Рабочая программа по алгебре. Физико-математический 11-й класс

Пояснительная записка

Данная рабочая программа составлена на основе:

- Федерального закона Российской Федерации «Об образовании в Российской Федерации» (от 29.12.2012 № 273-ФЗ).

- Федерального компонента государственного стандарта среднего общего образования по математике (профильный уровень) 2004 г. (приказ Министерства образования Российской Федерации от 05.03.2004 № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».)

- учебного плана школы (Приказ Министерства образования Российской Федерации от 09.03.2004 № 1312 «Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования», Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 30.08.2010 № 889 «О внесении изменений в федеральный базисный учебный план и примерные учебные планы для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования, утверждённые приказом Министерства образования Российской Федерации от 09.03.2004 № 1312 «Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования»).

- перечня учебников, допущенных к использованию в 2014-2015 учебном году (Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от  31 марта 2014 г.  № 253 «Об утверждении федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования»).

- примерной программы среднего  общего образования по математике на профильном уровне (Т.А.Бурмистрова Сборник программ общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы, Москва «Просвещение» 2010 г.);

Применяемые технологии связаны в основном с лекционным методом при изучении нового материала, а также групповыми методами работы при закреплении изученного и индивидуальной работе при отработке материала, связанного с пробелами в знаниях. Кроме того, используется технология критического мышления через письмо.

Проверка усвоения материала будет производиться с помощью, проверочных самостоятельных работ (после закрепления изученного) и контрольных работ.

Структура документа

Рабочая программа включает в себя: пояснительную записку, основное содержание учебного предмета, основные требования к уровню подготовки учащихся, календарно-тематическое планирование учебных часов, тематическое планирование, перечень учебно-методического обеспечения.

Общая характеристика учебного предмета

В профильном курсе содержание образования, представленное в старшей школе, развивается в следующих направлениях:

• систематизация сведений о числах; формирование представлений о расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе построения нового математического аппарата для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;
• развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;
• систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;
• расширение системы сведений о свойствах плоских фигур, систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие представлений о геометрических измерениях;
• развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;
• совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;
• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

Изучение математики в старшей школе на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
• овладение устным и письменным математическим языком, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
• воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса. 

Место предмета в базисном учебном плане

Согласно Федеральному базисному учебному плану для общеобразовательных учреждений Российской Федерации на изучение предмета «Математика в 11 классе из расчёта 6 часов в неделю (4 часа алгебры и 2 часа геометрии). Данная рабочая программа по алгебре и началам математического анализа для 11 класса рассчитана на 4 часа в неделю, всего 136 учебных часов в год.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности

В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

• проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;
• планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;
• построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
• самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

Результаты обучения

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все выпускники, изучавшие курс математики по профильному уровню, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс средней (полной) школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

Очерченные стандартом рамки содержания и требований ориентированы на развитие учащихся и не должны препятствовать достижению более высоких уровней.

Требования к уровню подготовки выпускников:

Знать (понимать)

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки, историю развития геометрии;
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
• различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;
• роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания, для практики.

Уметь

• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
• вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
• составлять уравнения и неравенства по условию задачи;
• использовать графический метод для приближенного решения уравнений и неравенств;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций;
• при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Производная и её геометрический смысл

Иметь представления о

• пределе числовой последовательности, пределе функции, мгновенной скорости, касательной к плоской кривой, касательной к графику функции. 

Знать

• формулировки теорем, связанные с арифметическими действиями над пределами;
• определение непрерывной функции;
• определение производной и её геометрический смысл;
• правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций, сложной и обратной функции;
• таблицу производных элементарных функций;
• формулу для вычисления углового коэффициента прямой, проходящей через две заданные точки;
• условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом;
• общий вид уравнения касательной к графику функции.

