Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы. 10-й класс

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цели:

•  Образовательные:
  • повторить определение возрастающей, убывающей функций, точек минимума и максимума, наименьшего и наибольшего значений функции;
  • формировать представления о связи свойств функции с её производной;
  • ознакомить учащихся со способом исследования функции с помощью производной.
• Развивающие:
  • развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности;
  • развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру у учащихся;
  • способствовать развитию интереса к исследованиям и поиску закономерностей, умению осуществлять наблюдение, формулировать выводы.
• Воспитательные:
  • воспитывать у учащихся волю и настойчивость для достижения конечного результата;
  • воспитывать у учащихся умение выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться со сложностью.

Планируемый результат урока:

•  Знать: признак возрастания функции на интервале, признак убывания функции на интервале, признаки максимума и минимума функции;
• Уметь: по графику производной и схематическому изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции.

Оборудование кабинета: ПК, проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учеников. Проверка отсутствующих учеников.

2. Актуализация опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Цели урока:

• определить есть ли зависимость между монотонностью и производной функции;
• определить можно ли с помощью производной находить точки экстремума.

Основная задача урока: составить алгоритм, с помощью которого можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы с помощью её производной.

Мы вспомнили некоторые свойства функций и что у функции есть производная. А вот интересно, есть ли какая-нибудь связь между производной функции и ее свойствами (монотонностью и точками экстремума)?

Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы.

Задача 5:
Исследовать на монотонность функцию у = 2х³+3х² – 1

Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких – убывает. Согласно теоремам, которые мы сформулировали, это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции:

f '(х) = 6х²+6х = 6х (х+1)

6х (х+1) = 0

Получим точки -1 и 0.

Выясним какие знаки имеет производная на каждом промежутке.

ВНИМАНИЕ!!!

Только не путать с наибольшим (или наименьшим) значением функции во всей рассматриваемой области определения, эти значения в окрестности некоторой точки Х, являются наибольшими (или наименьшими).

Точки минимума и максимума функции называют – точки экстремума (от латинского слова extremum – «крайний»)

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х=х₀s, то этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х₀.Тогда:

1) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х₀, выполняется неравенство f'(x)<0, при х>х₀ – неравенство f'(x)>0, то х=х₀ – точка минимума функции у=f(x);

2) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х₀ выполняется неравенство f'(x) >0, а при х>х₀ – неравенство f'(x)<0, то х=х₀ – точка максимума функции у=f(x);

3) Если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х₀ знаки производной одинаковы, то в точке х₀ экстремума нет.

Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы:

1. Найти производную функции y = f(x).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Сделать выводы о монотонности функции и, о её точках экстремума.

Задача: Найти точку минимума функции у = 3х⁴ – 16х³ + 24х² – 11

Решение: найдем производную данной функции: у '= 12х³ – 48х² + 48х

Найдем стационарные точки:

12х³ – 48х² + 48х=0

12х(х² – 4х + 4)=0

12х(х – 2)²=0

Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=2

Значит, х=0 – точка минимума.

Ответ: 0.

Самостоятельная работа.

Что нового мы узнали сегодня на уроке?

Домашнее задание: параграф 35, знать теоремы и определения, № Задание 7 (№ 317540), №854-858 (а, б).