Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
- Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
- Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
- Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
- В чем заключается вычисление интеграла?
- Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница 
. Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
- Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию 
какой-либо другой функцией 
, для которой интеграл вычисляется аналитически.
- Тогда для решения задачи строим 
с оценкой погрешности 
, и приближенно 
с очевидной оценкой погрешности 
.
- Введем на отрезке 
сетку 
, 
, где 
, и таблицу значений 
, 
.
- Рассмотрим простой вариант построения функции 
, приводящий к формуле трапеций.
- При этом функция 
строится как кусочно-линейная интерполяция значений 
, 
на равномерной сетке с шагом 
.
- Тогда
=
.
- Формулы такого рода (
) называют механическими квадратурами, 
– коэффициентами (весами) квадратуры, 
– ее узлами.
Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции 
. Если она на 
имеет первую производную, ограниченную числом 
, то 
, и погрешность формулы трапеций не превосходит 
. Если 
на 
имеет вторую производную, ограниченную числом 
, то погрешность формулы итераций не превосходит 
, поскольку 
.
Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью 
, то мало кто сначала оценит третью производную функции 
и вычислит шаг сетки 
. Эта оценка и значение константы 
завышены. Кроме того, само вычисление 
может быть трудным, особенно если 
задана некоторым сложным образом.
Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов 
, получают его значение 
; вычисляя интеграл с удвоенным 
, получают 
. Если модуль 
(где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют 
и т.д. Для гладких функций 
часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.
- Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?
2. Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
- постановку задачи;
- алгоритм расчета;
- таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
- результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Дано: f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
Таблица Исходная информация |
|||
Отрезок [a;b] |
Функция f(x) |
||
a |
b |
Аналитическая запись |
Представление в Excel |
0 |
4 |
1/(1+x4)1/2 |
=СТЕПЕНЬ((1+СТЕПЕНЬ(B16;4));-1/2) |
Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel
Расчет площади |
|||||||
xi |
f(xi) |
Коэффициенты формулы трапеций |
Вычисление Ci*f(xi) |
||||
N=2 |
N=4 |
N=8 |
N=2 |
N=4 |
N=8 |
||
0 |
1,000 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,500 |
0,500 |
0,500 |
0,5 |
0,970 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,970 |
1 |
0,707 |
0 |
1 |
1 |
0,000 |
0,707 |
0,707 |
1,5 |
0,406 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,406 |
|
2 |
0,243 |
1 |
1 |
1 |
0,243 |
0,243 |
0,243 |
2,5 |
0,158 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,158 |
3 |
0,110 |
0 |
1 |
1 |
0,000 |
0,110 |
0,110 |
3,5 |
0,081 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,081 |
4 |
0,062 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,031 |
0,031 |
0,031 |
Сумма |
0,774 |
1,591 |
3,207 |
||||
Значения интеграла |
|||||||
Количество узлов |
N=2 |
N=4 |
N=8 |
||||
S |
1,55кв.мм |
1,59кв.мм |
1,60кв.мм |
||||
Погрешность |
0,028 |
0,008 |
|||||
Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.
Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:
Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
Представьте графически поставленную задачу.
| |
отрезок [a; b] |
Функция f(x) |
1 |
[0; 4] |
1/(1+x²)1/2 |
2 |
[2; 3] |
5x4+2x²-х |
3 |
[2; 4] |
ех/(х+5) + x³/(х+4) |
4 |
[0; 2] |
(4+x³)1/2 |
5 |
[0; 2] |
1/(5x4+2x²+2) |
6 |
[10; 18] |
(х4/(1+x4)1/2)1/2 |
7 |
[2; 6] |
6/(1+x²)1/2 |
8 |
[2; 3] |
5x4+2x²-х |
9 |
[4; 8] |
(х5/(1+x4)1/2)1/2 |
10 |
[1; 3] |
12/(5x²+x+6) |
11 |
[0; 4] |
е1/(х+5) + 1/(х+4) |
12 |
[2; 4] |
(х+x5)1/2 |
13 |
[0; 4] |
1/(1+x4)1/2 |
14 |
[4; 8] |
2+(х/(1+x4)1/2) |
На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.
Список литературы и интернет-ресурсов
- Основы компьютерной грамотности: учебное пособие / Кривенкова С.В., Радионова Л.К., Соболенко Н.А., Шванн Д.Э. М.: Издательство МЭИ, 2004.
- Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
- Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994.
- Физико-математические основы техники и электрофизики высоких напряжений. Учебное пособие для вузов / В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, Е.С. Колечицкий и др. Под ред. К.П. Кадомской. М.: Энергоатомиздат, 1995.
- Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
- Зенков, А.В. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ /А.В. Зенков. — Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2016. — 127с.
- Вычислительные методы // Википедия. [2010—2019]. Дата обновления: 31.01.2019. URL: https://ru.wikipedia.org/?oldid=97827303 (дата обращения: 20.05.2019).
- Численное решение уравнений // Википедия. [2010—2018]. Дата обновления: 01.01.2018. URL: https://ru.wikipedia.org/?oldid=89982922 (дата обращения: 20.05.2019).