Перед современной системой образования стоит цель развития таких свойств личности, которые необходимы самой личности и обществу для включения в социально-значимую деятельность, требующую применения методов логико-вариативного мышления, основанного на законах формальной логики и обязательного оценивающего все возможные исходы наблюдаемых явлений и событий.
В соответствии с требованиями модернизации математического образования основой для формирования навыков такого мышления являются прочные логические знания (об общих приёмах мышления, используемых людьми любого профиля для осуществления своей деятельности) и стохастические знания (о закономерностях, связанных со случайными явлениями)[1].
Стохастичность (др.-греч. στόχος – цель, предположение) означает случайность, «стохастический» в дословном переводе означает «умеющий угадывать», т.е. случайный, вероятностный [6] .
В современной математической, методической и дидактической литературе соединение элементов теории вероятностей (лат. probabilitas – вероятность), комбинаторики (лат. combina – сочетать, соединять) математической статистики (лат. status – состояние) и некоторых других разделов математики (теория множеств, теория графов, математическая логика и др.) называется стохастикой (греч. от stochazomai – предполагать) – учением о вероятностях.
В начальном курсе математики можно говорить об использовании только отдельных элементов стохастики, что связано с возрастными и психологическими особенностями младших школьников [1]. Изучение элементов стохастики предусмотрено федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования второго поколения с 5-го класса.
В примерных программах по математике для начальных классов в стандартах второго поколения выделена новая содержательная линия «Работа с данными», ориентированная на развитие у обучающихся умения работать с математической информацией на основе содержания всех разделов курса математики.
Е.П.Виноградова, Н.Б.Истомина, Л.Г.Петерсон, В.Н.Рудницкая считают оправданным начинать пропедевтику элементов стохастики в начальной школе, при этом, не вводя понятий или способов решения задач, недоступных восприятию младших школьников [3].
Одним из средств формирования универсальных учебных действий младших школьников является решение стохастических задач на уроках математики. На основе работ по стохастике в начальной школе стохастические задачи определяют как класс задач, в которых результат действий однозначно не определён. Стохастические задачи формируют стохастическую культуру школьника, развивают вероятную интуицию, способствуют развитию математической грамотности [7].
Стохастические задачи можно разделить на следующие виды:
- комбинаторные задачи,
- задачи с элементами теории вероятностей,
- задачи с элементами наглядной и описательной статистики.
Наряду с этим, опираясь на результаты исследований Е.Е.Белокуровой, Г.В.Воробьевой, Л.В.Тарасовой, можно определить, что в начальном курсе математики стохастика базируется на следующих разделах математики:
- теория множеств,
- математическая логика,
- математическая статистика,
- теория вероятностей,
- комбинаторика.
В соответствии с данными разделами рассмотрим стохастическое содержание материала по направлениям и типовые стохастические задачи и упражнения.
Элементы стохастической содержательно-методической линии начального курса математики. Основные типовые задания
Элементы теории множеств направлены на:
- формирование у обучающихся первоначальных представлений о конечных множествах и их элементах,
- понятий «принадлежит/не принадлежит элемент множеству»,
- знакомство с основными видами множеств и способами их задания.
У обучающихся формируются следующиепредметные УУД: выполнение операций над множествами, изображение множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна, группировка объектов по заданному свойству. При выполнении операций над множествами у обучающихся, кроме предметных умений, формируются познавательные универсальные учебные действия (самостоятельное выделение познавательной цели; поиск и выделение информации; знаково-символические действия (моделирование); смысловое чтение) и познавательные логические УУД (анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); построение логической цепи рассуждений; выдвижение гипотез и их обоснование).
Типовые задания
Задание 1. Продолжите фразу:
- Букет – это множество …
- Стая – это множество …
- Сервиз – это множество…
Примечание: В задании 1 о множестве говорится в явном виде.
Задание 2. Дайте названия множествам:
- Груша, яблоко, банан, абрикос, апельсин;
- Берёза, клён, осина, дуб, сосна;
- Тюльпан, нарцисс, ромашка, гвоздика, колокольчик;
- Треугольник, квадрат, прямоугольник, круг.
Задание 3. Назовите группу чисел одним словом:
а) 2; 4; 7; 9; 6 _________________.
б) 18; 25; 33; 48; 57 _______________.
в) 231; 564; 872; 954 _________________.
Элементы математической логики
Обучение решению логических задач в начальной школе включает в себя:
- понимание смысла логических связок-слов «и», «или», «не», «если …то»;
- понимание смысла кванторных слов «все», «ни один», «каждый», «некоторый»;
- построение несложных составных высказываний с вышеназванными словами и определение их истинности;
- умение проводить классификацию, сравнение, аналогию, сериацию и т.д.
Без логических операций невозможно полноценное усвоение курса математики, именно слова логических операций служат основой формирования умений решать текстовые задачи.
В процессе решения логических задач у младших школьников развиваются следующие логические УУД: построение логической цепи рассуждений, доказательств, выдвижение гипотез и их обоснование.
