Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
- Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
- Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
- Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?
В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:
- 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
- 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
- 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
- 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
- 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).
- В чем заключается постановка задачи?
- Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.
- В чем заключается общая постановка задачи?
- Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.
- Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)
- В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?
- Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:
1. Отделение (локализация) корня;
2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)
- Какая задача называется уточнения корня?
-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.
- Какими методами можно производить уточнения корня?
- Уточнения корня можно производить различными методами:
1) Метод половинного деления (бисекции);
2) Метод итераций;
3) Метод хорд (секущих);
4) Метод касательных (Ньютона);
5) Комбинированные методы.
- Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.
Применение знаний, формирование умений и навыков:
Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
- постановку задачи;
- алгоритм расчета;
- таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
- результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание
Дано: x3 + 8x + 10 = 0
Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК
Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.
До настоящего времени графический метод предлагалось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.
Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:
- если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
- повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.
Задания для студентов первой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
- Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;
Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) - интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.
Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.
Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо - слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).
Алгоритм для программной реализации:
- а:=левая граница b:= правая граница
- m:= (a+b)/2 середина
- определяем f(a) и f(m)
- если f(a)*f(m)<0 то b:=m иначе a:=m
- если (a-b)/2>e повторяем, начиная с пункта 2
- m - искомый корень.
Задания для студентов второй группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.
Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде 
) и по формуле 
будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая 
будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти 
.
Подготовка:
1. Ищем числа m и M такие, что 
на (a, b);
2. Представляем 
, где 
;
Алгоритм:
1. Выбираем х0 из (a, b);
2. Вычисляем 
;
3. Проверяем условие 
, где q=(M-m)/(M+m);
4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;
5. х0 = х1;
6. Переходим к пункту 2;
7. х1 – искомый корень.
Задания для студентов третьей группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
- Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.
Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.
Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:
,
Алгоритм метода хорд:
1) Пусть k = 0;
2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.
Найдем очередное k-e приближение по формуле: xk = a - f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)). Вычислим f(xk);
3) Если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.
Если f(xk) ×f(b)>0, то b = xk, иначе a = xk;
4) Если |xk – xk–1| > ε, то переходим к п. 2;
5) Выводим значение корня xk;
6) Конец.
Задания для студентов четвертой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
- Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:
Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:
1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f''(x) непрерывны;
2) производные f'(x) и f''(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;
3) f(a)× f(b) < 0 (функция f(x) меняет знак на отрезке).
Тогда существует отрезок [α, β], содержащий искомый корень уравнения f(x) = 0, на котором итерационная последовательность сходится. Если в качестве нулевого приближения х0 выбрать ту граничную точку [α, β], в которой знак функции совпадает со знаком второй производной, т.е. f(x0)× f"(x0)>0, то итерационная последовательность сходится монотонно
Задания для студентов пятой группы
- Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
- Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.
Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.
В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.
Уточнения корня производилось различными методами:
1) методом бисекции;
2) методом итераций;
3) методом секущих;
4) методом Ньютона;
1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.
2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.
3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .
4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.
Список литературы и интернет-ресурсов
- http://students.uni-vologda.ac.ru/pages/pm11/erv/index.html
- http://old.exponenta.ru/educat/systemat/hanova/equation/nonlinear/nonlinear1.asp
- https://infourok.ru/reshenie-nelineynih-uravneniymetodicheskaya-razrabotka-398167.html
- https://habr.com/ru/post/132366/
- http://mirznanii.com/a/314657/priblizhyennoe-reshenie-algebraicheskikh-i-transtsendentnykh-uravneniy
- https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/rieshieniie-alghiebraichieskikh-i-transtsiendientnykh-uravnienii-priblizhiennymi-mietodami
- Костомаров Д.П. Программирование и численные методы. – М.: Издательство МГУ, 2001.,стр.87-100.
- Пирумов У.Г. Численные методы: Учебн. пособие для студентов – М.: Дрофа, 2004.,стр.23-41.
- Костомаров Д.П. Вводные лекции по численным методам. М.: «Логос», МГУ,2004.,стр.53-70.
- Пулькин С.П. Вычислительная математика. – М. «Просвещение», 1994., стр.84-123.