Цели и задачи: создать первое представление о комбинированных задачах; научиться строить дерево возможных вариантов.
Изучение нового материала
Объяснение строится на трех задачах
Задача 1. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько существует различных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета, при этом используются цвета — белый, красный и синий.
Решение. Пусть верхняя полоска флага белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации — два варианта флага. Если верхняя полоса флага — красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим еще два варианта флага. Пусть, наконец, верхняя полоса — синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это еще два варианта флага. Всего получили 3∙2 = 6 комбинаций — шесть вариантов флагов.
Ответ: 6 флагов.
Задача 2. Сколько трехзначных цифр можно составить из цифр «9», «3», «5», «7», используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?
Решение.
Способ I.
Чтобы ответить на этот вопрос, выпишем все такие числа. Пусть на первом месте стоит «9». На втором месте может быть записана любая из цифр «3», «5», «7». Запишем, например, на втором месте цифру «3». Тогда в качестве третьей цифры можно взять «5» или «7». Получим два числа 935 и 937. Если на втором месте написать цифру «5», то в качестве третьей цифры можно взять цифру «3» или «7». В этом случае получим числа 953 и 957. Если же, наконец, на втором месте записать цифру «7», то получим числа 973 и 975. Итак, мы составили все числа, которые начинаются с «9». Таких чисел шесть: 935, 937, 953, 957, 973, 975. Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры «3», с цифры «5», с цифры «7». Полученные результаты запишем в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:
| 935 | 937 |
953 |
957 |
973 |
975 |
395 |
397 |
359 |
357 |
379 |
375 |
593 |
597 |
539 |
537 |
579 |
573 |
793 |
795 |
739 |
735 |
759 |
753 |
Таким образом, из цифр «9», «3», «5», «7» (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.
Способ II.
Решить эту задачу можно не выписывая сами числа, а рассуждая так. Первую цифру можно выбрать 4 способами. Так как после выбора первой цифры останется 3, то вторую цифру можно выбрать уже 3 способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) 2 способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4∙3∙2, то есть 24. Ответ на поставленный в задаче вопрос мы нашли, используя комбинаторное правило умножения.
Ответ: 24 числа.
Задача 3. Из города A в город B ведут две дороги, из города B в город C — три дороги, из города C до пристани — две дороги. Туристы хотят проехать из города A через города B и C к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
Решение. Путь из A в B туристы могут выбрать двумя способами. Далее, в каждом случае они могут проехать из B в C тремя способами. Значит, имеются 2∙3 вариантов маршрута из A в C. Так как из города C на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2∙3∙2, то есть 12 способов выбора туристами маршрута из города A к пристани.
Ответ: 12 способов.
Тренировочные упражнения
Задание 1. Сколько существует флагов, составленных из трех горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов — белого, черного, красного и синего? Есть ли среди них флаг Российской Федерации?
(Ребята самостоятельно решают задачу.)
Ответ: 24.
Задание 2. В школьной столовой предлагают 2 первых блюда: борщ, харчо, и 4 вторых блюда: курица, котлеты, гуляш, рыба. Сколько обедов из двух блюд могут заказать посетители? Перечислите их.
(Ребята самостоятельно решают задачу.)
Ответ: 12.
Задание 3. Учащиеся 6-го класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 28 учащихся?
(Ребята самостоятельно решают задачу.)
Ответ: 756.
Итог урока
— Какие задачи называются комбинаторными?
— Что означает слово «комбинаторика»?
— Как формулируется комбинаторное правило умножения?
Задание на дом
Придумать задачу на комбинаторное правило умножения. Решить ее и оформить решение на альбомном листе.
Литература
1. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие / Ред. С.А.Теляковский. — М.: Просвещение, 2015.
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика, 6. — М.: Мнемозина, 2016.