Цели урока:
- ввести понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- показать, как используются синус, косинус и тангенс при решении задач;
- развитие умений наблюдать, сравнивать, анализировать и делать вывод.
Ход урока
Актуализация знаний (определение основной проблемы урока)
Проводится в форме фронтального опроса.
Учитель. На доске вы видите краткую запись 6 задач < Рисунок 1>. Вспомните , какие из этих задач вы уже умеете решать? Решите эти задачи. Сформулируйте соответствующие теоремы.
Рисунок 1
Учащиеся:
Задача 1. Ответ: 5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Задача 2. Ответ: 41°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
Задача 3. Ответ: 10 . Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
Задачи 4-6 мы не можем решить.
Учитель. А почему вы не сумеете решить задачи 4-6? Какой вопрос возникает?
Учащиеся. Мы не знаем, что такое tgB, sinA, cosB.
Учитель. sinА, cosB, tgB читается: “синус угла А”, “косинус угла В” и “тангенс угла В”. Мы сегодня узнаем, что означает каждое из этих выражений, и научимся решать задачи типа 4-6.
Введение нового материала
Проводится в форме эвристической беседы.
Учитель. Начертите прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 6 и 8. Обозначьте их АВС и А1В1С1 так, чтобы В и В1 были углами, противолежащими катетам 4 и 8, а прямыми углами были С, С1. Равны ли углы В и В1? Почему?
Учащиеся. Равны, потому что треугольники подобны. AC : BC = A1C1 : B1C1 (3 : 4 = 6 : 8) и углы между ними прямые.<Рисунок 2>
Учитель. Равенства каких ещё отношений следуют из подобия треугольников АВС и А1В1С1?
Учащиеся. ВС : АВ = В1С1 : А1В1, АС : АВ = А1С1 : А1В1.
Учитель. АС : АВ = А1С1 : А1В1= sinB = sinB1.
ВС : АВ = В1С1 : А1В1 = cosB = cosB1 . AC : BC = A1C1 : B1C1 = tgB = tgB1. Катет АС является противолежащим углу В, а катет ВС - прилежащим к этому углу. Сформулируйте определения синуса, косинуса и тангенса.
Учащиеся. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Учитель. Запишите сами синус, косинус и тангенс угла А (слайд 1). Получились формулы (1), (2), (3) :
(1)
. (3)
.Итак , мы узнали что такое синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Вообще, понятия синуса косинуса и тангенса имеют длительную историю. Изучая зависимость между сторонами и углами треугольника, древние учёные нашли способы вычислений различных элементов треугольника. Эти знания, главным образом, использовались для решения задач практической астрономии, для определения недоступных расстояний.
Закрепление
Учитель. Решим задачу №591 (а,б) [1].
Задание выводится на экран (слайд 2). Задание “а” решается на доске с полным объяснением; “б” – самостоятельно с последующей проверкой друг друга.
Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21, АС = 20.
Решение. а) 
=
. 
= 
, по
теореме Пифагора найдём АС = 15, 
; б) 
, по
теореме Пифагора найдём АВ = 29, 
. 
.
.
Учитель. А теперь вернёмся к задачам 4–6 <Рисунок 1>. Давайте обсудим, что известно в задачах 4–6 и что требуется найти?
Задача 4. Что известно? Что надо найти?
Учащиеся. Известны ВС = 7 и tg В = 3,5. Надо найти АС.
Учитель. Что такое tg В?
Учащиеся. 
.
Учитель. Работаем с формулой. Формула состоит из трёх компонентов. Назовите их. Какие компоненты известны? Какой компонент неизвестен? Можете найти? Найдите.
Учащиеся. АС = ВС * tg B = 7 * 3,5 = 24,5
Учитель. По этому образцу решите задачи 5 и 6 <Рисунок 1>. 1 ученик работает на закрытой доске
Учитель.
1. Расскажите, удалось ли вам найти требуемые неизвестные?
2. Каков был порядок ваших действий?
3. Может быть есть другие решения?
Учащиеся.1. Да. Легко. По образцу. Задача 5. Ответ: 10. Задача 6. Ответ: 2,5
2. Сначала синус и косинус соответствующих углов заменяем по определению соответствующими отношениями, затем в полученных пропорциях проставляем известные данные, после этого находим искомые неизвестные.
Учитель. Какой общий вывод можно сделать после решения задач 4–6? Какие новые задачи мы научились решать в прямоугольном треугольнике? Подумайте и сформулируйте ваш вывод.
Учащиеся. Если в прямоугольном треугольнике известны одна сторона и отношение этой стороны к одной из других сторон, либо одна сторона и отношение одной из других сторон к известной стороне (либо синус, либо косинус, либо тангенс), то можно найти эту вторую сторону.
Решение задач.
А теперь попробуйте решить эти задачи 7–9 <Рисунок 3>.
Рисунок 3
Учащиеся. Мы не знаем, как их решать.
Учитель. Вернёмся к задаче 1 <Рисунок 1>. Изменим условие задачи. Пусть NK = 5, NM = 10. Найти угол М.
Учащиеся. Угол М равен 30°, так как катет противолежащий углу М равен половине гипотенузы.
Учитель. То есть получается, что если синус угла равен 0,5, то угол равен 30°. А теперь решим задачи №592 (а,в,д) [1]
№592. Постройте угол a, если: а) 
в) 
д) 
.
Решение.
а) На сторонах прямого угла отложим отрезки длиной 1 и 2, соединим концы отрезков. В полученном треугольнике угол, лежащий против катета 1, и есть искомый угол a;
(слайд 3)
в) 0,2 = 
. На одной стороне прямого угла от его вершины
отложим отрезок длины 1. Построим окружность
радиуса 5 с центром в конце отложенного отрезка.
Точку пересечения окружности со второй стороной
прямого угла соединим с концом отложенного на
первой стороне угла отрезка. В полученном
треугольнике угол, прилежащий катету длины 1, и
есть угол a; (слайд 4)
д) На одной стороне прямого угла от его вершины отложим отрезок длины 1. Построим окружность радиуса 2 с центром в конце отложенного отрезка. Точку пересечения окружности со второй стороной прямого угла соединим с концом отложенного на первой стороне угла отрезка. В полученном треугольнике угол, противолежащий катету длины 1, и есть искомый угол a.(слайд 5)
Вы построили углы, а значит, вы нашли углы. Их можно измерить и оформить в виде таблицы.
Аналогично можно решить задачи 7-9 <Рисунок 3>
Подведение итогов
Учитель. Ответьте на вопросы:
1. Что называется синусом, косинусом и тангенсом прямого угла в прямоугольном треугольнике?
2. В прямоугольном треугольнике 6 элементов. Какие новые задачи вы сегодня научились решать? Каков при этом порядок ваших действий? Проверьте свои умения правильно выполнять эти действия (Раздаются индивидуальные карточки).
Примерное содержание карточек: 1. В
треугольнике АВС угол С прямой, ВС = 2, 
Найдите
АВ. 2. В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 8, 
. Найдите
АВ. 3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 6,
. Найдите
ВС.
Учащиеся сверяют свою работу с готовыми решениями на соответствующих карточках.
Задания на дом: [1] вопрос 15 на стр.159; №591(в,г),592(б,г,е) (слайд 6)
Использованная литература
- Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразовательных организаций / [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014.