Решение неравенств второй степени с одной переменной. Подготовка к ОГЭ. 9-й класс

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

• Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме;
• Закрепить навыки и умения решения неравенств с использованием графика квадратичной функции и методом интервалов;
• Развить логическое мышление, навыки работы с графиками;
• Сформировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие учителя и учащихся. Ознакомление с целями и задачами урока.

II. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

1. Фронтальная беседа с классом

- Какая функция называется квадратичной?

- Как называется график квадратичной функции?

- Как определить направление ветвей параболы?

- Как разложить квадратный трехчлен на множители?

- Как найти нули функции?

- От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

- Приведите примеры неравенств второй степени.

- Что является решением неравенства?

- Что значит  решить неравенство?

2. Устная работа

а) Решите уравнения:

1. x² - 64 = 0
2. x² + 9 = 0
3. 3 x² = 300
4. (x – 7)(x + 1,3) = 0
5. x² + x – 12 = 0
6. x² - 3x = 0

б) Найдите число корней уравнения ax² + bx + c = 0

в) Найдите промежутки, в которых функция y > 0

III. Решение неравенств

Прежде чем перейти к следующему этапу урока, давайте вспомним алгоритм решения неравенств методом интервалов и алгоритм решения неравенств второй степени через график квадратичной функции.

№1.

– x² – x + 12  0

1) Рассмотрим функцию y = – x² – x + 12

2) График функции – парабола, ветви направлены вниз (а = –1)

3) Найдем нули функции:

– x² – x + 12 = 0

x₁ = -4,  x₂ = 3

4) Схематически построим  график функции и выделим ту часть параболы, для которой y 0.

5) Запишем ответ в виде промежутка

Ответ: [–4; 3]

№2.

  < 0

Дробь отрицательна тогда, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

-14 < 0

Следовательно, выражение  x² + 2x –15 > 0

1) Рассмотрим функцию y = x² + 2x – 15

2) График функции – парабола, ветви направлены вверх (а = 1)

3) Нули функции:

x² + 2x – 15 = 0

x₁ = –5, x₂ = 3

4) Схематически построим график функции и выделим ту часть параболы, для которой y > 0.

Ответ: (–; –5) U (3; +)

№3.

(x + 7)(4 – x) 0

1) Рассмотрим функцию y = (x + 7)(4 – x)

2) Найдем нули функции:

(x + 7)(4 – x) =0

x₁ = -7;  x₂ = 4

3)  Отметим на оси абсцисс нули функции, определим знаки выражения на каждом промежутке, выделим промежутки, в которых функция y 0

Ответ: (–; -7] U [4; +)

№4.  

x² > 121

x² – 121 > 0

(x – 11)(x +11) > 0

1) Рассмотрим функцию y = (x – 11)(x +11)

2 Нули функции:  x₁ = –11, x =₂11

3) Отметим на оси абсцисс нули функции, определим знаки выражения на каждом промежутке, выделим промежутки, в которых функция y > 0

Ответ: (–; –1) U (11;+)

№5.

(x – 7)² < (x – 7)

Преобразуем данное неравенство

(x – 7)² -(x – 7) < 0

Разложим левую часть неравенства на множители
(x – 7)(x – 7 –) < 0
1) Рассмотрим функцию y = (x – 7)(x – 7 –)

2) Нули функции:  x₁ = 7,  x₂ = 7 +

3) Отметим на оси абсцисс нули функции, определим знаки выражения на каждом промежутке, выделим промежутки, в которых функция y < 0

Ответ: (7; 7+)

№6.

0
Разложим квадратный трехчлен x² – x – 6 на множители:

 x² – x – 6 = (x – 3)(x + 2)

0

1) Рассмотрим функцию y =

2) Нули функции: x = 1, x = 2, x = –2, x = 3

ОДЗ:  x ≠1, x≠0, x≠–1

3) Отметим на оси абсцисс нули функции, определим знаки выражения на каждом промежутке, выделим промежутки, в которых функция y > 0

Ответ: (-1;0) U (0;1) U (1;2] U [3;+)

IV. Самостоятельная работа с самопроверкой

Решите неравенства:

V. Итог урока

Сегодня мы вспомнили некоторые способы решения неравенств второй степени. На следующем уроке мы будем решать системы неравенств с одной переменной.

VI. Домашнее задание

Сборник ОГЭ № 8, №21 (варианты 9, 13, 17, 18, 22, 25, 28).