Решение текстовых задач является для ученика одним из интересных, но сложных видов деятельности на уроках математики. Это предполагает умение выделять главное в тексте задачи, определять связь между её основными элементами, сопоставлять данные и искомые величины, моделировать недостающие элементы задачи, формулировать неизвестные.
Формирование этих навыков по своей сути и является целью уроков математики в целом. А также играет важную роль выполнение упражнений в любом разделе алгебры и геометрии, так как приобретенные умения помогают при решении текстовых задач. Таким образом, овладение способностью решать задачи – есть результат работы ученика по всем разделам математики. Вместе с тем важны знания, полученные им на уроках физики, химии и других предметах.
«Умение решать математические задачи предполагает, конечно, известное знакомство с нематематическим содержанием задачи, однако ещё в большей степени оно требует определенных умственных навыков, определенного склада ума, который мы в повседневной жизни называем здравым смыслом. Учитель, который хочет быть одинаково полезным всем своим учащимся, как тем, которые будут использовать математику, так и тем, которые ею пользоваться не будут, должен обучать процессу решения задач так, как будто он содержит одну треть математики и две трети обыкновенного здравого смысла. Возможно, что привить здравый смысл и полезные умственные навыки не так уж просто, но если учителю математики удалось этого добиться, то тем самым он оказал реальную услугу своим учащимся, чем бы они в будущем ни занимались. Именно эта услуга и есть то самое главное, что он может сделать для 70% учеников, которые в своей дальнейшей жизни не будут нуждаться в прикладной математике», - писал Джордж Пойа [8,9,10].
Бесспорно принимая мнение автора известных книг: «Как решать задачу», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Математическое доказательство», можно лишь добавить, что, обучив детей технике формальных алгебраических преобразований, мы не сможем пробудить в них желания изучать математику.
Решая интересные, конкретные задачи, ребенок осознает необходимость изучения математической техники. Возможно, при этом и возникнет интерес к математике, как к науке, и будет выявлен из общей массы тот будущий специалист – математик, мышление которого обладает логикой и высоким уровнем абстракции. А среди всех учеников таких 1%. При этом будет достигнута самая важная цель школьного учителя – пробудить интерес и способности детей к предмету.
Именно поэтому важно не жалеть времени на разбор и решение трудной задачи, обладающей глубоким содержанием и математическим изяществом, полностью проанализировать все способы её решения и выбрать лучший, сформулировать и разобрать решение новых задач, вытекающих из неё.
Такие задачи, как правило, не входят в текст учебника, призванного дать как можно больше упражнений для изученного шаблонного решения, но они встречаются на государственных экзаменах. Разбирать их только на кружках и элективных курсах – не доставить удовольствия «прочувствовать» её решение детям, ещё не увлеченным всерьез предметом, но вполне способных понять подходы к решению задачи.
По этой причине данная разработка не содержит поурочного планирования материала, а лишь его содержательную часть. При наличии резервных часов возможно отвести несколько больше уроков на эту тему. Можно по отдельности включить в уроки перечисленные задачи в их логической последовательности по мере усложнения по темам: «Квадратные уравнения», «Дробно-рациональные уравнения» и другие. Некоторые задачи послужили материалом для уроков в 10 и 11 классах в качестве повторения и подготовки к экзаменам.
Пропедевтика, решение текстовых задач в младшей и средней школе (основные навыки, опорные конспекты)
В курсе математики 5–6-х классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении неизвестного посредством составления числового выражения и подсчета его значения или решения задачи по действиям. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.
При обучении школьников младшего и среднего звена формируются умения и навыки, необходимые для успешного решения задач в дальнейшем:
- внимательно читать текст задачи
- проводить первичный анализ текста - выделять условие и вопрос задачи
- оформлять краткую запись задачи, а также выполнять чертежи и рисунки к ней.
В дальнейшем необходимо овладение навыками математического оформления зависимостей и изменений величин, содержащихся в задаче. Пятикласснику нужно безошибочно уметь записывать в виде буквенного выражения зависимости типа: «больше в 5 раз», «больше на 5 единиц» и т.д. Впоследствии вырабатываются навыки прочтения смысла буквенного выражения в контексте данной задачи и составления задач по данному выражению.
