На сегодняшний момент в содержание КИМов по математике включены задания по всему курсу геометрии основной школы. Статистические данные из года в год показывают низкий уровень успешности выполнения заданий модуля «Геометрия», несмотря на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания, не выходят за рамки образовательного стандарта.
В 1 части экзаменационной работы проверяется базовая математическая компетенция: владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания, умение пользоваться математической записью, применять знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, применение основных формул планиметрии, и также применение математических знаний в простейших практических ситуациях.
В основном учащиеся выполняют на экзамене задания первой части из модуля «Геометрия».
Задания №24, №25, №26 направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне и предполагают умение решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса; умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования; владение широким спектром приёмов и способов рассуждений.
Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности по геометрии показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, в том числе и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовки.
Проведём анализ содержания задач повышенного уровня. Задачи под № 24 – это задачи на опорные конфигурации. Уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, часто используемых в задачах, является одним из важнейших условий для решения более сложных задач.
Задания, содержащиеся в № 25, представлены так называемыми базисными (ключевыми) задачами. Практически все задания под № 24 и № 25 находятся в учебнике «Геометрия 7-9» [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Поздняк, И.И. Юдина].
Выполнение № 26 предполагает комплексное использование знаний. Для того, чтобы успешно учащийся мог справиться с решением этих задач, является необходимым умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.
Возникает актуальная потребность решать проблему поиска путей формирования обобщенных знаний по планиметрии, которые выходят за пределы локальных знаний и характеризуется осознанностью и действенностью.
Для того, чтобы сумма знаний превратилась в систему, на определенном этапе обучения необходима перекомпоновка, систематизация материала, выявление новых связей и отношений между элементами этой суммы знаний.
Можно назвать два пути формирования обобщенной системы знаний по планиметрии: поэтапная систематизация знаний в процессе изучения отдельных тем курса; систематизация знаний на этапе обобщающего повторения курса планиметрии.
При всей полезности поэтапной систематизации знаний в процессе изучения отдельных тем курса, она не решает обозначенной проблемы, т.к. каждая тема курса выполняет конкретные функции по решению общей проблемы - обучению планиметрии. Задачный материал каждого раздела детерминирован темой, нацелен на отработку теории и конкретного метода, приема решения задач именно этого раздела, поэтому практически не содержит задач, решение которых требует применения широкого спектра знаний, методов, а именно такие задачи служат базой формирования у учащихся видения и умения сформулировать идеи применения знаний в любой ситуации, дают свободу выбора метода решения задачи, позволяют более глубоко работать над задачей, в частности, искать и находить всевозможные способы ее решения.
Систематизация знаний на этапе обобщающего повторения курса планиметрии дает учащимся возможность систематизировать свои знания по планиметрии; позволяет ученикам увидеть всю тему целиком, получить полное системное знание; познакомиться с определенными методами и приемами решения задач, которые либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо не отрабатываются на должном уровне; поможет учащимся в подготовке к экзамену по геометрии.
Эффективность этого пути для решения названной проблемы объясняется тем, что у учащихся в распоряжении имеется много фактов, методов, тем самым создается возможность установления связей, обобщений.
Отсутствие обобщающей темы в учебнике требует от учителя выявления учебного материала, который может служить основой организации и проведения обобщающего повторения планиметрии.
В содержание уроков обобщающего повторения необходимо включить повторение основных опорных геометрических фактов и базисных задач; дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи; расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач.
Повторение теоретических сведений производим в процессе фронтальной работы. Учащиеся или составляют конспекты, или вносят решение в заранее подготовленные учителем карты.
Предлагаю подборку задач из учебника «Геометрия 7-9 класс [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Поздняк, И.И. Юдина]», содержащую необходимый теоретический материал для решения задач по теме: «Использование свойств медиан, биссектрис и высот треугольника при решении задач на нахождение площадей». Поле «Решение» заполняется учащимся в процессе повторения.
|
Задание |
Решение |
Вывод |
№474 |
Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. |
|
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. |
№475 |
Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади. |
|
|
№624 |
Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делят его на шесть равновеликих треугольников. |
|
Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
№571 |
В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S. |
|
Если точку пересечения медиан, последовательно соединить с каждой из вершин, то получится три равновеликих треугольника, площадь которого равна одной трети площади всего треугольника. |
Ниже приведены утверждения, знание которых позволит решать более сложные задачи.
- Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.
- Все три биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке, и каждая биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Приведённых теоретических сведений достаточно чтобы перейти к заданиям другого уровня.
К теме ««Использование свойств медиан, биссектрис и высот треугольника при решении задач на нахождение площадей» были отобраны следующие задачи повышенного уровня сложности из учебно-методических пособий для проведения государственной итоговой аттестации, рекомендованные ФИПИ и МИОО.
№ 1. Площадь треугольника АВС равна 60. Биссектриса треугольника АD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом ВЕ : КЕ = 1: 1. Найдите площадь четырёх угольника ЕДСК. (Ответ: 25)
№ 2. Биссектриса АК и медиана СМ пересекаются в точке О, луч ВО пересекает сторону АС в точке N. Найдите площадь треугольника СКN, если АВ= 8, ВС = 10, АС = 12.
№ 3. В треугольнике АВС АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной ВС, и, проведёнными из вершины А высотой и медианой.
№ 4. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.
№5. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АК пересекает медиану ВМ в точке О, при этом: ВК : СК = 3 : 2. Найдите площадь четырёхугольника ОКСМ. (Ответ: 11)
№ 6. В треугольнике АВС АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной АС, медианой ВМ и биссектрисой СК данного треугольника. (Ответ: 
).
№7. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВК. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = 10, ВК = 6. (Ответ: 40)
№8. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведённые к другим сторонам. равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника. (Ответ: 288)
В заключение повторения каждой темы проводим контроль индивидуального продвижения учащегося по теме. Для этого заранее распечатываем и раздаём учащимся карточки.
На карточках есть значки, которые обозначают параметр выбора задания. Каждая карточка включает вопросы и задания различных уровней сложности. Работа с карточками начинается с выбора задания учениками. Учитель не принимает никакого участия в процессе выбора карточки ученикам. Педагог наблюдает и, в нужный момент, выполняет роль помощника, а не руководителя. Если ученику трудно выбрать карточку, то учитель может помочь ему, но только по просьбе самого школьника.
Работа, которая проводится учителем при разработке обобщающего повторения достаточно сложная, но её результатам является становление собственной системы подготовки школьников к ГИА.