Типовые задания
Задание 1. Выделите 2 слова из скобок, наиболее существенные для слова, стоящего перед скобками:
- Сад (растение, садовник, собака, забор, земля);
- Река (берег, рыба, тина, рыболов, вода);
- Куб (углы, чертёж, сторона, камень, дерево);
- Чтение (глаза, книга, картина, печать, слово);
- Игра (шахматы, игроки, штрафы, правила, наказания).
Задание 2. Выпишите черты сходства – слева, а справа – черты различия названных предметов или понятий: книга – тетрадь, солнце – луна, лошадь – корова, сани – телега, линейка – треугольник, дождь – снег.
Задание 3. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?
Задание 4.
1) Даны числа 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Раздели их на две группы:
а) четные;
б) нечетные.
2) Даны числа 2; 13; 3; 43; 6; 55; 18; 7; 9; 31. Раздели на две группы:
а) однозначные;
б) двузначные.
3) Числа 22; 35; 48; 51; 31; 45; 27; 24; 36; 20 разбиты на 2 группы: четные и нечетные. На какой строчке классификация проведена правильно?
а) 31; 35; 27; 45; 51; 22 48; 24; 20; 36.
б) 3; 35; 27; 45; 51 27; 20; 24; 36; 22; 48.
в) 27; 31; 35; 45; 51 20; 24; 22; 36; 48.
г) 26; 31; 36; 35; 45; 51 20; 24; 22; 48.
Задание 5. Какие из данных предложений истинны (верны), а какие ложны (не верны):
Число 24 – чётное
3+3 = 33
56 < 102
45:5 =11?
Задание 6. В каком случае предложения будут истинны?
Если на улице весна, то на деревьях распускаются листья.
Если на улице холодно, то идёт снег.
Среди вас есть хотя бы один, кто летал на самолёте.
У всех девочек вашего класса длинные волосы.
Элементы комбинаторики
Комбинаторные задачи включены в программу по математике, начиная в первого класса, они формируют у обучающихся представления:
- о комбинаторном соединении,
- об основных видах комбинаторных соединений (перестановка, размещение, сочетание).
В ходе решения комбинаторных задач у младших школьников формируются следующие предметные УУД: умение работать с таблицами, графами и граф-деревьями, применять правила суммы и произведения. При выполнении заданий такого вида учащиеся осваивают смысловое чтение и действия, связанные с поиском и выделением информации, моделированием. Комбинаторные задачи служат эффективным средством для формирования умений сравнивать и классифицировать объекты, строить логические цепочки рассуждений, а также способствуют развитию монологической и диалогической речи обучающихся в соответствии с нормами родного языка; инициативного сотрудничества в процессе поиска и сбора информации.
Типовые задания
Задание 1. Составьте из цифр 1, 3, 7 все возможные трёхзначные числа так, чтобы цифры в числе не повторялись.
Задание 2. Из цифр 2, 7, 3 составьте все возможные двузначные числа (цифры могут в числе повторяться). Сколько и какие из них больше 30?
Задание 2. У кошки Мурки родилось 8 котят. Из них 6 – пушистые, а 5 – рыжие. Может ли быть такое? Сколько одновременно рыжих и пушистых котят у Мурки?
Задание 4. Начертите отрезок АО. Поставь внутри него 3 точки, обозначь их буквами С, М, К. Сколько всего получится отрезков?
Задание 5. У Леры имеется 4 вида цветной бумаги (красная, синяя, желтая и зелёная) и 3 вида образца оригами животных (кошка, собака, колибри). Сколько вариантов одного любого животного она может сделать из любого цвета?
Задание 6. Из города А в город В ведут шесть дорог, а из города В в город С — пять дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Задание 7. Пять подружек после отдыха в летнем лагере обменялись фотографиями на память (каждая подарила остальным одну свою). Сколько фотографий потребовалось?
Задание 8. У Влады в четверг 2 лёгких предмета – физкультура и изо, и 2 трудных предмета – русский и математика. Как нужно составить расписание, чтобы лёгкие предметы чередовались с трудными? Найдите все варианты.
Элементы теории вероятностей направлены на:
- формирование представлений о том, что такое событие и его вероятность;
- знакомство с видами событий и способами нахождения простейших вероятностей.
Эти задания знакомят с основными видами событий, такими как достоверные, невозможные, случайные, противоположные, совместные и несовместные, зависимые и независимые. При выполнении таких заданий младшие школьники учатся проводить простой эксперимент с различными исходами, находить простейшие вероятности. Такая работа направлена на формирование следующих метапредметных УУД: ставить учебную задачу на основе имеющихся знаний, соотнесения границ известного и ещё неизвестного; составлять план и определять последовательность действий; прогнозировать, предвосхищать результат [7].