Здесь возможны следующие упражнения (в сильном классе они проводятся устно):
Составьте выражение по условию задачи:
а) В одном классе xчеловек, а в другом на 5 человек больше. Сколько человек во втором классе?
б) В одной корзине a яблок, а в другой в три раза больше. Сколько яблок во второй корзине?
в) Путь от деревни до города мотоциклист проезжает в два раза быстрее велосипедиста. Велосипедист затратил xчасов. Сколько времени потребовалось мотоциклисту?
г) Петя выше Вани на 5 см и ниже Коли на 2 см. Чему равны рост Вани и Коли?
д) В ящик сначала добавили 12 карандашей, а затем вынули 7 карандашей. Сколько карандашей стало в корзине, если первоначально в ней было x карандашей?
Составьте задачу, решение которой приводит к уравнению: x + 4x = 65
Составьте по условию задачи уравнение, обозначив буквой а) первое число, б) второе число:
1) Одно число на 6 больше другого, а их сумма равна 18.
2) Одно число на 4 меньше другого, а их сумма равна 12.
3) Одно число в 5 раз меньше другого, а их сумма равна 42.
4) Одно число в 3 раза больше другого, а их сумма равна 28. Какое число, первое или второе, удобнее обозначить буквой? Почему?
Составьте уравнение по условию задачи и решите его
5) На двух полках стоят 93 книги, причем на одной в два раза меньше книг, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?
6) Брат нашел в три раза больше грибов, чем сестра. Всего они нашли 24 гриба. Сколько нашел каждый?
7) В одной пачке на 11 тетрадей больше, чем во второй, а всего в двух пачках 73 тетради. Сколько тетрадей в каждой пачке?
8) Одна автомашина за рейс перевезла на полторы тонны груза меньше, чем другая. Обе машины за рейс перевезли 7 т груза. Сколько тонн груза перевезла каждая машина?
9) Отрезок длиной 12 см разделили на две части так, что один из получившихся отрезков больше другого а) в 2 раза, б) в 3 раза. Найдите длины получившихся отрезков.
10) Одно число в 4 раза больше другого. Найдите эти числа, если а) их сумма равна 45, б) их разность равна 45.
После выполнения такого рода упражнений полезно указать, что выбор величины, обозначаемой за x, не влияет на правильность ответа, но решения получаются разными. Необходимо подвести учеников к мысли, что меньшую величину обозначать за x удобнее, и действия сложения и умножения использовать при составлении уравнения рациональнее, чем вычитание и деление. Можно показать на примерах, что уравнения с использованием деления решаются намного сложнее. Кроме того, привычка обозначать за x меньшую величину сослужит добрую службу при составлении уравнений в 8 классе. Тогда в некоторых случаях удастся избежать возникновения дробно-рациональных уравнений, и, кроме того, привить мысль, что посторонние корни, которые не подходят по смыслу задачи, при обозначении за x меньшей величины получаются отрицательными. Они более заметны для ученика, тогда как при другом обозначении неизвестного несоответствие условию задачи не столь очевидно и часто упускается школьником.
После того, как составлены буквенные выражения основных элементов задачи на многочисленных примерах формируется и закрепляется умение выделять и сравнивать выражения больших и меньших неизвестных, и затем записывать их сравнения в виде уравнения. (Необходимо заметить, что решать задачу уравнением следует, прежде всего, при наличии в задаче нескольких неизвестных, в противном случае она решается арифметическими методами, и это более предпочтительно)
Таким образом, вырабатывается алгоритм составления уравнения по тексту задачи:
- Сколько неизвестных в задаче? Если несколько, то решаем её уравнением и за x принимаем меньшее из них или то, с которым связано больше условий.
- Как выразить через x другие неизвестные?
- Как связаны неизвестные величины?
- Как они изменяются в ходе задачи?
- Все ли данные задачи использованы?
