Авторская программа элективного курса "Исследование функции без применения метода математического анализа"

Цель программы: обратить внимание школьников при изучении данной темы в средней и старшей школе, чтобы не допустить формального усвоения темы.

Задачи: разобрать различные способы исследования функции простейшими методами; выработать алгоритм исследования непрерывной функции одной переменной без применения метода математического анализа.

Данная работа базируется на изучении теоретических и практических исследований непрерывных функций одной переменной простейшими методами авторов Шахмейстер А.Х., Шестаков С.А. и других, а также интернет-источников.

Содержание курса

Модуль I. Способы исследования функции простейшими методами.

Возрастание, убывание, ограниченность функций. Асимптоты и области существования графика. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Возрастание, убывание, ограниченность функций.

Функция fназывается возрастающей на множестве ХD(f), если для любых х1, х2 Х таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2). Функция fназывается убывающей на множестве ХD(f), если для любых х1, х2 Х таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Функция fне возрастает (не убывает) на множестве ХD(f), если для любых х1, х2 Х таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(x1)f(x2) или f(x1)f(x2). Функции указанных видов называются монотонными на множестве Х. Иными словами, функция f называется строго возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется строго убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция возрастает (убывает) не на всей D(f), то перечислять промежутки возрастания (убывания) лучше, используя точку с запятой или союз «и», а не знак объединения множеств. Чтобы по графику функции fопределить промежутки возрастания (убывания) функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх (вниз).

Функция fназывается ограниченной сверху на множестве ХD(f), если существует такое число МR, что f(x)М . Функция fназывается ограниченной снизу на множестве ХD(f), если существует такое число mR, что f(x)m . Функция называется ограниченной на Х, если она ограничена и сверху и снизу. Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху на всей области определения. По графику легко определить ограниченность функции: если ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у=М, то функция ограничена сверху; если ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у=m, то функция ограничена снизу (Приложение 1. Пример 1).

Асимптоты и области существования графика.

Вертикальной асимптотой кривой называется прямая х=, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их приближения к . Горизонтальной и наклонной асимптотой кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность. Асимптоты обозначаются пунктирной линией. Асимптотическая кривая - это график более простой функции, не являющейся линейной, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

Например, рассмотрим график обратно пропорциональной зависимости у =

Если k>0, при неограниченном возрастании положительных значений аргумента значения функции, оставаясь положительными, убывают и стремятся к нулю, т. е. если x>0 и x→ +∞, то у → 0. Аналогично, если x<0 и x→ -∞, то у → 0. Значит, прямая у=0 (ось ОХ) является горизонтальной асимптотой графика этой функции. На графике это свойство проявляется в том, что точки графика по мере их удаления в бесконечность (х → ±∞) неограниченно приближается к оси абсцисс.

Если x>0 и x→0+0, то у → +∞. Аналогично, если x<0 и x→ 0-0, то у → -∞. Значит, прямая х=0 (ось ОY) является вертикальной асимптотой графика этой функции. На графике это свойство проявляется в том, что точки графика по мере их приближения к нулю (х → 0) неограниченно приближается к оси ординат.

Вертикальную асимптоту х=чаще всего имеет график дробно-рациональной функции f(x)=, где  - несократимая дробь, знаменатель которой обращается в нуль в точке , а числитель нет. Число вертикальных асимптот равно числу нулей знаменателя. То есть число вертикальных асимптот не может превышать степени многочлена, который записан в знаменателе. Второе определение (правило) звучит так: прямая вида х=называется вертикальной асимптотой для y=f(x), если из (x0)  (f(x), где х - обозначает, что х стремится к  слева, х- обозначает, что х стремится к  справа. Если сложно понять, куда стремится выражение f(x), то вначале выясняют интервалы знакопостоянства дроби, то есть где она положительна, а где отрицательна, а затем, применяют правило (Приложение 1. Пример 2).

