Применение математического анализа при решении физических задач

Открытый интегрированный урок: физика + математика. 10-й класс. Углубленный курс

Цель: научить применять методы математического анализа при решении физических задач; продолжить работу по ознакомлению учащихся с методами научного познания мира; выявить эмпирическую зависимость силы тока в полной цепи от внешнего сопротивления; закрепить навыки вычисления производной для нахождения физических величин и построения графиков; закрепить знания закономерностей соединения проводников, закона Ома для полной цепи, мощности тока; закрепить навыки составления электрических цепей, измерения силы тока, напряжения, ЭДС, расчета внутреннего сопротивления; продолжить обучение анализировать условие задачи, составлять планы решения задачи и проведения эксперимента; продолжить развитие навыков совместной работы в группе малого состава, воспитание гражданственности и патриотизма.

Оборудование: на столах у учащихся по два реостата, амперметр, вольтметр, соединительные провода, источник тока на 4 В, ключ.

1. Организационный этап

Постановка цели урока

Учитель физики. «Гуляя в тенистой роще, греческий философ беседовал со своим учеником. «Скажи мне, - спросил юноша,- почему тебя так часто одолевают сомнения? Ты прожил долгую жизнь, умудрен опытом и учился у великих эллинов. Как же так, что и для тебя осталось столь много неясных вопросов?».

В раздумье философ очертил посохом перед собой два круга: маленький и большой. «Твои знания – это маленький круг, а мои – большой. Но все, что осталось вне этих кругов, - неизвестность. Маленький круг мало соприкасается с неизвестностью. Чем шире круг твоих знаний, тем больше его граница с неизвестностью. И впредь, чем больше ты станешь узнавать нового, тем больше будет возникать у тебя неясных вопросов».

Учитель математики. Этими словами греческого философа мы хотим начать наш урок. Галилей сказал: «Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики».

Учитель физики. Физика – это наука о природе. Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика. Без математики физика – нема, ведь основные законы природы выражаются исключительно в математической форме.

Учитель математики. На прошлых уроках мы говорили, что понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Через производную по времени координаты точки можно выразить механические величины (силу, импульс, кинетическую энергию), через производную заряда – силу тока и т.д. Сегодня мы продолжаем разговор о применении производной и использовании математического анализа для решения физических задач.

В начале урока в ходе разминки мы проверим, как вы усвоили простейшие физические задачи, связанные с производной.

II. Проверка знаний

Учитель физики. Напоминаем правила разминки:

• решить задачу, не забывая, что каждая физическая величина имеет единицу в системе СИ;
• по кодовой таблице найти букву, соответствующую ответу, и рядом с номером задачи итоговой таблицы на доске вписать ее. Должна получиться «крылатая» фраза о нашем родном городе. Координаторы в группах будут оценивать вашу работу.

Начало игры. Ребята берут пакет заданий, на столах – кодовые таблицы, на доске – итоговая таблица, в левой строке которой – номера задач, в правую строку надо вписать буквы, из которых складывается фраза: «Мончегорск - жемчужина Заполярья».

Окончание разминки. Обсуждение того, почему наш город называют жемчужиной Заполярья.

Кодовая таблица

(х  выражена в метрах, t – в секундах).

(Ученики, решив производные, получают ответ,  которому соответствует определенная буква. Они берут эту букву и крепят на доску. На доске постепенно появляется надпись: Мончегорск - жемчужина Заполярья).

Итоговая таблица

III. Решение задач

Задача 1.

Учитель физики.Постройте график зависимости силы тока в полной цепи от внешнего сопротивления.

Оборудование: источник тока, два проводника равного сопротивления, амперметр, вольтметр, соединительные провода.

Анализ условия. Как зависит сила тока в полной цепи от внешнего сопротивления? Вывести формулу закона Ома для такой цепи на доске.

Учитель математики. Рассмотрим геометрическую интерпретацию данной формулы. Для этого введем функцию зависимость I(R)

Ученик. Явление резкого возрастания тока при уменьшении внешнего сопротивления до нуля.

Учитель физики.  Итак, мы выяснили, как выглядит графически теоретическая зависимость I(R). Получим эту зависимость эмпирически, т.е. опытным путем. Наметим план нашей экспериментальной работы:

1. Изменяя сопротивление, будем измерять силу тока.

2. Чтобы получить разные сопротивления из двух резисторов равного сопротивления, сначала соединим их параллельно (получим минимальное значение), затем возьмем только один (промежуточное значение), а потом соединим последовательно (максимальное).

5. Вспоминаем технику безопасности: приборы на столе следует располагать рационально, все соединения выполнять при отключенном источнике тока, в случае неисправности цепь размыкать и ставить в известность учителя, амперметр включать последовательно, а вольтметр – параллельно участку цепи.

Ход работы. Учащиеся на местах – в группах выполняют необходимые соединения, измерения, вычисления, заполняют таблицу, чертят график, делают вывод: вид экспериментальной зависимости совпадает с теоретической кривой, т.е. сила тока в полной цепи обратно пропорциональна сумме внешнего и внутреннего сопротивлений, и, главное, формула закона Ома для полной цепи справедлива.

Учитель математики. Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, оптимального решения поставленной задачи: как добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальных затрат времени?

Не все задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех найдены простые решения. Однако часть удается исследовать с помощью методов математического анализа, в частности те, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. При решении будем пользоваться методом математического моделирования.

Задача 2.

Определите мощность P, отдаваемую электронагревательным элементом, имеющим сопротивление R и включенным в цепь источника тока с ЭДС έ и внутренним сопротивлением r. Каким должно быть внешнее сопротивление R, чтобы отдаваемая элементом мощность была наибольшей?

Анализ условия и составление плана решения.

Назначение нагревательного элемента – выделение тепла. Неизбежные потери – нагревание соединительных проводов, потери мощности на внутреннем сопротивлении источника. Мощность находим через работу тока во внешней цепи, т.е. через напряжение и силу тока, используя закон Ома для полной цепи.

Решение

Ученик записывает решение на доске, остальные – в тетрадях:

Учитель математики. На прошлых уроках вы учились находить максимальное и минимальное значения функции. Найдем наибольшее значение мощности, используя метод математического моделирования.

Ответ. Мощность P максимальна при сопротивлении внешнего резистора R=r.

Задача 3.

Батарея с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 0,8 Ом питает поочередно внешние цепи, имеющие сопротивления 0,4; 0,8 и 2 Ом. В каком случае полезная мощность наибольшая?

Учитель физики. Используйте решение разобранной в классе задачи.

Ученики. Мощность выделяется наибольшая, когда внутреннее сопротивление равно внешнему, т.е. 0,8 Ом.

IV. Окончание урока

Учитель математики. Подводит итоги урока, собирает оценочные листы.

Учитель физики. Мы сегодня еще раз нашли точки соприкосновения двух наук – физики и математики. Говорят, что математика – служанка всех наук, в том числе и физики, – и пусть математики не обижаются. Зная математику, физики «вооружены», им по силам не только простые задачи. Галилей основал точное естествознание, Архимед в своих трудах по статике и гидродинамике дал образец применения математики в естествознании и технике, а великий Ньютон – математическое обоснование физических законов, для чего разработал дифференциальное и интегральное исчисления.

Учитель математики. И мы рады, что вы овладеваете таким математическим аппаратом, чтобы познавать мир и объяснять его.

Спасибо всем, урок окончен.