Полезно дать опорный конспект, который может быть увеличен до размеров плаката в кабинете или вложен в виде карточки в учебник ученика. См. Приложение 1.
При работе с опорным конспектом необходимо задавать вопросы:
- Как сравнить два числа? Как найти разницу между числами? (Нужно из большего вычесть меньшее)
- Как уравнять две величины? (Нужно меньшую увеличить на разницу и приравнять к большей или большую уменьшить на разницу и приравнять к меньшей или, лучше всего, из большей вычесть меньшую и получить разницу)
Эти закономерности, будучи прочно усвоенными в 5-7 классе, помогут ученику успешно составлять более сложные уравнения в старших классах.
Таким образом, при пропедевтике алгебраических методов решения текстовых задач в средней школе усваиваются основные закономерности соотношений величин, таких как больше и меньше, целое и часть, прямая и обратная пропорциональность.
Надо заметить, что в средней школе заканчивается изучение арифметических методов решения задач, а в старшей школе такие задачи практически не решаются. Поэтому следует уделить им особое внимание в 5–7 классах и постараться не потерять эти навыки в старших классах, так как именно арифметические решения, если они возможны, будут самыми изящными, виртуозными в задачах для старшеклассников.
Этапы решения задачи
В каждой текстовой задаче отражается одна или несколько ситуаций, связанных между собой, формализуемых некоторым основным соотношением. Типичным примером такого соотношения является формула: a∙ b = c, имеющая большое число разнообразных проявлений (связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения, связь цены, стоимости и количества изделий и т.д.). Действия по распознаванию таких ситуаций, их сопоставлению и преобразованию выражающих их формул – основная часть работы по составлению математических моделей текстовых задач.
Задача 1. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через два часа они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?
В данной задаче описывается равномерное движение велосипедистов. Значит задача (явно или неявно) содержит три физические величины: скорость движения V, время движения t и пройденный путь S. Существенным для задачи является то, что зависимость между этими величинами выражается формулой V∙ t = S
Если отвлечься от конкретного содержания задачи, то, обозначив первую величину буквой a, вторую буквой b и третью буквой c, получим зависимость между ними, выражаемую равенством a∙ b = c. Это есть основное соотношение, реализованное в задаче, где a – первый, b– второй и c – третий его компоненты.
В предложенной задаче описываются две ситуации: равномерное движение первого велосипедиста и равномерное движение второго велосипедиста до момента встречи. При этом каждая из двух ситуаций формализуется основным соотношениемa∙ b = c, определенным на предметной области задачи. Ситуация, формализуемая в задаче основным отношением, является элементом структуры задачи, при этом она минимальный компонент, обладающий свойствами целого, т.е. задачи.
Приведенные соображения позволяют сделать вывод о том, что при поиске решения данной задачи нужно учесть обе ситуации, которые в ней описаны.Опыт преподавания математики в школе показывает, что эффективной, наглядной моделью поиска решения текстовых задач алгебраическим методом является табличная форма записи тех отношений, которые включают данные, искомые условия и требования задачи.
При том целью ученика становится выделение того самого минимального компонента, числа его повторений и величины, составляющей целое.
Существует мнение (И.Ф.Шарыгин), что при решении задач на любую тему нужно отвлечься от содержания и оперировать исключительно терминами «часть» и «целое». Существует методика обучения такому решению задач в начальной школе (Виленкин и Петерсон). Раздел, к которому отнесена задача, не имеет значения при её решении. Это объясняется тем, что решение задач из разных разделов может быть «унифицировано», сведено к переводу утверждений, встречающихся в тексте задачи, на язык арифметических действий с соответствующими величинами. Этому способствует, во-первых осознание того, что требуется найти, и, во-вторых, моделирование встречающихся утверждений с помощью их схематического изображения.(М.Волович, «Как учить решению арифметических и алгебраических задач»[1]). Схематические изображения, предлагаемые сторонниками этой методики, предполагают наличие высокого уровня абстрактного мышления у ученика. К сожалению, эта способность соотносить реальные объекты с их схематическим изображением (например, изобразить количество роз в букете в виде отрезка) формируется у детей очень неравномерно. По мнению Пиаже, это процесс чисто физиологический и неподдающийся ускорению и формированию извне. И так как абстрактное мышление окончательно устанавливается у детей к 12 годам на очень различном качественном уровне, нельзя требовать от всех понимания схематических изображений. И тем более математическое моделирование, отвлеченное от текста задачи, доступно далеко не всем школьникам.