Уметь

• вычислять значения пределов последовательностей и функций, используя теоремы об арифметических действиях над пределами
• вычислять производные элементарных функций простого и сложного аргументов
• находить производные любой комбинации элементарных функций
• составлять уравнение касательной к графику функции;
• находить угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками;
• по графику функции и касательной к графику определять значение производной в точке касания;
• по графику производной функции определять количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой   или совпадает с ней;
• по графику функции определять, в какой из указанных точек производная наименьшая.

Применение производной к исследованию функций

Знать

• формулировки теорем, выражающих достаточные условия возрастания и убывания функции;
• определения стационарной, критической точки функции, точки минимума, максимума, точки экстремума функции; минимума, максимума, экстремума функции;
• формулировки теоремы Ферма, а также теоремы, выражающей достаточный признак экстремума функции;
• алгоритм нахождения небольшого (наименьшего) значения непрерывной функции на отрезке;
• определения функции, выпуклой вверх, выпуклой вниз, точки перегиба.

Уметь

• находить промежутки монотонности функции, точки экстремума и экстремумы функции, наибольшее значение непрерывной функции на отрезке, а также на интервале, содержащем единственную точку экстремума;
• по графику функции определять количество целых точек, в которых производная положительна (отрицательна);
• по графику функции определять в скольких из указанных точек, в которых производная положительна (отрицательна);
• по графику функции определять количество точек, в которых производная равна нулю;
• по графику производной функции определять количество целых точек, входящих в промежутки возрастания (убывания) функции;
• по графику производной функции определять длину наибольшего (наименьшего) промежутка возрастания (убывания) функции;
• по графику производной функции определять, в скольких из указанные точек функция возрастает (убывает);
• по графику функции определять количество точек, в которых касательная параллельна прямой вида   или совпадает с ней;
• по графику функции определять сумму точек экстремума;
• по графику производной функции определять количество точек максимума (минимума) функции;
• по графику производной функции определять точку, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение;
• определять промежутки выпуклости функции, точки перегиба;
• выполнять построение графиков функции с помощью производной;
• решать задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения физических величин, а также геометрического содержания.

Интеграл

Иметь представления о

• семействе первообразных, криволинейной трапеции, интегральной сумме, определённом интеграле

Знать

• определение первообразной, таблицу первообразных, правила нахождения первообразных;
• формулу для нахождения площади криволинейной трапеции, формулу Ньютона-Лейбница;

Уметь

• доказывать, что заданная функция   есть первообразная функции  ;
• по графику одной из первообразной определять количество точек, в которых функция равна нулю;
• находить первообразные функций, используя таблицу первообразных и правила нахождения первообразных;
• находить первообразную для данной функции, если график искомой первообразной проходит через заданную точку;
• вычислять неопределённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница;
• находить площадь криволинейной трапеции;
• по графику функции найти разность первообразных в указанных точках;
• находить площади фигур, ограниченных линиями с помощью определённого интеграла;
• решать простейшие физические задачи с помощью определённого интеграла;

Комбинаторика. Элементы теории вероятностей. Статистика

Знать

• определения размещения без повторения, перестановки, сочетания, размещения с повторениями;
• определения случайных, достоверных и невозможных, равновозможных событиях, объединении и пересечении событий;
• классическое определение вероятности;
• формулировки теорем о сложении вероятностей;
• определение условной вероятности.

Уметь

• находить размещения без повторения, перестановки, сочетания, размещения с повторениями.
• применять элементы комбинаторики для составления упорядоченных множеств и подмножеств данного множества;
• вычислять вероятность события, используя классическое определение вероятности, методы комбинаторики, вероятность суммы событий;
• применять формулу Бернулли;
• решать задачи на вычисление вероятности совместного появления независимых событий, вероятности произведения независимых событий или событий, независимых в совокупности.