Прямая вида y=bназывается горизонтальной асимптотой для y=f(x), если при (x(f(x)b). Для того, чтобы найти горизонтальную асимптоту дробно-рациональной функции f(x)= , где p(x)=a0xn+ a1xn-1+…+an, q(x)=b0xm+ b1xm-1+…+bm, нужно сравнить степени числителя и знаменателя, если: 1) степени совпадают (n=m), то горизонтальной асимптотой является прямая у=a0/b0(то есть у равен отношению коэффициентов при высших степенях числителя и знаменателя); 2) если степень числителя меньше степени знаменателя (n<m), то горизонтальной асимптотой является ось абсцисс у=0 (Приложение 1. Пример 3).

Горизонтальную асимптоту дробно-рациональной функции можно найти, применяя и другие правила (Приложение 1. Пример 4).

Прямая вида y=aх+bназывается наклонной асимптотой для y=f(x), если при  (x. Примечание: наклонная асимптота существует для дробно-рациональной функции, если степень числителя на единицу больше степени знаменателя (Приложение 1. Пример 5).

Если показатель степени числителя выражения, задающего функцию, на две единицы больше показателя степени знаменателя этого выражения, то график данной функции кроме вертикальной асимптоты, имеет асимптотическую кривую – параболу. Если показатель степени числителя выражения, задающего функцию, на три единицы больше показателя степени знаменателя этого выражения, то график данной функции кроме вертикальной асимптоты, имеет асимптотическую кривую – кубическую параболу.

Зная асимптоты, промежутки знакопостоянства и нули функции можно определить области существования графика, то есть в каких областях присутствует графический эскиз функции. Речь идет о бесконечных областях в виде прямоугольных углов или прямоугольников, задаваемых двумя переменными х и у в виде неравенства (Приложение 1. Пример 6).

Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции

Точка х0D(f) называется точкой строгого максимума этой функции, а значение f(x0) называется максимальным значением функции maxf(x), если: 1) функция f непрерывна в точке х0; 2)f(x)f(x0)D(f). Точка х0D(f) называется точкой строгого минимума этой функции, а значение f(x0) называется минимальным значением функции minf(x), если: 1) функция f непрерывна в точке х0; 2) f(x)f(x0)D(f). Условие непрерывности в точке х0 является существенным. Если это условие не выполняется, точка х0 может не являться точкой максимума (минимума). Точками максимума и минимума, иначе их называют, точками экстремума, являются лишь точки области определения функции, и «ординат» эти точки иметь не могут. Например, точкой минимума функции у=x2+4 является «точка 0», а не «точка (0; 4)».

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Х и имеет максимальное значение в точке х0, где х0Х, тогда имеют место следующие свойства: 1) для числа c > 0 в точке x0 функция c · f (x) имеет максимальное значение, для числа c < 0 минимальное; 2) для числа c в точке x0 функция f (x) + c имеет максимальное значение; 3) если f (x) > 0 или f (x) < 0 на множестве X, то в точке x0 функция  имеет минимальное значение; 4) если функция g(x) определена на множестве Xи имеет максимальное значение в точке x0 , то в точке x0 функция f (x) + g(x) имеет максимальное значение; 5) если возрастающая функция g(x) определена на множестве E(f (x)), то в точке x0 сложная функция g (f (x)) имеет максимальное значение; 6) если убывающая функция g(x) определена на множестве E(f (x)), то в точке x0 сложная функция g (f (x)) имеет минимальное значение.

Аналогичные свойства имеют место для минимального значения функции f (x) на множестве X, а также для ее наименьшего и наибольшего значений.

Отметим, что квадратичная функция y=ax2+bx+c при x=- имеет минимальное значение (наименьшее значение) y(-), если а>0; имеет максимальное значение (наибольшее значение) y(-), если а<0. Квадратичная функция y=a(x-m)2+n при x=m имеет минимальное значение (наименьшее значение) n, если а>0; имеет максимальное значение (наибольшее значение) n, если а<0 (Приложение 1. Пример 7).

Число m называют наименьшим значением функции у=(f) на множестве ХD(f), если: 1) в Х существует такая точка x0, что f(x0)=m; 2) выполняется неравенство f(x)f(x0) X. Число М называют наибольшим значением функции у=(f) на множестве ХD(f), если: 1) в Х существует такая точка x0, что f(x0)=М; 2) выполняется неравенство f(x)f(x0)X. Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения на всей области определенияD(f). Обозначение: y(x) = m;y(x) = M.