Поэтому необходимо составить алгоритм решения задачи, позволяющий выделять в ней общие, часто встречающиеся элементы, а также учитывающий особенности решения данного раздела задач. Наиболее удачно, и это уже было проверено многолетним опытом многих учителей, составлен подобный алгоритм у выдающегося математика и педагога Джорджа Пойа в книге «Как решать задачу». См. Приложение 2.
При работе с опорным конспектом полезно задавать вопросы в одной и той же последовательности. В результате многократного повторения у каждого ученика складывается определенный метод подхода к задаче. Причем оказывается, что эти методы очень различны и зависят от личных особенностей мышления человека, от его способа абстрагирования, объема памяти, вычислительного опыта. Но независимо от способа решение получается верным. Совместный анализ нескольких решений одной задачи, их сопоставление и выбор наиболее удачного, красивого, оригинального, простого и математически выверенного решения повышает уровень математической культуры ученика. Главным условием успеха при решении задач является непрерывная работа над ними, постоянная тренировка этого навыка.
«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. И помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»(Джордж Пойа).
Типы задач. Особенности их решения
Предваряя изучение основных типов задач по программе 8-го класса, необходимо повторить способы решения основных типов задач, пройденных прежде. И конечно, это задачи на пропорциональное деление, проценты и несложные задачи на работу и движение, предполагающие решение по действиям или составлением целого уравнения. Для этого в качестве упражнения можно рассмотреть следующие задачи.
1. На производство костюма было израсходовано 2.8 кв.м ткани. Площади кусков ткани, израсходованной на пиджак, брюки и жилетку относятся как 7:5:2. Сколько ткани пошло на брюки?
2. При разделке туши барана треть составляет туловище, одна пятая – голова, шестая часть – ноги, четверть – шкура и еще 2 кг внутренности. Сколько весит целый баран?
3. Первый рабочий производит продукции на 1 коп. за одну секунду. Второй на 1 руб. за одну минуту. Во сколько раз производительность второго рабочего больше, чем первого?
4. Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 30 см/с. Через сколько секунд расстояние между ними сократится с 6,5 м до 20 см?
5. Восемнадцатипроцентный раствор соли массой 2 кг разбавили водой, добавив один стакан (0,25 кг). Какой концентрации раствор был получен?
Цель включения этих задач и аналогичных им в содержание уроков заключается в том, что ученик, овладев определенными приемами записи условий и неизвестных для решения задач, подразделяет их по содержанию и соответственно выделяет особенности решения каждого типа задач.
Так например, для решения задач на движение необходимо прежде всего составить схему движения. Затем выяснить, сколько режимов движения рассматривается в задаче.(Будем называть различными режимы движения, если их скорости различны.) Тогда в общую схему(формулу) задачи S = V∙t «укладывается» столько строк таблицы, сколько скоростей в задаче.
Например для задачи 4, про стрекозу и муху:
|
V |
t |
S |
Стрекоза |
1.2 м/с |
x |
1.2x, на 6.3 мбольше, чем у мухи |
Муха |
30 см/с |
x |
0.3 x |
Скорость сближения |
1.2 - 0.3 = 0.9 м/с |
Время сближения |
Расстояние сближения |
Важно рассмотреть несколько решений этой задачи:
1) Через нахождение разности пройденных расстояний
2) через нахождение скорости сближения
3) путем решения по действиям.