Итоговое повторение

В результате обобщающего повторения курса алгебры и начала анализа за 11 класс создать условия учащимся для выявления: 

• Владения понятием степени с рациональным показателем, умение выполнять тождественные преобразования и находить их значения.
• Умения выполнять тождественные преобразования тригонометрических, иррациональных, показательных, логарифмических выражений.
• Умения решать системы уравнений, содержащих одно или два уравнения (логарифмических, иррациональных, тригонометрических); решать неравенства с одной переменной на основе свойств функции.
• Умения использовать несколько приемов при решении уравнений; решать уравнения с использованием равносильности уравнений; использовать график функции при решении  неравенств (графический метод).  
• Умения находить производную функции; множество значений функции; область определения сложной функции; использовать четность и нечетность функции. 
• Умения исследовать свойства сложной функции; использовать свойство периодичности функции для решения задач; читать свойства функции по графику и распознавать графики элементарных функций
• Умения решать и проводить исследование решения текстовых задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины с применением производной; умения решать задачи параметрические на оптимизацию.
• Умения решать комбинированные уравнения и неравенства; использовать несколько приемов при решении уравнений и неравенств.
• Умения решать неравенства с параметром; использовать график функции при решении  неравенств с параметром (графический метод).
• Умения извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы; составлять текст научного стиля. 

Содержание образования

Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображении; уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса является систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.

1. Повторение – 2 часа

2. Производная и её геометрический смысл - 33 часа

Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. Определение производной. Правила дифференцирования. Производная степенной функции. Производные элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Основная цель — ввести понятие предела последовательности, предела функции, производной; научить находить производные с помощью формул дифференцирования; научить находить уравнение касательной к графику; функции, решать практические задачи на применение понятия производной.

На базовом уровне изложение материала ведется на наглядно-интуитивном уровне: многие формулы не доказывается, а только поясняются или принимаются без доказательств. Главное — показать учащимся целесообразность, изучения производной и в дальнейшем первообразной (интеграла), так как это необходимо при решении многих практических задач, связанных с исследованием физических явлений, вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел с произвольными границами, с построением графиков функций. Прежде всего, следует показать, что функции, графиками которых являются кривые, описывают многие важные физические и технические процессу.

На профильном уровне учащиеся знакомятся со строгими определениями предела, последовательности, предела функции, непрерывности функции. Правила дифференцирования и формулы производных элементарных функций доказываются строго.

Достаточно подробное изучение теории пределов числовых последовательностей учащимися профильных классов не просто готовит их к восприятию сложного понятия предела функции в точке, но развивает многие качества мыслительной деятельности учащихся.

3. Применение производной к исследованию функций – 23 часа

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба. Построение графиков функций.

Основная цель — показать возможности производной в исследовании свойств функций и построении их графиков.

При изучении материала широко используются знания, полученные учащимися в ходе работы над предыдущей темой.

Обосновываются утверждения о зависимости возрастания и убывания функции от знака ее производной на данном промежутке. Вводятся понятия точек максимума и минимума, точек перегиба. Учащиеся знакомятся с новыми терминами: критические и стационарные точки.

После введения понятий максимума и минимума функции формируется представление о том, что функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например, у = |х| в точке х = 0.

Определение вида экстремума предполагается связать с переменой знака производной функции при переходе через точку экстремума. Необходимо показать учащимся,  не только профильных классов, что это можно сделать проще — по знаку второй производной: если f"(x) > 0 в некоторой стационарной точке х, то рассматриваемая стационарная точка есть точка минимума; если f"(x) < 0, то эта точка — точка максимума; если f"(x) = 0, то точка х есть точка перегиба.

Приводится схема исследования основных свойств функции, предваряющая построение графика. В классах базового уровня эта схема выглядит так:

1) область определения функции;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) производная функции и стационарные точки;

4) промежутки монотонности;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

На профильном уровне (после изучения второй производной) схема исследования функции выглядит так:

1) область определения функции; четность (нечетность); периодичность;

2) нули функции; промежутки знакопостоянства;

3) асимптоты графика функции;

4) первая производная; критические точки; промежутки монотонности; экстремумы;

5) вторая производная; промежутки выпуклости, направления выпуклостей и точки перегиба.

4. Первообразная и интеграл - 29 часов.

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов. Применение интегралов для решения физических задач. Простейшие дифференциальные уравнения.