Для функции, непрерывной на интервале, очевидны утверждения: 1) если у функции существует fнаим., то она ограничена снизу; 2) если у функции существует fнаиб., то она ограничена сверху; 3) если функция не ограничена снизу, то fнаим. не существует; 4) если функция не ограничена сверху, то fнаиб. не существует.

Один из возможных приемов нахождения наибольшего (максимального) и наименьшего (минимального) значения функции заключается в следующем: 1) доказать ограниченность функции fсверху или снизу на множестве Х; 2) ограничивающее число является наименьшим или наибольшим значением заданной функции (Приложение 1. Примеры 8, 9).

Для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке, нужно вычислить ее значения в точках экстремума, принадлежащих отрезку, и значения на концах отрезка. Наибольшее (наименьшее) из вычисленных значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функции fна отрезке  обозначаются символами  f(x) и  f(x) соответственно. Заметим, что если функция возрастает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в правом конце отрезка, а наименьшее – в левом; если функция убывает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в левом конце отрезка, а наименьшее – в правом.

Второй прием нахождения наибольшего (максимального) и наименьшего (минимального) значения функции основывается на известных свойствах элементарных функций (Приложение 1. Пример 10). Для нахождения наибольшего (максимального) и наименьшего (минимального) значения функции третьим способом, используют свойства монотонных функций (Приложение 1. Примеры 11, 12, 13). Используя замену переменной в некоторых случаях можно вычислить наибольшее (максимальное) и наименьшее (минимальное) значения функции (Приложение 1. Пример 14).

Основным методом для нахождения наибольшего (максимального) и наименьшего (минимального) значения дробно - рациональной функции степени не выше второй является исследование множества значений функций. Зависимость y= f(x) рассматривают как уравнение относительно переменной х с параметром у, исследуют дискриминант данной дроби и находят наибольшее (наименьшее) значение у, при котором это параметрическое уравнение имеет решения (Приложение 1. Пример 15).

Применяя известные неравенства, в некоторых случаях можно вычислить наибольшее (максимальное) и наименьшее (минимальное) значения функции:

1. Для чисел a и b, таких, чтоaсправедливо утверждение, среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши):  .

2. Следствие из неравенства Коши: для любых положительных чисел a и bи любого отличного от нуля действительного числа tвыполняется неравенство 2, где 2 при , то есть t2=.

3. Для любых двух действительных чисел a и bсправедливо неравенство +, где +, при

4. .

5. .

6. . При использовании данного неравенства векторы  и  следуют вводить таким образом, чтобы либо  не зависели от переменной х, либо отношение модулей этих векторов было величиной постоянной. Если в условии сонаправленности приходится выполнять деления на выражение, содержащее неизвестную, нужно проверить, не являются ли векторы сонаправленными и в том случае, когда это выражение обращается в нуль, иначе, можно потерять решение (Приложение 1. Пример 16, 17).

Модуль II. Исследование функции.

Исследование функции - задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. В ходе исследования обычно определяют следующие характеристики:

Таблица 1

Примеры исследования функций рассмотрены в Приложении 2.

Библиографический список

• Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-Пресс, 1997. – 384 с.
• Шахмейстер. А.Х. Построение графиков функций элементарными методами. – 3-е изд., исправленное и дополненное – СПб.: «Петроглиф» : «Викторина плюс» : М.: Издательство МЦНМО, 2011.-184 с.
• Шестаков С.А. ЕГЭ 2015. Математика. Задача 14. Производная и первообразная. Исследование функций. Рабочая тетрадь / Под ред. И.В. Ященко – М.: МЦНМО, 2015.–112 с.
• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В14. Исследование функций
• Ажгалиев У. «Возможно ли исследование и построение графика дробно-рациональной функции без использования производной.» («Математика в школе», №7, 2010, ООО «Школьная Пресса»)

Интернет-источники:

• http://math.reshuege.ru;
• http://kakprosto.ru;
• http://math4school.ru