтонок можно увезти этот груз за один раз?
Решение. Покажем, что на пяти трехтонках можно увезти весь груз за один раз. Действительно, на каждой из четырех первых трехтонок можно увезти более 2 тонн камней. То есть первые четыре машины увезут по крайней мере 8 тонн камней. Оставшиеся камни (суммарным весом менее 2 тонн) увезет пятая машина.
Покажем теперь, что четырех машин может не хватить. Действительно, если бы изначально было 13 камней весом по 
тонн каждый, то каждая трехтонка сможет увезти только 3 таких камня, значит 4 трехтонки могут увезти лишь 12 из 13 камней.
Ответ. 5.
Задача 5. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075. Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение. Ясно, что чисел в последовательности будет тем больше, чем меньше сами числа. Поэтому надо по максимуму использовать 1 и 13, чередуя их. Попробуем так и начать: 1, 13, 1, 13, … Эта последовательность состоит из идущих друг за другом пар (1; 13); сумма в каждой паре равна 14. Какое число будет последним? Очевидно, 13 в конце оказаться не может — тогда сумма всех членов последовательности будет делиться на 14, а 6075 — число нечетное, то есть на 14 не делится. Проверим, может ли в конце стоять единица. Разделив 6075 на 14 с остатком, получим: 6075=14⋅433+13. Значит, и единицы в конце быть не может.
Наша последовательность не подошла, но результат деления с остатком подсказывает, что нужный результат можно получить, изменив чередование: 13, 1, 13, 1, … Тогда после 433 пар (13; 1) мы сможем завершить последовательность числом 13. Таким образом, нам удалось обойтись только числами 1 и 13. Теперь докажем, что это и есть наиболее длинная последовательность. Покажем, что больше чем 433⋅2+1=867 членов быть не может. Предположим обратное: пусть наша последовательность a1, a2, a3, … содержит не менее 868 членов. Разобьем их последовательно на пары: (a1;a2); (a3;a4); … Сумма чисел в каждой паре как минимум 14, а самих пар не менее 434. Сумма всех членов получится тогда не менее 14⋅434=6076, что противоречит условию. Значит, в последовательности может быть самое большее 867 членов.
Ответ. 867.
Заметим, что в данной задаче рассуждения производились в обратном порядке: сначала был построен пример, затем было доказано, что полученная последовательность имеет наибольшую длину.
Задача 6. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Решение. 36=9*4. Так как числа 9 и 4 взаимно простые, то нам достаточно проверить делимость на 9 и на 4. В записи числа используются все 10 цифр, их сумма равна 45, значит в любом случае наше число будет делиться на 9. Осталось обеспечить делимость на 4. Число делится на 4, если его запись оканчивается двумя цифрами, образующими число, делящееся на 4. Очевидно, что последняя цифра числа должна быть четной. Допустим последняя цифра 8, тогда наше число может заканчиваться на 68, 48, 28 и возможное наименьшее натуральное число будет 1023457968. Если последней цифрой будет 6, то наше число может заканчиваться на 96, 76, 56, 36, 16. Возможным наименьшим числом в этом случае будет 1023457896. Очевидно, что если последней цифрой будет 4,2 или 0, то числа всегда будут получаться меньше найденных.
Ответ: 1023457896.
Задача 7. (Задание Единого государственного экзамена, 2010 г.). Каждое из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 4131.
Решение. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна (2+...+7)(13+...+21)=27х153=4131. Так как сумма нечётна, то в ней нечётное число нечётных слагаемых. Таким образом, как не расставляй знаки плюс и минус, в ответе всегда будет нечётное число, значит, модуль выражения не может принимать значение 0. Следующее целое неотрицательное число 1 модуль принимает, например, при такой расстановке знаков: (-2+3-4+5+6-7)(-13-14-15-16+17-18+19+20+21) = 1.
Ответ: 1 и 4131.
Задача 8. (Задание №19 Единого государственного экзамена профильного уровня, демонстрационная версия). На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -18.
а) сколько чисел написано на доске?
б) каких чисел написано больше положительных или отрицательных?
в) какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
а) пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма всех чисел набора равна их количеству, умноженному на их среднее арифметическое: 9k-18l=-5(k+l+m). В левой части равенства каждое слагаемое делится на 9, поэтому в правой части второй множитель (количество всех чисел) делится на 9, и это число больше 27 и меньше 45. Значит, чисел написано 36.
б) полученное выше равенство преобразуется в равенство 13l=14k+5m. Откуда 131 не меньше 14k и, значит, l>k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) итак, 9k-18= -180, откуда k=2l-20. Так как k+l не больше 36, получаем, что 3l-20 не больше 36, 3l не больше 56, l не больше 18, а k не больше 16, то есть положительных чисел не более 16. Приведём пример, когда положительных чисел 16: 16 раз написано число 9, 18 раз написано число -18, два раза написан 0.
Ответ: а) 36, б) отрицательных, в) 16.
Задача 9. (Задание №19 Единого государственного экзамена профильного уровня 2020г.). На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.
а) Может ли сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?
Решение.
а) Да, например, если на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282. Примеры набора может быть и другим: 24,114,144.
б) Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна 24 + 54 + 84 +114 + 144 = 420, что больше 390. Значит, получить сумму 390 невозможно.
в) Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой такой группе сумма заканчивается на 0. Значит, в последней группе (она может быть неполной) должно быть 4 числа — иначе последняя цифра суммы не будет равна 6. Итак, общее количество чисел может быть 4, 9, 14, 19, ..., . Если взять 14 наименьших чисел, то их сумма будет равна 24+54+…+414=3066>2226. Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например, 24+54+…+234+1194=2226.
Ответ: а) да, б) нет, в) 9.
Понятно, что решение таких задач доступно сильным учащимся 5-6 классов и многим учащимся 7-8 классов, а уж тем более выпускники средней школы и студенты математических профилей должны довести свои навыки рассуждений до уровня, позволяющего справляться по крайней мере с двумя первыми пунктами задачи 19 из ЕГЭ. При решении пункта в) чётко прослеживается как важность выяснения характеристики обсуждаемой величины (её оценивание), так и получение примера, соответствующего крайнему значению оценки. И только при наличии обеих составляющих можно гарантировать правильность ответа.
Совершенно ясно, что заданиями подобного плана проверяется в первую очередь не уровень математической образованности, а уровень математической культуры. Тематически задания элементарны и для их решения, формально, достаточно простейших математических сведений. Определяющим фактором формирования соответствующей культуры является целостное и качественное прохождение курса математики. Систематичность в её изучении развивает мышление и вырабатывает навыки решения задач различного уровня сложности.