В последнее время резко сокращается количество часов на изучение математики в школе, а требования (с том числе на ЕГЭ) и объем изучаемого материала увеличивается. Учитель должен не только сообщать учащимся соответствующий материал, но и научить их владеть предметом. А владеть математикой – это значит уметь решать задачи, в том числе не только стандартные, но и требующие нестандартного мышления, оригинальности и изобретательности. В связи со всем выше перечисленным возникает проблема: как научить ребят за относительно небольшое время решать задачи.
Я рассмотрела методику ключевых задач при обучении решении задач по стереометрии (на примере темы «Многогранники и сфера»).
Сам термин «ключевая задача» ввел Р.Г.Хазанкин, описал методику ключевых задач Зильберберг Н.И.
По Р.Г.Хазанкину ключевая задача – это своеобразные опоры для решения других задач, в том числе и нестандартных математических задач. Идея состоит в том, чтобы отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых ученик будет в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований. Этот минимум должен включать 5-7 задач.
Опыт использования ключевых задач в обучении показывает, что такой подход дает возможность ликвидировать не только перегрузку учащихся (решается меньшее число задач, меньше их задается и на дом), но и существенно облегчает труд учителя по планированию уроков, проверке знаний учащихся.
Решение большинства довольно трудных задач даже на математических олимпиадах сводится в конечном счете к умелому распознаванию небольшого числа идей, отраженных учителем в ключевых задачах.
Главным и существенным недостатком являются высокие требования к преподавателю.
Проблема заключается в следующем: как учителю научиться отбирать ключевые задачи? Хазанкин на этот вопрос на дает ответа. Ядром проблемы является само понятие «ключевая задача». Хазанкин формулирует свое определение не четко, ничего не говорит о том, как могут и должны быть отобраны ключевые задачи.
Нами было введено следующее определение.
Определение. Система ключевых задач – это минимальный из всех наборов взаимодополняющих задач по данной теме, овладев методами решения которых ученик сможет решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.
В соответствии с данным определением и во избежание возникновения трудностей у учителей при отборе задач в систему считаю необходимым сформулировать требования к системе ключевых задач.
1) минимальность. Само по себе требование минимальности системы ключевых задач предполагает, что в систему должно быть включено не более 7-8 задач по рассматриваемой теме, что соответствует требованию Р.Г.Хазанкина.
2) система ключевых задач должна охватывать все элементы знания по данной теме на уровне программных требований.
3) ограничение по сложности сверху и снизу. В данном случае имеется в виду, что система не должна содержать очень простых задач, сложность которых не превышает уровня слабого ученика. Одновременно в системе не должно быть задач повышенной сложности.
4) система ключевых задач должна носить комбинированный характер. Это означает, что в системе должны присутствовать задачи двух типов: задачи практические и задачи «теоретические».
К первому типу относятся задачи, в которых необходимо довести решение «до числа», то есть получить конкретный результат (в буквенном или числовом выражении). Эти задачи должны быть обязательно включены в систему для того, чтобы развивать вычислительные навыки у учащихся, они также могут иметь прикладное значение, обеспечить «связь с жизнью», особенно в слабых или гуманитарных классах.
Ко второму типу относятся задачи, содержащие в себе теорему или какой-то важный теоретический факт, который требуется доказать и который может быть эффективно использован в дальнейшем при решении других задач по данной теме. Задачи теоретического характера должны быть включены в систему ключевых задач по причине необходимости развития логического мышления у учеников, особенно в классах с углубленным изучением математики.
5) задачи, включенные в систему не должны быть громоздкими.
В рассматриваемой теме стереометрии «Многогранники и сфера» система ключевых задач отбиралась в соответствии с введенным определением и согласно требованиям. Мною были отобраны следующие задачи:
1. Сфера, вписанная в правильную четырехугольную пирамиду, и сфера, описанная около этой пирамиды имеют общий центр. Вычислите величину плоского угла при вершине пирамиды.
2. В куб с ребром а вписана сфера. Найти радиус другой сферы, которая касается трех граней куба, имеющих общую вершину, и первой сферы.
3. В правильную усеченную пирамиду с боковым ребром l можно вписать первый шар, касающийся всех граней, и второй шар, касающийся всех ребер. Определить стороны оснований усеченной пирамиды.
4. В основании пирамиды лежит прямоугольник, две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие составляют с ним углы α и β. Найти поверхность описанной сферы, если известно, что высота пирамиды равна h.
5. В шар с радиусом R вписана правильная шестиугольная призма. Радиус, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани угол 45о. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
6. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объем шара, если каждое боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.
7. Около шара описан прямой параллелепипед, объем в m раз больше объема шара. Найдите угла в основании параллелепипеда.
Существует специальная компьютерная программа, позволяющая отбирать ключевые задачи из предварительно созданной базы данных задач по определенной теме.
Для отбора ключевых задач строится графовая модель теоретического материала, вершинами которой являются элементы знаний. Программа учитывает следующее:
- каждая задача связана с несколькими вершинами;
- в сумме все задачи, входящие в систему, должны быть ассоциированы со всеми базисными вершинами.
Таким образом система ключевых задач была отобрана двумя способами: непосредственно мною по предложенному алгоритму отбора системы ключевых задач и с помощью компьютерной программы АСО «Задачник». Вторая система была оценена по предъявленным требованиям к системе ключевых задач. Это было сделано для того, чтобы показать преимущества такого отбора по сравнению с отбором «вручную» (самим учителем), а также для того, чтобы определить, соответствует ли предъявленным требованиям к системе ключевых задач отобранная таким образом система ключевых задач. Проведенный анализ и сравнение двух систем ключевых задач, отобранных разными способами, описанными в работе, позволяет сделать вывод о том, что компьютерный способ отбора достаточно эффективен и может быть широко использован на практике в любом классе.
В данной работе я попыталась обобщить, сделать доступнее для учителей, использующих методику Хазанкина ключевых задач, материал о том, как должен действовать педагог (учитель математики) обучая решению задач, какие трудности при этом могут возникнуть и как их можно избежать.
В заключение я хочу привести высказывание Д.Пойя: «Чтобы научить решать задачи, надо их решать».
Литература
- Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. Москва, «Наука», 1976.
- Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. М.: Просвещение, 1989.
- Зильберберг Н.И. Приобщение к математическому творчеству. – Уфа: Башкирское книжное издательство, 1988.
- Зильберберг Н.И. Урок математики: подготовка и проведение. Книга для учителя. – М.: Просвещение: ЛО «Учебная литература», 1995.
- Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 класс. – НПО «Мир и семья-95», изд-во «Акация». - С.-Петербург,1995.
- Хазанкин. Р.Г. Как увлечь учеников математикой? // Народное образование, №10. 1987.