Тема и номер урока в теме: «Определенный интеграл» урок № 5 (из 6, отведенных на изучение данной темы).
Базовый учебник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл./ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.
Задачник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11. / А.Г.Мордкович и др. /М.: Мнемозина, 2013.
Цель урока: дать представление о возможностях применения интеграла в физике.
Формируемые предметные результаты: познакомиться с применением интеграла для решения физических задач.
Формируемые метапредметные результаты:
- личностные универсальные учебные действия: формирование устойчивой мотивации к обучению, познавательного интереса; расширение кругозора.
- регулятивные универсальные учебные действия: уметь выделять математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах в окружающей жизни, самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем, уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, контролировать процесс и результат учебной деятельности
- познавательные универсальные учебные действия: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного, структурировать знания, преобразовывать информацию);
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.
Необходимое техническое оборудование: мультимедийный проектор, презентация или интерактивная доска с заготовками таблиц и заданий.
Структура и ход урока
I. Организационный момент. Приветствие, настрой на урок.
II. Проверка домашнего задания (обсуждение решения заданий, вызвавших затруднения)
III. Формулирование темы и цели урока.
- Какие применения интеграла вам уже известны? (Для введения понятия определенного интеграла мы рассмотрели три задачи, приводящие к этому понятию: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление массы стержня и вычисление перемещения точки за определенный промежуток времени. Таким образом, нам уже знакомы три примера применения интеграла в геометрии и физике. На прошлом занятии познакомились с применением интеграла для вычисления объемов геометрических тел).
- Однако, область применения интеграла этим не ограничивается. И цель урока - познакомиться с широким спектром применения интеграла в физике. Итак, запишите тему урока: «Применение интеграла для описания физических процессов».
IV. Изучение нового материала (подводящий диалог)
- Назовите, пожалуйста, действие, обратное интегрированию. (Дифференцирование, т.е. вычисление производной).
- Изучая некоторые применения производной в физике и технике, мы с вами составили обобщающую таблицу. Давайте вспомним её (рассматривают таблицу, заготовленную на слайде или на доске):
Величины |
Физическая зависимость в простейшем случае |
Вычисление производной |
A – работа, |
A=F×x N=A / t |
F(x)=A’(x) N(t)=A’(t) |
m – масса тонкого стержня, |
m= ρ×x |
r(x)=m’(x) |
q – электрический заряд, |
I=q / t |
I(t)=q’(t) |
S – перемещение, |
v=S / t |
v(t)=S’(t) |
Q – количество теплоты; |
c = Q / t |
c(t)= Q’(t) |
- Во всех этих случаях по заданной F(x) находили f(x) по формуле
f(x)=F̕ ʹ(х)
- А теперь вернемся к интегралу. С каким действием ассоциируется у вас вычисление интеграла? (Вычисление первообразной)
- Верно, а вычисление первообразной – это восстановление функции по заданной производной. Т.е. по заданной f(x) находят F(x) по формуле
.
Следовательно, если переменная сила F (х)– это производная работы А по координате x, то как, по вашему, можно вычислить работу переменной силы по перемещению тела из положения х = а в точку с координатой х = в? (Как определенный интеграл 
.)
- Добавим в нашей таблице ещё один столбец справа, куда будем записывать формулы для вычисления величин с помощью определенного интеграла, и запишем туда эту формулу.
- Как же тогда связать работу и мощность? (Высказываются предположения, записывается формула 
).
- Заполните остальные строки таблицы самостоятельно. (Самостоятельная работа учащихся с последующей самопроверкой. Формулу для вычисления координаты центра масс тонкого стержня учитель сообщает после проверки и учащиеся вписывают её.)
Величины |
Физическая зависимость в простейшем случае |
Вычисление производной |
Вычисление интеграла |
A – работа, |
A=F×x
N=A / t |
F(x)=A’(x)
N(t)=A’(t) |
|
m – масса тонкого стержня, |
m=ρ×x |
r(x)=m’(x) |
|
q – электрический заряд, |
I=q / t |
I(t)=q’(t) |
|
S – перемещение, |
v=S / t |
v(t)=S’(t) |
|
Q – количество теплоты; |
c = Q / t |
c(t)= Q’(t) |
|
- координата центра масс стержня
- Итак, мы с вами получили ещё несколько примеров применения интеграла в физике, и это далеко не всё.
V. Первичное закрепление.
Рассмотрим примеры решения конкретных задач.
Задача 1: Тело движется со скоростью v(t)=t2+1 м/с. Вычислить его перемещение за первую секунду движения. (Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)
Решение: Перемещение материальной точки равно определенному интегралу
Ответ: 1,3 метров.
Задача 2: Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на L = 0,05 м, если известно, что для её растяжения на L1= 0,01 м нужна сила F1 = 1Н? (Более подготовленный учащийся решает на доске с комментированием и обсуждением, остальные учащиеся – в тетрадях.)
Решение: Согласно закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину на длину х, пропорциональна этому растяжению или сжатию х, т.е. F = kх (k - коэффициент пропорциональности, жесткость пружины). Из условия известно, что для растяжения пружины на 0,01 м требуется сила 1Н. Следовательно, k = F1/L1 =100 Н/м и F(x) = 100x. Тогда для растяжения пружины на 0,05 м эта сила должна совершить работу
Задача 3: Определить массу и координату центра масс стержня длины L=10 м, если плотность стержня меняется по закону ρ=5+0,2х кг/м, где х – расстояние от одного из концов стержня.
(Более подготовленный учащийся решает на доске с комментированием и обсуждением, остальные учащиеся – в тетрадях.)
Решение. Будем считать, что начало координатной оси ОХ совмещено с левым концом стержня. Тогда 
. Найдем сперва массу стержня:
Теперь определим координату центра масс:
считая от левого конца стержня.
Задача 4: Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [3;4], если сила тока задается формулой I(t) = 3t2+2t.
(Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)
Решение:
Ответ: 30 Кл.
Задача 5: Найти количество теплоты, выделенное за время 
, если теплоемкость c(t) = t2.
(Решают самостоятельно, предварительно обсудив ход решения. Один из учащихся решает на отвороте доски для последующей проверки решения.)
Решение: Согласно формуле, имеем:
Ответ: 2,33 Дж.
VI. Итоги урока.
- С каким новым применением интеграла вы познакомились сегодня?
- Какие задачи мы рассмотрели?
VII. Домашнее задание: §21, №№ 21.40(а, г), 21.42(б).
Дополнительно: Математическая зависимость между магнитным потоком F, пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции ei(t) в этом контуре задается соотношением 
.
Задача: При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая изменяется со временем по закону 
. Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.
Использованные материалы
- Поурочные разработки по алгебре и началам анализа к УМК А.Н.Колмогорова и др. 11 класс /А.Н.Рурукин,Е.В.Бровкова, Г.В.Лупенко и др. /М: «ВАКО», 2009.
- Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл. Часть 1 Учебник/ А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.
- Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл. Часть 2 Задачник/ А.Г. Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.