Применение средней линии треугольника к решению задач. Теорема Вариньона

Класс: 8 класс.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• образовательная: сформулировать и доказать теорему Вариньона; показать применение к решению задач;
• развивающая: развитие интереса к предмету, логического мышления, математически грамотной речи; развитие информационных и коммуникативных компетенций учащихся;
• воспитательная: воспитание коммуникативных качеств личности, посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

•  знать: определение средней линии треугольника, свойство средней линии треугольника;
• понимать: принцип применения свойства средней линии треугольника к решению задач;
• применять: решать задачи с использованием свойство средней линии треугольника;
• анализировать: возможность применения свойства средней линии треугольника в различных случаях.

Методы обучения: проблемно-поисковый.

Содержание деятельности: моделирование ситуации, в которой у учащихся возникает потребность в расширении запаса знаний.

Форма организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Оборудование урока: доска, проектор, дидактический материал (тексты задач) на каждого ученика.

Учитель готовит на доске:

• Задачу №1 из домашней работы (условие и чертеж).
• Четырехугольник (чертёж).

Этапы урока:

1. Организационный момент. Приветствие. Отметка отсутствующих. Сообщение темы урока.  Постановки задачи.
2. Актуализация знаний.
3. Новый материал. Сообщение учащимся новых знаний. Совместный поиск решения проблем, оформления результата.
4. Тренировочные упражнения. Закрепление полученных знаний. Решение задач.
5. Итог урока. Обобщение проделанной работы. Оценка деятельности учащихся.
6. Домашнее задание. Сообщение домашнего задания и комментарии к нему.

Организационный момент

Учитель сообщает тему урока и цели урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим знакомство свойством средней линии треугольника. Разберем некоторые задачи, решаемые с помощью этого свойства.

Актуализация знаний

Разбор задачи №1 из домашнего задания.

Задача №1.

Доказательство:

1. Δ АОС - равнобедренный, значит АЕ=ЕО = ОТ=ТС. Значит ЕТ - средняя линия Δ АОС по определению. Значит ЕТ||АС и ЕТ=0,5АС.
2. Рассмотрим Δ АВС. РК - средняя линия Δ АВС по определению. Значит РК||АС и РК=0,5АС.
3. Из п.1 и п.2 следует, что 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.

Наводящие вопросы

Учитель: Что можно сказать об отрезках ЕТ и РК?

Учитель: Каким свойством обладает средняя линия треугольника?

Новый материал

Учитель: Ребята, начертите произвольный четырехугольник (один ученик приглашается для работы у доски). Отметьте середины сторон и последовательно их соедините. Как вы думаете какая геометрическая фигура получилась?

Учащиеся выдвигают гипотезы: 1) четырехугольник; 2) параллелограмм.

Учитель: Ребята, давайте докажем следующее утверждение.

Утверждение. Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство проходит в виде беседы.

Доказательство:

Учащиеся последовательно соединяют середины сторон четырехугольника.

Учащимся рассмотреть пару противоположных отрезков. Учащиеся отмечают сходство с домашней задачей №1. Предлагают провести диагональ четырехугольника так, чтобы получилось два треугольника со средними линиями. Проводят доказательство.

рис. 2

1. Δ АОС, АЕ=ЕО и ОТ=ТС. Значит ЕТ - средняя линия Δ АОС по определению. Значит ЕТ||АС и ЕТ=0,5АС.
2. Рассмотрим Δ АВС. РК - средняя линия Δ АВС по определению. Значит РК||АС и РК=0,5АС.
3. Из п.1 и п.2 следует, что 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.
4. Из п.3 и следует, что РКТЕ-параллелограмм.
5. Утверждение доказано.

Учитель: Ребята, данное утверждение называется ТЕОРЕМОЙ ВАРИНЬОНА.

Тема урока: Теорема Вариньона.

Тренировочные упражнения (12 мин.)

Учитель: Ребята, как будет выглядеть доказательство домашней задачи №1, если применить теорему Вариньона? (Обговорить устно).

Учащиеся: РКТЕ - параллелограмм по теореме Вариньона. Значит, по свойству параллелограмма 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.

Учащиеся отмечают, насколько быстро можно решить задачу, используя теорему Вариньона.

Учитель: Молодцы. А теперь мы рассмотрим задачи на применение теоремы Вариньона. Учащиеся работают в парах. Предлагают свои решения (документ камера).

Правильное решение оформляется на доске.

Задача № 1. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Решение.

Доказать, что АС ┴ ВD.

Рис. 3

1. А₁В₁С₁D₁ - параллелограмм по теореме Вариньона.
2. А₁С₁ = В₁D₁. Значит, А₁В₁С₁D₁ - прямоугольник.
3. А₁D₁ - средняя линия Δ АВD. Значит, А₁D₁||ВD.
4. А₁D₁ ┴ В₁А₁. Значит, ВD ┴ В₁А₁.
5. В₁А₁ - средняя линия Δ АВС. Значит, А₁В₁||АС.
6. Из п.4 и п.5 следует, что АС ┴ ВD.

 Ч.т.д.

Задача № 2*. Середины сторон AB и CD, BC и ED выпуклого пятиугольника ABCDE соединены отрезками. Точки H и K соответственно – середины этих отрезков.

Доказать, что отрезок HK параллелен стороне AE и равен одной четверти этой стороны.

Указания. Рассмотреть четырехугольник ABCD и воспользоваться теоремой Вариньона. Рассмотреть среднюю линию треугольника ADE.

Итог урока

Учитель: Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Ученик: Сформулировали и доказали теорему Вариньона. Решали задачи, используя данную теорему.

Учитель просит учащихся сформулировать теорему Вариньона.

Учитель: Молодцы. Урок окончен, до новых встреч.

Приложение.

Домашнее задание

1. Точки A', B' и C' симметричны произвольной точке O относительно середин сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Докажите, что треугольник A'B'C' равен треугольнику ABC.

2. Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника без параллельных сторон и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.