Необходимость находить объемы различных тел возникла еще в древности. Сегодня на уроке мы будем находить объемы различных тел, используя, полученные ранее формулы. Часть задач может показаться учащимся очень легкими, но именно с подобными задачами приходится встречаться в жизни, многие из задач не представлены в Вашем учебнике. Задачи, похожие на рассмотренные на уроке могут встретиться Вам на экзамене по математике. Сегодня у нас занимательный урок.
Цели урока:
Образовательные:
- расширение и углубление представлений учащихся об объемах различных тел,
- обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по нахождению объемов тел.
Развивающие:
- способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи,
- развитие творчества, умения анализировать.
Воспитательные:
- содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться.
Задачи:
- развивать интерес к предмету,
- продолжать формирование общеучебных навыков,
- сделать вывод о применении геометрии в жизни,
- развивать различные способы анализа,
- воспитывать математически грамотную личность.
В начале урока необходимо повторить формулы объемов тел: цилиндра, конуса, шара, прямой призмы.
Задача 1
Какую часть объема тела занимает налитая в него вода?
Объем верхнего конуса
Объем нижней части
Задача 2
Какую часть объема тела занимает налитая в него вода?
Ответ: Цилиндр заполнен водой наполовину.
Задача 3
Какую часть объема тела занимает налитая в него вода?
Тело представляет собой куб. Незаполненная часть представляет собой прямую призму, основание которой в четыре раза меньше грани куба.
Ответ: Заполнено водой 0,75 тела.
Задача 4
Какую часть объема тела занимает налитая в него вода?
Объем тела
Объем заполненной части
Найдем отношение объема заполненной части к объему всего тела (11? 3)/(24? 2)=11/16.
Ответ: Заполнены 11/16 часть тела.
Задача 5
Радиус арбуза в 11 раз больше толщины его корки. Сколько процентов от веса арбуза составляет корка?
Ответ: 25%.
Задача 6
Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весило бы бревно, если бы оно было в три раза толще и в два раза короче?
Ответ: В 4,5 раза.
Задача 7
Окружность основания конической кучи щебня 12,2м. Длина двух образующих 4,6м. Сколько КАМАЗов вместимостью 11 т потребовалось для перевоза этого щебня, если 1кубометр щебня весит 2,6т.
Длина одной образующей 2,3м.
Найдем вес щебня 4,86? 2,6=12,6т.
Ответ: Потребуется два КАМАЗа.
Задача 8
Металлический шар радиусом 1м переплавили в шары радиусом 10см. Один шар радиусом 10см переплавили в шары радиусом 1см. Каких шаров теперь больше и на сколько?
Объем большого шарика
Объем среднего шарика
Получим 1000 средних шариков.
Объем маленького шарика
Ответ: Маленьких шариков на 1 больше, (маленьких шариков 1000, средних шариков – 999, т.к. один переплавили на маленькие)
Задача 9
Один человек съедает на завтрак яичницу из двух куриных яиц. Яйцо страуса по всем размерам (длина, ширина, высота) в 2,5 раза больше куриного. На какое количество людей можно приготовить завтрак из 2 страусиных яиц?
Объем страусиного яйца в (2.5)3 раза больше куриного яйца. Объем больше в 15,625 раза;
15,625 : 2 
7,81.
Ответ: Можно приготовить завтрак на 7 человек.
Задача 10
Сколько металлических шариков на картинке?
В одном кубике 216 шариков.
На рисунке 5 кубиков.
Всего получим 1080 шариков.
Ответ: На рисунке 1080 шариков.
Задача 11
В какую банку поместится больше варенья и на сколько процентов вторая банка больше первой? Если обе имеют цилиндрическую форму, но первая банка в три раза выше, а вторая в два раза шире. Результат округлите до целого числа процентов.
Объем высокой банки
Объем низкой банки
Отношение объемов
Ответ: Во вторую банку поместится на 33% больше варенья.
Задача 12
Вес и размеры монет в СССР в 1961 году были пропорциональны их достоинству. Исходя из этого условия найти радиус и вес монеты в 100 руб.
1 коп. – вес 1г,
5 коп. – вес 5г,
(диаметр и толщина монет отличаются в 5 раз).
Монета достоинством 100 руб = 10 000 коп.
Все размеры должны быть в 22 раза больше. Диаметр копейки 15мм.
Ответ: Диаметр такой монеты 33см, ее вес 10 000г (или 10кг).
Задача 13
Человек в день поглощает примерно 1,5 литра жидкости. За 70 лет это – 4000 ведер.