На этой простой задаче важно указать на необходимость единой системы единиц измерения и предоставить ученикам выбор лучшего, по их мнению, решения. В данном случае следует подвести их к мысли отдать предпочтение арифметическому способу решения, приучая к тому, что не следует применять «мощные» методы решения там, где в этом нет необходимости. Для этого можно предложить каждому почувствовать себя учителем, объясняя решение этой задачи ученику младшей школы.
После этого следует предложить ученикам решить задачу, приняв за неизвестное расстояние и показать, что выбор неизвестного не влияет на результат решения, а лишь усложняет или упрощает его. Подобные рассуждения можно провести на любой другой, более сложной задаче, каждый раз проводя их в ускоренном темпе, но, разбирая все возможные варианты решения.
Среди задач на работу выделяют два типа задач, решаемых по схеме a∙ b= c (см.выше). В первом, более распространенном, используется формула:
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ∙ ВРЕМЯ = РАБОТА.
Задачи на работу считаются более сложными, чем на движение. Чтобы облегчить понимание, на первых уроках проводим аналогию между понятиями
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ = СКОРОСТЬ РАБОТЫ = СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
и РАБОТА=КОЛИЧЕСТВО СДЕЛАННОГО=КОЛИЧЕСТВО ПРОЙДЕННОГО (ПУТЬ).
При таком рассмотрении привычные задачи на движение помогают при решении задач на производительность.
Особое место среди этих задач занимают решаемые по формуле:
ТРУДОЕМКОСТЬ ∙ КОЛИЧЕСТВО ДЕТАЛЕЙ = ВРЕМЯ.
Эти задачи часто вызывают трудности при решении, так как время, до сих пор воспринимаемое как количество повторений части целого (скорости или производительности), здесь играет роль целой величины, кроме того, вводится новое, ранее не встречавшееся понятие «трудоемкость». Задача становится яснее, если рассмотреть подробнее единицы измерения этой новой величины – количество времени на единицу работы, которые применяются в тех ситуациях, когда работа состоит из достаточно крупных и, что важно, неделимых элементов. Трудность еще состоит и в том, что решить такую задачу другим, более простым способом, как правило не удается. Рассмотрим на примерах:
Задача. Один рабочий затрачивает на изготовление болта на 6 мин меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 часов, если первый обрабатывает за это время на 8 болтов больше?
Действуя по обычной схеме, ученик принимает за x количество болтов, изготовляемое вторым рабочим за 7 часов и получает производительность x/7 болта в час. При этом сравнение дано в единицах времени на один болт, т.о. необходимо. выразить трудоемкость. Ученик приходит к новой формуле:
ТРУДОЕМКОСТЬ ∙ КОЛИЧЕСТВО ЕДИНИЦ РАБОТЫ = ВРЕМЯ.
Таблица для решения задачи примет вид:
|
ТРУДОЕМКОСТЬ |
КОЛИЧЕСТВО |
ВРЕМЯ |
I |
x(ч/болт) |
7/x, что на 8 болтов больше, чем у II |
7 ч |
II |
x + 0,1 (ч/болт) |
7/ (x + 0,1) болт |
7 ч |
Составим уравнение: 7/x - 7/ (x + 0,1) =8 , корни которого: -0.35и 0.25.
Таким образом, первый рабочий тратит на один болт 0,25 часа, а второй 0,35 часа, отсюда за 7 часов первый изготовит 28 болтов, а второй - 36 болтов. Ответ: 28 и 36.
В сильном классе в качестве самостоятельной работы можно предложить две задачи, одну на производительность, другую на трудоемкость, предложив ученикам самим определить тип задачи и способ решения. В более слабом – лучше разнести эти задачи по разным урокам и разным проверочным работам.
Научить отличать задачи на трудоемкость, чтобы не тратить время на тщетные попытки решить её как на производительность, можно. Нужно обратить внимание, что в этих задачах фиксируется количество единиц работы и, главное, сравнивается количество времени на одну деталь. Тогда как в задачах на производительность объем работы (равно как и количество деталей) зачастую не важно и может быть принято за единицу.
