Решение задач на нахождение угла между плоскостями. 10-й класс

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: познакомить учащихся с некоторыми методами решения задач на нахождение угла между плоскостями.

Ход урока

1. Организационный момент

Проверка домашнего задания.

2. Актуализация знаний

- Сегодня на уроке мы рассмотрим некоторые методы решения задач на нахождение угла между плоскостями.

а) Устные упражнения.

- Давайте повторим определения и формулировки теорем, которые нам понадобятся для нахождения углов между двумя пересекающимися плоскостями:

1. Прямоугольный параллелепипед.

2. Призма;

3. Прямая призма;

4. Правильная призма.

5. Угол между плоскостями двумя плоскостями.

6. Сформулируете теорему о трех перпендикулярах.

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями:

1. (ABC) и (CDD₁);
2. (ABC) и (CDA₁);
3. (ABC) и (BDD₁);
4. (ACC₁) и (BDD₁).

3. Изучение нового материала.

Решение задачи на нахождение угла между двумя плоскостями с оформлением решения на доске.

Задача.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 6 см, а боковые ребра равны 10 см. На ребре AA₁ отмечена точка K так, что AK:KA₁=3:2. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (BKD₁).

При нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала необходимо выполнить дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу между заданными плоскостями, и после этого связывать этот угол с исходными данными.

Построим сечение данной призмы плоскостью, проходящей через точки B, K, D₁.

1. Прямая D₁,K пересекает прямую AD в точке N.
2. Прямая NB пересекает прямую CD в точке L.
3. Прямая D₁L пересекает прямую CC₁ в точке M.
4. KD₁MB – искомое сечение.

Решение.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями (ABC) и (BKD₁).

1. Прямая NB – общая прямая плоскостей (ABC) и (BKD₁).

2. Построим высоту DH в ∆NDB.

3. DD₁⊥(ABC) и DH⊥NB, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах D₁H⊥NB.

4. Следовательно, ∠(ABC; BKD1) = ∠DHD₁; ∠DHD1 – линейный угол двугранного угла KNBD.

5. AK:KA₁=2:3 ⇒ AK=3x и KA₁= 2х.
AK+KA₁=AA₁ ⇒3x+2x=10, x=2,
AK=6 см и KA₁=4 см.

6. ∆NKA подобен ∆ND1D (∠D₁ND – общий угол, ∠KAN=∠D₁DN), следовательно, KA/NA=D₁D/ND ⇒ NA=9 см.

7. Рассмотрим прямоугольный ∆NAB:

2 способ решения данной задачи.

Мы уже построили сечение KD1MB данной призмы плоскостью, проходящей через точки B, K, D₁.

Решение.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями (ABC) и (BKD₁).

1. Прямая NB – общая прямая плоскостей (ABC) и (BKD₁).

2. Построим высоту AG в прямоугольном треугольнике ∆ ANB, ∠NAB=90°.

3. KA⊥(ABC) и AG⊥NB, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах KG⊥NB.

4. Следовательно, ∠(ABC; BKD₁) = ∠KGA.

∠KGA – линейный угол двугранного угла KNBA.

5. AK:KA₁=2:3 ⇒ AK=3x и KA₁=2х.
AK+KA₁=AA₁ ⇒3x+2x=10, x=2,
AK=6 см и KA₁=4 см.

6. ∆NKA подобен ∆ND₁D (∠D₁ND – общий угол, ∠KAN=∠D₁DN), следовательно, KA/NA=D₁D/ND ⇒ NA=9 см.

7. Рассмотрим прямоугольный ∆NAB:

3 способ решения данной задачи

1. Мы уже построили сечение KD₁MB данной призмы плоскостью, проходящей через точки B, K, D₁.

2. KD₁MB – параллелограмм (KD₁‖BM, KB‖D₁M).

3. ∆KD₁A₁ = ∆BCM (∠KA₁D₁ = ∠BCM=90°, ∠A₁D₁K =∠MBC, A₁D₁= BC), следовательно

7. Ортогональной проекцией KBMD₁ на плоскость (ABC) является квадрат ABCD. Значит, имеет место соотношение S_ABCD=S_KBMD1*cos(∠(ABC; BKD₁))

8. S_ABCD=AB²=36 см².

4. Подведение итогов, выставление оценок.

Сегодня на уроке мы рассмотрели три способа решения одной задачи и узнали, как находить углы между двумя пересекающимися плоскостями.

5. Домашнего задания.

Учащимся необходимо решить задачу из ЕГЭ по математике за 2012 год, в которой нужно найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

В правильной четырехугольной призме ABСDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5.

На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА₁ =3:2. Найдите угол между плоскостями (АВС) и (ВЕD₁).