Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. Тема: «Секущие и касательные»

Цель: повышение качества ЕГЭ по математике.

Примерное планирование учебного времени системы уроков на повторение по теме «Двухэтапные планиметрические задачи на доказательство и вычисление»

Тема: «Секущие и касательные»

1. Повторение основных терминов

 Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной:

• Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
• Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд:

• Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
• Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
• Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности:

• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

• Теорема (о секущей и касательной). Если к окружности из одной точки A проведены касательная AB и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, то справедливо равенство AB2 = AC*AD.
• Теорема (о секущих). Если к окружности из одной точки A проведены две секущие, пересекающие соответственно окружность в точках B и C, D и E, то справедливо равенство AB*AC = AD*AE.

Задачи

В качестве подготовительных задач можно предложить следующие (Лекция №8 « Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников», А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев)

Задачи на доказательство

1. Докажите, что длина отрезка внешней касательной к двум окружностям, заключенного между общими внутренними касательными, равна длине общей внутренней касательной.

2. Расстояние между центрами непересекающихся окружносте равно a. Докажите, что четыре точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности радиуса а/2 .

3. К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке P, проведена общая внешняя касательная BC. Докажите, что угол BPC прямой.

4. Дана окружность и точка P вне ее; PB и PC — касательные к окружности. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник PBC, лежит на данной окружности.

5. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и A1, а другую — в точках В и B1. Докажите, что AA1 C//BB1.

Задачи на вычисление

6. К двум окружностям радиусов 6 и 3 проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания, если расстояние между центрами окружностей равно 15:

а) для внутренней касательной;

б) для внешней касательной.

7. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся луча BC.

8. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой.
Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.

9. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно a, причем R > r и a > r + R.
Найдите расстояние между точками касания.

10. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

3. Рассмотрим задачи ЕГЭ 2015

Прямая, параллельная стороне МК треугольника МКН, касается его вписанной окружности и пересекает стороны НМ и НК в точках А и В.

а) Докажите, что длина стороны МК равна полуразности периметров треугольников МКН и АВН.

б) Найдите сторону МК, если периметр треугольника МКН равен 10, а длина отрезка АВ равна 1,2.

Ответ:

а) воспользуйтесь равенством отрезков касательных, проведённых из точки к окружности;

б) 3 или 2. Указание: МК = х находится из уравнения .

ЕГЭ 2016

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках соответственно Р, М и К. Известно, что ВК – медиана треугольника АВС.

а) Докажите, что прямые РМ и АС параллельны.

б) Найдите длину отрезка РМ , если АР = 1 , а угол СВК равен 15^o.

Проверочная работа

 Прямая, параллельная стороне МК треугольника МКН, касается его вписанной окружности и пересекает стороны НМ и НК в точках А и В.

а) Докажите, что длина стороны МК равна полуразности периметров треугольников МКН и АВН.

б) Найдите сторону МК, если периметр треугольника МКН равен 15, а длина отрезка АВ равна 1,8.
 
Ответ:

а) воспользуйтесь равенством отрезков касательных, проведённых из точки к окружности;

б) 4,5 или 3 . Указание: МК = х находится из уравнения .

2. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ: 3,2.