Так как в учебниках задач такого типа крайне мало и иногда нет совсем, а в экзаменационных материалах они встречаются, для закрепления можно предложить такую задачу: «Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 мин больше, чем мастер. Сколько болванок обрабатывает каждый из них за 6 часов, если ученик обрабатывает за это время на 5 болванок меньше, чем мастер?»
Важно уделить время для решения задач на процентное содержание. Начать урок можно с повторения определения процента, как сотой доли чего-либо. В переводе с латинского procentumозначает «от ста» или «на сто». Существует две формы записи процентной доли: как количество процентов от чего-либо – 25%, 50%, 10% и т.д. и как процентной доли чего-либо – 0,25; 0,5; 0,1 и т.д. Формы записи равноценны и используются в зависимости от контекста задачи. Для работы в классе можно предложить старинные интересные задачи (И.Верещагин. «Сборник арифметических задач», 1908):
1. Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из них, если 35% одного из них равны 85% другого.
2. 25 кило серебра 84 пробы сплавлены с 12,5 кило 72 пробы. Какой пробы полученный сплав?
3. Желают составить смесь из вина двух сортов: в 48 и 36 градусов. Сколько надо взять того и другого, чтобы составить 10 л вина в 45 градусов?
В сильном классе можно рассмотреть задачи, требующие более высокого уровня математической подготовки. Здесь, применяя прежний алгоритм решения задачи, нужно пояснить некоторые моменты решения более сложных задач.
Успех решения зависит от удачного выбора неизвестных, пусть их будет много, верно составленная система исключит лишние неизвестные. Далее важно сформулировать при помощи переменных, что нужно найти, т.к. переменных обычно больше, чем нужно. Как правило, все величины должны быть положительны, т.е. можно умножать, делить и возводить в квадрат без оговорок. Весьма важно придерживаться решений, использующих арифметические методы.
Задача 1. Пассажир, направляющийся из А в В, одну половину затраченного на путь времени ехал на автобусе, вторую – на машине. Если бы он ехал только на автобусе, то это заняло бы в полтора раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит этот путь машина?
Решение: Пусть x км/ч – скорость автобуса, y км/ч – скорость машины, t ч затраченное время, S км - расстояние АВ. Тогда 0.5tx +0.5ty= S, тогда t = 2S/( x+ y) – сравниваемое время, если бы пассажир ехал только на автобусе, он бы затратил S/ y =1,5 ∙ 2S/( x+ y) т.о. надо найти величинуS/ y: S/ x = x/y. Тогда S/ y = 3S/( x+ y), отсюдаx = 2y, x/y = 2. Ответ: в 2 раза
Много полезных задач на эту тему содержит «Сборник задач по алгебре» под редакцией М.Л.Галицкого. Многие из них были включены в раздел «Задачи для самостоятельной работы и зачетного домашнего задания» . Их тексты и рекомендации к их решению можно посмотреть в дополнительных материалах к этой статье. См. Приложение 3.
Некоторые из них, особо красивые, хотелось бы рассмотреть здесь.
Задача 2. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
Решение: Если следовать традиционному решению, то нужно ввести как можно больше переменных и перевести текст задачи на язык математики: пусть S – длина эскалатора, примем отсчет ступенек за работу секундомера, тогда время движения вверх 30 сек, вниз – 150 сек. Обозначим за x собственную скорость мальчика и за y скорость эскалатора, условия задачи в виде двух уравнений S/( x+ y) = 30 и S/( x- y)= 150, объединим их в систему. Причем найти нужно S/ x. Можно было бы сразу принять длину эскалатора за единицу, можно разделить оба уравнения наS, тогда найти нужно 1/ x. Решив систему , получим x = 0.02, тогда 1/ x = 50. Ответ: 50 ступенек.
Далее следует задать вопрос: нельзя ли проще решить эту задачу? Сможет ли её решить ученик начальной школы, т.е. только арифметическими методами? Ответ: ДА!