365 * 1,5 * 70+1,5 * 18+1,5 * 18
40000л.
Вместимость ведра 10л. (Для сравнения: вместимость железнодорожной цистерны – 20 000л).
Если диаметр ведра не менять, а ведра поставить друг на друга то высота изменится в 4 000 раз.
Высота стандартного ведра 27см.
0,27 * 4000=1080м
Сравним:
Высота Останкинской башни 540м (автор сооружения д-р техн. наук Никитин).
Высота Шуховской телебашни 148,3м (автор сооружения инженер и ученый Шухов, башня построена в 1921 году. Первые телепередачи прошли в 1922 году).
Задача 14 ("Гордый холм")
“...Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, –
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли...”
А.С. Пушкин “Скупой рыцарь”
Старинные армии были не очень большими по современным меркам. Войско в 100 000 считалось очень большим. У Атиллы было самое многочисленное войско, какое знал древний мир (700 000 человек). Представим, что холм составили из 700 000 горстей земли.
1 горсть земли, высыпанная в стакан, не наполнит его.
Примем, что горсть земли около 200г, т.е. 0,2л.
V=0,2 * 70000 = 140000дм3=140м3.
Угол естественного откоса не может быть больше 45 градусов. Тогда h = R
Высота такого холма около 5,1м
Вывод: нужно обладать очень большим воображением, чтобы холм высотой 5,1м и диаметром 10,2м назвать "гордым холмом".
Задача 15 (Дальность горизонта на равнине)
Дальность горизонта можно вычислить по
формуле: 
,
где l - дальность обзора,
R - радиус земного шара (около 6 400км),
h - возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью (величина h обязательно выражена в частях километра).
Это чисто геометрический расчет (упрощенный). Для получения более точного результата необходимо учитывать "атмосферную рефракцию" (рефракция, т.е. преломление световых лучей в атмосфере, увеличивает дальность горизонта примерно на 6%. Дальность горизонта зависит от многих факторов. 6% - это среднее значение). Дальность горизонта зависит от времени суток (утро-вечер), от атмосферного давления, от погоды (холодная-теплая, сухая-сырая). Считая, что глаз взрослого человека возвышается над почвой примерно на 1,6м, или на 0,0016км (0,0016 + 0,0051 = 0,0067), имеем:
Это всего на 4 км больше, чем можно видеть, стоя на ровной земле.
Задача 16 (капля керосина)
Один грамм керосина, растекаясь по воде, покрывает круг поперечником 30см. Какова толщина керосиновой пленки?
Один см3 керосина весит 0,8г.
Объем керосиновой пленки равен объему керосина. 1 см3 керосина весит 0,8г.
Поэтому на один грамм керосина пойдет –1/0,8=1,25см3=1250мм3.
Площадь круга диаметром 30см (радиусом 150мм)
равна 70 000мм2 S = 
r2 3,14? 1502 = 70000мм2.
Объем цилиндра V=S * h, h=1250/70000 0,018мм.
Ответ: Толщина пленки керосина 0,018мм.
Итоги.
Подводя итоги, можно сделать вывод: нахождение объемов тел может пригодиться в жизни. Все мы знаем множество формул. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Геометрия и наша привычная жизнь - взаимосвязаны.
Рассмотренные задачи могут заинтересовать даже неувлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить следующие задачи:
- Задача - практическая. На примере апельсина вычислить, какую часть от всего апельсина составляет корка (выразить число в процентах).
- Задача аналогична задаче №1 на уроке (но вода в коническом сосуде достигает 1/4 высоты конуса.
- Дан конический сосуд. (см. задачу 1). На какой высоте будет находиться уровень воды, если сосуд заполнен ровно наполовину.
- Найти задачи в художественной литературе, связанные с вычислением объемов тел.
- Даны два сосуда. Первый имеет форму
прямоугольного параллелепипеда и его измерения:
12; 12; . Второй - форму
цилиндра. На какой высоте будет находиться вода в
цилиндрическом сосуде, если в него перелить воду
из первого сосуда. Радиус основания
цилиндрического сосуда равен 6.
- Придумать способ нахождения объема груши.
- Сколько перепелиных яиц нужно использовать для приготовления завтрака на 1 человека. Все размеры (длина, ширина, высота) перепелиного яйца в 3 раза меньше куриного яйца.
- Как далеко видит море человек, сидящий в лодке? (принять высоту глаз сидящего человека 0,6м). (Ответ 3,6км)
- Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть кругом себя на 50км? (ответ 200м)
Используемые источники.
- Перельман Я.И. Занимательная геометрия 1996г.