Математическое образование на современном этапе характеризуется вниманием к школьнику, к его возможностям и потребностям, к его самопознанию, саморазвитию, его отношению к природе, окружающим людям, к самому себе.
Одной из важнейших целей школьного математического образования является формирование у школьников умения строить математические модели простейших реальных процессов, изучать эти процессы по их математическим моделям, умение видеть общее в процессах, описываемых одной и той же математической моделью. При этом важны как алгоритмическая, так и эвристическая составляющие в деятельности учащихся, раскрытие их творческого потенциала.
Модель в самом широком смысле — это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т.п. При этом следует помнить, что модель всегда является отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучен знания на исходный объект.
Моделирование — это процесс построения моделей, а также изучения на их основе соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс следования того или иного объекта.
В программе по математике важное место отводится развитию у учащихся правильных представлений о роли математического моделирования в научном познании и в практике. Следовательно, понятие модели нужно рассмотреть не позднее II ступени средней школы. Для достижения этой цели нами разработан видеоурок «Математическое моделирование». Изложим кратко его содержание.
Прежде всего учитель, который ведёт данный видеоурок, напоминает, что с термином «модель» учащиеся часто встречаются в быту, на уроках физики, химии, географии. Основное свойство каждой из моделей заключается в том, что она отражает самые существенные свойства своего оригинала. Математическая модель — это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Учитель подчеркивает, что школьники часто встречаются с математическим моделированием, решая сюжетные задачи с помощью уравнений; приводит примеры задач и их математические модели.
Далее рассматриваются практические задачи.
Задача 1. Рассчитать необходимое количество касс в супермаркете, чтобы не создавалось очереди.
Продуктивность деятельности учащихся при решении задачи обуславливается его умением выбора нужных операций, приводящих к получению желаемого результата. Выбор операций обуславливается структурой задачи, а также сформированностью приемов умственной учебной деятельности учащихся. Из этого вытекает необходимость расчленения хода решения задачи на отдельные этапы, каждый из которых является определенной законченной частью решения задачи, дающей возможность осуществить операции следующего этапа.
Учитель разъясняет, что первый этап математического моделирования — этап формализации — заключается в переводе условия задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные, посредством математических соотношений описываются связи между ними.
Для решения задачи 1 нужно ввести следующие характеристики:
- k — необходимое количество касс;
- b — время обслуживания одного покупателя за кассой;
- Т — время работы магазина;
- N — количество покупателей, побывавших в супермаркете за день.
В течение рабочего дня через одну кассу может пройти Т/b покупателей. Значит, число касс надо взять таким, чтобы (T/b) ∙ k = N. Полученное соотношение — математическая модель рассматриваемой задачи.
Следующий этап моделирования — внутримодельное решение. На этом этапе найдем из данного равенства искомое количество касс: k = (N/T) ∙ b.
Третий этап математического моделирования — интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача. Чтобы в магазине не создавались очереди, число касс должно быть равным или большим полученного значения. Число k обычно выбирают таким, чтобы оно было ближайшим по величине целым, удовлетворяющим неравенству k ≥ (N/Т) ∙ b.
Далее учитель обращает внимание учащихся на упрощающие допущения, сделанные при построении модели: в качестве b взято среднее время прохождения одного человека через кассу; но за кассовыми аппаратами сидят люди, работающие с разной скоростью, кроме того, ежедневно в супермаркете бывает разное количество покупателей N. Различна и интенсивность потока покупателей в разное время дня, т.е. число людей, проходящих через кассу за единицу времени. Для более точных, достоверных расчетов в полученной формуле надо вместо среднего значения N/Т взять максимальное значение этой величины a=max(N/T).
Учитель подчеркивает, что любая математическая модель основана на упрощении, она не совпадает с конкретной реальной ситуацией, а является лишь ее приближенным описанием. Отсюда очевидна и некоторая погрешность результатов. Однако именно благодаря замене реального процесса соответствующей ему математической моделью появляется возможность воспользоваться математическими методами при его изучении.
Учащимся разъясняется, что ценность математического моделирования заключается еще и в том, что одна и та же модель может описывать разные ситуации, разные процессы реальной человеческой практики. Исследовав одну модель, результаты можно применить в другой ситуации. Так, результат, полученный в задаче 1, можно использовать и в следующей задаче.
Задача 2. Рассчитать число взлетно-посадочных полос, используемых в Санкт-Петербургском аэропорту «Пулково».
Обозначим через а число самолетов, взлетевших с аэродрома или приземлившихся на нем за час, через b — время, затраченное на выпуск или прием одного самолета. Изучая летнее расписание движения самолетов из аэропорта «Пулково», можно определить, что наибольшее количество самолетов, осуществляющих взлет и посадку в течение часа, равно 29. Известно, что по нормам, принятым в ряде авиакомпаний, самолет может занимать полосу от 30 с до 2 мин. т.е. а=29 самолетов/ч, b = (1/зо) ч, причем значения а и b максимальны. Число полос обозначим через k. Очевидно, что k=ab, £ = 29/30, k ≈ l. Итак, для безопасной эксплуатации аэропорта достаточно одной взлетно-посадочной полосы (а их, как известно, в аэропорту Пулково две).
Той же самой моделью можно описать и другие ситуации: расчет числа автоматов в метро для пропуска пассажиров, причалов в морском порту и т.п. Но использование этой модели в системах массового обслуживания приводит к правильным результатам лишь в случае, когда объекты (покупатели, самолеты, пассажиры и т.п.) следуют через регулярные промежутки времени и на их обслуживание затрачивается во всех случаях одно и то же время.
Таким образом, видеоурок познакомил учащихся с понятием математической модели и математического моделирования, показал случаи использования моделирования на практике. При этом авторы урока не ставили цель сообщить учащимся формальные определения названных понятий. Мы подошли к вопросу методически, на наш взгляд, верно, ограничившись содержательным разъяснением существа понятий и иллюстрирующими примерами.
В видеоуроке не были забыты и примеры научных открытий, сделанных на основе исследования математических моделей. В частности, учащиеся узнали об открытии планет Нептун и Плутон в теоретически предсказанном месте.
Итак, содержание видеоурока мы считаем весьма удачным. Но скажем еще несколько слов о том, как его воспринимали учащиеся. Мы наблюдали за тем, как шел видеоурок в VI классе, а потом анкетировали учащихся-зрителей. Наблюдения и анкеты показали, что материал видеоурока интересен и доступен учащимся. После видеоурока школьники стали давать заметно более содержательные описания процесса применения математики к решению задач, возникающих на практике. Ребята не связывали понятие «модель» лишь с материальными объектами, могли назвать существенные свойства математической модели.