Скорость эскалатора постоянна, тогда пройденный путь пропорционален затраченному времени. Сложность состоит в том, что при движении вниз ступеньки исчезают, а при движении вверх – появляются, причем количество исчезнувших в 5 раз меньше, чем появившихся(пропорционально времени). Тогда разница количества ступенек содержит шесть частей, и прибавив одну часть к 30-ти ступенькам, мы получим длину эскалатора. Т.о. задача решается в два действия:
1) 120:6 = 20 (ст) – содержит одна часть,
2) 30+20 =50 (ступеней) - длина неподвижного эскалатора . Ответ: 50 ступеней.
Сопоставляя подобные решения, можно пробудить азарт поиска арифметических решений у учеников, что значительно повышает пластичность их мышления и математическую культуру. В связи с этим хочется рассмотреть еще одну задачу.
Задача 2. На реке расположены пункты А и В, причем В ниже по течению на расстоянии 20 км от А. Катер направляется из А в В, затем сразу возвращается в А и снова следует в В. Одновременно с катером из А отправился плот. При возвращении из В катер встретил плот в 4 км от А. На каком расстоянии от А катер нагонит плот, следуя вторично в В?
Решение этой задачи составлением системы конечно приведет к верному результату, но оно довольно громоздко. Существует изящное арифметическое решение: Катер удаляется и приближается к плоту с одной и той же скоростью – собственной. Время, которое катер плыл от А до В, удаляясь от плота, равно времени, которое катер плыл от В до встречи с плотом (представьте неподвижную систему координат, наблюдатель на плоту). Тогда отношение путей от А до В, и от В до плота равно отношению скоростей, т.е. 20/16 = 4/5. Также отношение путей от А до второй встречи и от первой встречи до А (наблюдатель смотрит в другую сторону): 4/x = 4/5, где x искомое расстояние. Очевидно x = 5. Ответ: 5.
Основная цель этих упражнений – вывести ряд закономерностей, свойственных задачам на движение.
1. Если время фиксировано, то отношение расстояний равно отношению скоростей.
2.Если скорость постоянна, то пройденный путь пропорционален времени.
3. Если расстояние неизменно., то скорость и время обратно пропорциональные величины.
4. Собственная скорость есть среднее арифметическое скоростей по и против течения, а время движения с собственной скоростью есть среднее гармоническое времени по и против течения.
Периодическое повторение этих и аналогичных соотношений позволит поддерживать навык арифметического решения задач на необходимом уровне до конца обучения в школе, т.к. на экзаменационных испытаниях ученик часто будет встречать такие задачи.
Кроме рассмотренных выше типов задач следует еще уделить внимание на уроках особо не любимым учениками задачам «про трубы», которые наливают и выливают что-то в резервуары и задачи на смешивание растворов. Решение этих задач также очень интересно, но рамки данной статьи не могут вместить всех материалов, поэтому их разбор можно посмотреть также в Приложении 3.
Решение текстовых задач – высший пилотаж элементарной математики. Люди, владеющие этим искусством, имеют особый склад ума и отличаются способностью рационально мыслить в любой ситуации и в любой отрасли человеческого знания. Значит, дорогие коллеги, наше с вами предназначение - пробудить интерес и удовлетворить любопытство как можно большего числа учеников.
Список рекомендуемой литературы
1. М.Б.Волович. «Как учить решению арифметических и алгебраических задач»
2. И.Верещагин. «Сборник арифметических задач»
3. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. «Сборник задач по алгебре»
4. А.Киселев. «Систематический курс арифметики»
5. И.Ньютон. «Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе»
6. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников. «Арифметика»
7. Ж.Пиаже. «Психология интеллекта»
8. Д.Пойа. «Как решать задачу»
9. Д.Пойа. «Математика и правдоподобные рассуждения»
10. Д.Пойа. «Математическое открытие»
11. С.М.Симонов, В.П.Бакаев, А.Н.Эпельман. «Система тренировочных задач по математике»
12. М.И.Сканави. «Сборник задач для поступающих во ВТУЗы»
13. В.В.Ткачук. «Математика –абитуриенту»
14. А.Л.Тоом. «Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании»
15. И.Шарыгин. «Арифметические текстовые задачи на конкурсном экзамене»