Основная цель — ознакомить с понятием интеграла и интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить находить площадь криволинейной трапеции, решать простейшие физические задачи с помощью интеграла.

Операция интегрирования сначала определяется как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных) в этом случае естественно получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции f(x) имеют вид F(x) + С, где F(x) — первообразная, найденная в таблице. Этот факт не доказывается, а только поясняется.

Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона — Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона — Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволинейных трапеций.

На профильном уровне учащиеся знакомятся с задачами на нахождение пути по заданной скорости, на вычисление работы переменной силы, задачами о размножении бактерий и о радиоактивном распаде более подробно, чем школьники классов базового уровня, и учатся решать простейшие дифференциальные уравнения.

5. Комбинаторика - 9 часов

Математическая индукция. Правило произведения. Размещения с повторениями. Перестановки. Размещения без повторений. Сочетания без повторений и бином Ньютона.

Основная цель — развить комбинаторное мышление учащихся; ознакомить с теорией соединений (как самостоятельным разделом математики и в дальнейшем — с аппаратом решения ряда вероятностных задач); обосновать формулу бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь ' знакомились в курсе 10 класса).

Основными задачами комбинаторики считаются следующие: 1) составление упорядоченных множеств (образование перестановок); 2) составление подмножеств данного множества (образование сочетаний); 3) составление упорядоченных подмножеств данного множества (образование размещений).

Из всего многообразия вопросов, которыми занимается комбинаторика, в содержание образования старшей школы сегодня включается лишь теория соединений — комбинаторных конфигураций, которые называются перестановками, размещениями и сочетаниями. Причем обязательными для изучения являются лишь соединения без повторений — соединения, составляемые по определенным правилам из различных элементов.

Теория соединений с повторениями не является обязательной для изучения даже на профильном уровне, тем не менее, полезно ввести понятие хотя бы размещений с повторениями, так как задачи на подсчет числа этих размещений рассматриваются уже на первых уроках при решении задач на применение правила произведения.

Знакомство с остальными соединениями с повторениями может быть рассмотрено с учащимися профильных классов при наличии времени. Доказательство же справедливости формул для подсчета числа перестановок с повторениями и числа сочетаний с повторениями следует рассматривать только при углубленном изучении с учащимися, усвоившими применение метода математической индукции.

Дополнительной мотивацией рассмотрения, например, перестановок с повторениями является то, что биномиальные коэффициенты есть не что иное, как перестановки с повторениями. Поэтому учащиеся, знакомые с понятием перестановок с повторениями, легко воспринимают вывод формулы бинома Ньютона.

6. Элементы теории вероятностей – 5 часов.

7. Статистика - 5 часов

Вероятность события. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.

Основная цель — сформировать понятие вероятности случайного независимого события; научить решать задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности произведения двух независимых событий.

В программу включено изучение (частично на интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определяются и иллюстрируются операции над событиями.

Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формулируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач/Понятия геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне в основной школе.

Независимость событий вводится достаточно строго (после определения понятия условной вероятности). Разбирается решение задачи на нахождение вероятности события В, состоящего в том, что при п испытаниях наблюдаемое событие А произойдет ровно k раз, после чего обосновывается формула Бернулли.

При изложении материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.

8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - 30 час

Календарное планирование

Учебно-методическое обеспечение предмета

Для учащихся:

1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2014.
2. ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий. /под ред.  И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2016/.
3. ЕГЭ 2016. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты./ под ред. И.В. Ященко. — М.:  Издательство «Экзамен», 2016.

Для учителя

1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учеб. для общеобразовательных  учреждений— М.: Просвещение, 2014.
2. Зив Б.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. Тесты. — СПб.: СМО Пресс, 2004.
3. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа — СПб: СМИО Пресс, 2008.
4. ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий. /под ред.  И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», 2016/.
5. ЕГЭ 2016. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты./ под ред. И.В. Ященко. — М.:  Издательство «Экзамен», 2016.
6. Математика Решение задач. М.: Издательство «Эксмо», 2017
7. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Ростов-на-Дону «Легион», 2015.