Типовые задания
Задание 1. Какое из названных событий обязательно произойдет, какое невозможно, какое маловероятно, а какое примерно в равной степени может быть, а может и не быть:
- урок математики длится 30 мин;
- наугад названный ряд год равен 366 суткам;
- 20 мин длятся дольше 1200 с;
- После понедельника будет среда;
- После субботы будет воскресенье.
Задание 2. В коробке находятся 2 белых и 2 черных шара. Наугад взяли один шар. Какого цвета он может быть? Наугад взяли 2 шара. Могут ли шары оказаться одного цвета? Разного цвета? Наугад взяли 3 шара. Могут ли они быть одного цвета? Какие возможны варианты [2, с.34].
Задание 3. Ученик первого класса отвлёкся и из содержания задачи услышал только два числа. Он сложил их и записал таким образом решение задачи. Могло ли оказаться, что действие он выбрал правильно?
Задание 4. Если подбросить монету, то может выпасть орёл или решка. Что может выпасть, если подбросить 2 монеты?
Элементы математической статистики
Математические задачи с элементами статистики в начальной школе формируют у обучающихся представления:
- о статистических данных,
- об основных видах записи статистических данных (таблицы, диаграммы),
- о некоторых числовых характеристиках статистических данных.
В процессе их решения младшие школьники осуществляют сбор данных эксперимента и учатся записывать их в таблицу, овладевают приемами поиска необходимой информации в простейших таблицах, построения и чтения простейших круговых, столбчатых диаграмм, нахождения некоторых выборочных характеристик (объема данных, моды, медианы, размаха, среднего арифметического нескольких чисел). Познавательные УУД формируются в ходе работы по преобразованию текстов, таблиц, схем, диаграмм, сопоставлению информации, представленной в разных формах.
Типовые задания
Задание 1. Составьте таблицу данных о росте обучающихся класса, в которую нужно занести только отличающиеся значения роста и число детей, имеющих такой рост.
Есть ли у вас в классе дети с одинаковым ростом? Какой рост самый «популярный» в вашем классе? Какова наибольшая разница в росте? Каков средний рост обучающихся в классе? У какого количества обучающихся рост выше среднего? Ниже среднего? Равен среднему?
Примечание: В математике такая таблица называется статистическим распределением ряда данных. Популярный рост – это мода ряда данных. Наибольшая разница – это размах ряда данных.
Подобные задания, требующие сбора, упорядочивания, кодирования и сохранения в удобной форме информации об обучающихся класса, являются эффективным средством стохастической пропедевтики.
Задание 2. Составьте по плану статистический отчёт о работе на уроке при подведении итога:
- Сколько всего вычислений выполнил каждый из вас в течение урока?
- Сколько пар чисел вы сложили, вычли, умножили и разделили за урок?
- Сколько раз на уроке вы выполняли сложение, вычитание, умножение, деление?
- Какое действие вы выполняли сегодня чаще (реже) других?
- Опыт каких вычислений на сегодняшнем уроке был большим?
Задание 3. Подбросьте монету 20 раз. Заполните таблицу:
| Орёл |
|
Решка |
|
Совпадают ли результаты наблюдений с наблюдениями ваших одноклассников [2]?
Решение стохастических задач связано с умениями «читать» информацию, представленную в разных формах, работать с таблицами, анализировать данные, строить логические рассуждения, проводить умозаключения, классифицировать, сравнивать, находить существенные признаки, делать выводы, которые составляют познавательные УУД.
Совместная работа младших школьников, работа в парах при решении стохастических задач способствует формированию правил поведения в группе, умений распределять функции и соблюдать очередность действий, слушать точку зрения партнера, правильно формулировать вопрос, организовывать взаимопроверку, высказывать свое мнение при обсуждении задания и его решении, прислушиваться к мнению других и доносить до них свою точку зрения, т.е. формированию личностных и коммуникативных УУД.
Введение стохастических задач в курс математики начальной школы позволит развивать математическую интуицию, логику и математическую грамотность. Понятия и методы стохастической линии могут использоваться обучающимися как средства описания окружающей действительности и решения конкретных практических задач.
Список используемой литературы
- Митрохина, С.В., Иванченко, О.Н. Формирование у младших школьников универсальных учебных действий в процессе решения стохастических задач. / С.В. Митрохина, О.Н. Иванченко, О.Н. // Современные проблемы науки и образования. – 2017. – № 4. (URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=26549 (дата обращения: 12.04.2019).
- Демидова, Т.Е., Козлова, С.А., Тонких, А.П, Рубин, А.Г и др. УМК «Школа 2100». – 2013.
- Царева, С.Е. Вероятностно-статистическая пропедевтика в математическом образовании младших школьников. / С.Е.Царева // Начальная школа. – 2010, № 4.
- https://rg.ru/2013/12/27/matematika-site-dok.html (дата обращения: 10.01.2019)
- https://ppt-online.org/184712 (дата обращения: 12.04.2019)
- https://ru.wikipedia.org/wiki/стохастический (дата обращения: 12.04.2019)
- https://www.science-education.ru/ru/article/view?id=26549 (дата обращения: 12.04.2019)