Каждый человек в своей жизни оказывается в ситуации, когда нужно отыскать наилучший способ решения задачи. Поэтому в математике большую роль играют экстремальные задачи, т.е. задачи на поиск наилучшего с точки зрения выгоды, экономичности, оптимальности и эффективности решения.
В рамках этого урока обучающиеся обсудят и решат экстремальные задачи из разных областей науки и техники.
Возраст обучающихся: 15-18 лет.
Время проведения урока: 45 минут.
ЦЕЛИ УРОКА:
- Исследовать практическое применение производной при решении жизненно важных задач в науке, технике, современном производстве.
- Развивать познавательный интерес у обучающихся через раскрытие практической необходимости, теоретический значимости темы и использование возможностей компьютерных технологий.
ОБОРУДОВАНИЕ: компьютерный класс, раздаточный материал, презентации исследовательских работ.
ПЛАН УРОКА
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП.
Преподаватель: При изучении темы «Производная функции» актуален вопрос: «В каких сферах деятельности в повседневной жизни пригодится производная?». Оказывается, что с задачами, в которых нужно находить максимальное или минимальное значение некоторой функции приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Инженеры-технологи стараются организовать производство так, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля, чтобы его масса была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи предприятия или завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д. Каждая организация сталкивается с необходимостью сделать определенную работу, затратив как можно меньше ресурсов. Это называется задачами на оптимизацию или экстремальными задачами.
Внимание на экран.
На экране портрет Исаака Ньютона.
Учитель: Ребята, представьте: Англия, 1666 год. Исаак Ньютон, ему лишь 23 года, и именно он делает прорыв в математике – открывает производную. И все. Жизнь Европы с этого момента кардинально меняется! Развитие научно-технического прогресса, войны, изготовление оружия, эпидемии и открытие целительного пенициллина, запуск космических ракет и создание ядерных реакторов – основанием всему послужило дифференциальное исчисление.
Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.
Понятие производной - фундаментальное понятие математического анализа, с помощью которого исследуют процессы и явления в естественных, социальных и экономических науках. Изучение различных процессов (механического движения, химических реакций, расширения жидкости при нагревании, значение электрического тока) приводят к необходимости вычисления скорости изменения различных величин, т.е. к понятию производной.
Итак, наша ближайшая цель - закрепить практические навыки в решении тематических и практических задач по теме «Производная».
Также мы увидим насколько успешно вы справились с задачей самостоятельного отбора и анализа информации.
II. ЭТАП АКТУАЛИЗАЦИИ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ
Электронное домашнее задание. Его не обязательно выполнять дома (не у всех есть домашние компьютеры) – можно использовать мощности школьного компьютерного класса.
На домашнее задание ребята получают следующую задачу: «Найти экстремальные задачи, применимые к различным областям науки и техники».
Для обучающихся с особыми потребностями была поставлена конкретная задача:
Подготовить дома формулы из физики и экономики, где используется производная.
- υ(t) = х /(t) – скорость
- a (t) = υ / (t) - ускорение
- J(t) = q / (t) - сила тока
- C(t) = Q / (t) - теплоемкость
- d(l) = m / (l) - линейная плотность
- K (t) = l / (t) - коэффициент линейного расширения
- ω (t) = φ / (t) - угловая скорость
- а (t) = ω / (t) - угловое ускорение
- N(t) = A / (t) - мощность
- П (t) = υ / (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции
- J(x) = y / (x) - предельные издержки производства, где y – издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.
Обучающиеся представляют презентации с подобранными экстремальными задачами по мелиорации, строительству, космосу, экономике, химии, физике, биологии, дервообработке, транспорту.
Вот некоторые из них:
- Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36 км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой
s = 20t – t²
- Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию
U(t) = 0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U - миллионы.
Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы.
- При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
- По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой). Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля. При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?
Учителем отмечается не только объем и правильность, но также иглубина, осознанность полученных знаний;
Идёт обсуждение ответов, направленное на указание положительных и отрицательных сторон в знаниях;
Активная деятельность всего класса в ходе проверки знаний отдельных учащихся работает на сплочение коллектива.
III. ЭТАП ЗАКРЕПЛЕНИЯ НОВЫХ ЗНАНИЙ
Условия достижения положительных результатов:
- Использование различных способов закрепления знаний, вопросов, требующих мыслительной активности, творческого осмысления материала.
- Умение учащихся узнавать и соотносить факты с понятиями, правилами и идеями.
Преподаватель предлагает обучающимся решить задачу и придумать ей практическое применение:
Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют длину 20 сантиметров. Найти большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
IV. ЭТАП ИНФОРМАЦИИ УЧАЩИХСЯ О ДОМАШНЕМ ЗАДАНИИ, ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
Составить и решить три задачи по теме: практическое применение производной функции.
Итоги: Сегодня мы выяснили, где можно использовать знания, связанные с производной в науке и технике. Не зря Н.И.Лобачевский сказал: «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…».
На этом наше занятие завершено. Всего доброго!