Подготовка к ЕГЭ по математике. Практикум по решению заданий № 14 профильного уровня. Тема: «Нахождение расстояний и углов, построение сечений»

1. Повторение.

1.1.Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Формулы: a² + b²= c²

1.2.Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a² = b² + c²– 2bc·cosA

1.3. Угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми.

За угол между пересекающимися прямыми принимают острый угол, образованный этими прямыми.

 Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися прямыми А₁В₁ и С₁D₁, при этом А₁В₁|| АВ и С₁D₁|| CD.

1.4. Угол между плоскостями (АСН) и (СНD) – это двугранный угол АСНD, где СН ребро.

Точки А и D лежат на гранях этого угла. AF CH, FD CH.

Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD

2. Решение задач.

Задача №1.В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁.

Решение:

1) Продлим плоскость ВСС₁, тогда (AB₁, ВС₁) = (AB₁, DВ₁) = AВ₁D, т. к. C₁В || B₁D.

2) AB_{1 =} B₁D =из ABB_1.

3) из ABD по теореме косинусов:

Ответ: 0,25.

Задача №2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой AC₁ и плоскостью ВСC₁.

1) ВС₁ - проекция прямой АС₁ на плоскость (ВCС₁), так как AB (ВCС₁), то AB ВС₁;

(AC₁, (ВCС₁)) = (AС₁,С₁В) = AC₁B, т.е. АВC₁ – прямоугольный.

2) Пусть АВ = а, тогда ВС₁ = а из C₁CB.

3) .

4) AC₁B = arctg .

Ответ: arctg .

Задача №3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ₁, причем ВР : РВ₁= 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А₁В₁С₁ и АСР.

1) Так как (АВС) || (А₁В₁С₁), то (( А₁В₁С₁) , (АСР)) = ((АВС),(АСР)).

2) Т.к. ВН АС (высота р/б ),то по теореме о трех перпендикулярах РН АС.

3) Тогда РНВ – линейный угол двугранного РАСВ. Найдем его из прямоугольного РНВ.

5) ВН² = АВ² – АН² (из AНВ)

6) tg РНВ = PB/HB = 6/12 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача №4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

1) Так как ABCD – квадрат, то АВ AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет AD. Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD.

3) ?SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного SMO.

Ответ :.

3. Повторение.

3.1. Расстояние от точки до прямой.

Определение. Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.

3.2. Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости.

3.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

• 1 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

• 2 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

• 3 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.

4. Решение задач.

Задача №5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A₁F₁.

CA AFпо доказанному,

CA A₁А по определению правильной призмы

CA (АA₁F₁) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.е.

A₁А A₁F₁; A₁F₁ – прямая в плоскости.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA₁ A₁F₁, значит, длина отрезка CA₁ равна искомому расстоянию.

2) Из АВС (АВ=ВС=5, B = 120^o)

по теореме косинусов найдём СА: , ,

3) Из CAA_1, по теореме Пифагора найдём CA₁:

CA₁ ² = 75 + 121 = 196

CA₁ = 14

Ответ: 14.

Задача №6.

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = 2, АВ = АС = 10, ВС = 4.

1) Построим плоскость КМN.

Т. к. КМ – средняя линия АDВ, КМ?DВ,

MN - средняя линия АВC, МN ||| CВ, то (KMN) || (BCD) по признаку

параллельности плоскостей. АР – медиана и высота р/б АВC.

KF – медиана и высота р/б KMN.

DP BC по теореме о трёх перпендикулярах, KF || DP.

Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD, т.к. (KMN) || (BCD) и KF – средняя линия ADP.

2) LDA и ADP подобны по двум углам, тогда LA:AP=AD:DP, тогда AL = (AP*AD):DP.

Найдём АР из АВР по теореме Пифагора (АВ=10, ВР = 2 ):

AP² = AB² – BP² = 100 – 20 = 80, АР= 4

Найдём DР из АDР по теореме Пифагора: DP² = AD² + AP² = 20 + 80 = 100, DP = 10.

Тогда AL =( 4 · 2):10=4. Итак, АН = 1/2 AL = 2.

Ответ: 2.

Задача №7.

В правильной шестиугольной призме АВCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С₁ и F.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой C₁F.

Решение.

а) Сечение – четырёхугольник BC₁E₁F с диагональю C₁F.

Сторона ВC₁= - диагональ квадрата ВВ1С1С со стороной 1.

Сторону BF найдём из ABF по теореме косинусов:

BF²=AB²+AF²-2 * AB * AF * cosBAF;

BF²=AB²+AF²-2 * AB * AF * cos120⁰ = 3.

Тогда

Так как CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF BC₁.

Значит, сечение BC₁E₁F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C₁F²=BF²+BC₁²; C₁F²=3+2=5.

Отсюда

б) Сечение – прямоугольник BC₁E₁F.

ВК C₁F, ВК – искомое расстояние от точки В до прямой C₁F.

Найдем ВК как высоту из FBС₁, 

Используя 2 формулы площади треугольника.

Задача №8.

Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K - середина ребра ВВ1. Через точки K и С₁ проведена плоскость a, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью a является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью a.

а) Для построения сечения призмы плоскостью a, проведём КЕ || BD₁, E € B₁ D₁.

Плоскость a проходит через точки К, С₁ и Е.

Так как К – середина ВВ₁ и КЕ || BD₁, то Е – середина диагонали А₁ С₁ квадрата А₁ В₁ С₁ Д₁. Значит, плоскость a пересекает

грань А₁ В₁ С₁ Д₁ по диагонали А₁ С₁ .

Соединив точки К, С₁ и А₁, получаем А₁ КС₁ - сечение призмы плоскостью a.

А₁КВ₁ = С₁ КВ₁ по двум сторонам и углу между ними (А₁ В₁ = С ₁В₁ , , В₁ К – общая сторона).

Из равенства треугольников следует, что А₁К = С₁К, значит А₁ КС₁ - равнобедренный.

5. Задачи для самостоятельного решения.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 2:5, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB =1: 6, а точка Т — середина ребра B₁ C₁. Известно, что AB = 5, AD = 6 , AA₁ =14.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁ .

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁ .

Ответ. б) arctg .

2) Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 4.

Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

Ответ. б) arctg 2.

3) В правильной шестиугольной призме А…F₁ все рёбра равны 2.

а) Докажите, что плоскость ВВ₁F перпендикулярна прямой В₁С_1.

б) Найдите расстояние от точки В до плоскости F В₁С_1.

Ответ. б) .

4) В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ=АС=DВ=DС=13, DА =6, ВС=24.

а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА и ВС.

б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС.

Ответ. б) 4.

5) Высота правильной треугольной пирамиды равна 20, а медиана её основания равна 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину и перпендикулярной ребру основания.

б) Найдите тангенс угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания.

Ответ. б) 5.

6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной М сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD.

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ. б) 6.

Презентация.

Используемая литература.

1) И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин “Подготовка к ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень”, Москва, издательство МЦНМО, 2016.

2) Интернет-ресурсы:

• http://www.fipi.ru/
• http://mathege.ru/or/ege/Main
• https://math-ege.sdamgia.ru/
• http://alexlarin.net/
• https://ege-ok.ru/