Основные цели урока:
- Повторить определение последовательностей и способы их задания, определение прогрессий, формулы n-го члена прогрессий и суммы n первых слагаемых прогрессий, характеристические свойства членов прогрессий.
- Развивать умение анализировать и обобщать, умение применять полученные знания при решении нестандартных (практических и исторических) задач.
- Воспитывать навыки самоконтроля, культуры общения, умение работать в коллективе; воспитывать умение не растеряться в проблемной ситуации и умение дать своему вкладу в работу группы объективную оценку.
Тип урока: урок обобщения и систематизации материала.
Место урока в учебном плане: предпоследний урок перед контрольной работой по теме “Прогрессии”.
Этапы урока:
1. Организационный этап. Тема урока (слайд №1), цели урока объявляются без слайда.
2. Повторение теории и решение устных задач, задач практической направленности и творческих задач (ко всем задачам приведены решения и ответы) (слайды №2 - №41).
3. Историческая справка и решение письменных и устных исторических задач (слайды №42 - №46).
4. Задача – сценка (слайды №47 - №49).
5. Домашнее задание и подведение итогов урока (слайды №50 - №54).
Резерв (после 4 этапа, если осталось более 2-3 минут): практическая задача медицинской направленности (слайды №55 - №56).
Решение задач домашнего задания (использовать на следующем уроке): (слайды №57 - №59).
Особенности урока
В рамках урока, а не только факультатива, далеко не каждая тема предоставляет возможность рассмотреть интересные и достаточно сложные исторические и практические задачи. Тема “Прогрессии” к таким темам, безусловно, относится. Я в своей педагогической работе такую возможность стараюсь не упускать. Мне представляется очень важным помочь моим ученикам как бы в целом посмотреть на любую тему математики, увидеть какие она даёт возможности для практической деятельности, для применения на уроках по другим предметам. По моему мнению, такую цель помогают достигать уроки, подобные данному.
Чтобы эта цель была достигнута, или, по крайней мере, к ней удалось приблизиться, необходимо провести большую предварительную работу со всеми учениками. Важно до данного урока добиться прочного и уверенного знания всех определений и формул темы (для этого в начале темы выдаётся и вклеивается в тетрадь по теории “Вопросник”, с которым затем на каждом уроке регулярно проводится работа, устно и письменно - Приложение 1). Дата предстоящего урока учащимся объявляется заранее , производится разбивка на 3 – 4 группы - эмоционально комфортные команды (“уравновешенные” по количеству “условно слабых, средних, сильных” учеников). Группам даётся задание подготовить наглядный и информационный материал для стенда по заявленной теме (исторические справки, биографии учёных, исторические, практические и интересные задачи, кроссворды).
Что бы сделать работу на уроке более привлекательной, творческой и интересной, парты для удобной работы в группах сдвигаются специальным образом, все записи на уроке предоставляется возможность вести на карточках (свободное оформление часто помогает творчеству и “полёту мысли” - Приложение 2). Так как этот урок предшестует уроку подготовки к контрольной работе, то, естественно, что учащиеся уже владеют сформированными навыками решения задач. Ошибочным было бы предлагать учащимся задачи практической направленности и задачи, выходящие за рамки учебника и предмета только на этом уроке. Конечно, на уроках достаточно регулярно должны предлагаться такие задания, иначе даже “способные” и любящие математику дети не смогут в полной мере справляться со всеми задачами и получать удовольствие от урока. А наблюдать и сопереживать это состояние увлечённости и успешности, интересующихся математикой одноклассников, очень полезно и важно для “условно слабых” учеников, которым представится возможность отличиться, отвечая на вопросы по теории - “Вопросник - Приложение 1. И в ходе подготовки к уроку, и проводя сам урок я прилагаю все усилия, что бы он повысил интерес к математике, прошёл на высоком эмоциональном уровне, стал праздником и дал возможность бросить свежий взгляд на царицу наук.
Оценивание на уроке
1. Отвечать на вопросы на знание теории учитель предлагает учащимся из разных групп в произ-вольном порядке. Успешным ответом ученик приносит команде “3 балла”, и, по гиперссылке вызывается слайд “Молодец”, если же ответ неправильный, то команда может выдвинуть по своему выбору другого ученика, который правильным ответом принесёт команде “1 балл”. Если ответ снова неправильный, то по гиперссылке вызывается слайд с правильным ответом. Вопросы на знание теории я предлагаю в первую очередь “условно слабым” ученикам, т.к. именно на этом этапе данного урока они смогут отличиться, получить слова одобрения одноклассников и принести баллы команде.
2. Работы №1 и №2 (слайды №17 и №24) организованны одинаково: команда в течение 0,5–1 минуты (зависит от уровня класса), пока звучит музыка, должна написать ответ на карточке (Приложение 2) и отдать ее учителю. На слайде появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “3 балла”.
3. Работа №3 (слайд №25): учащиеся на вопросы заданий №1 и №2 отвечают устно – кто первым поднял руку, принося команде 1 балл правильными ответами. На задание №3 команда в течение 0,5 - 1 минуты (зависит от уровня класса), пока звучит музыка, должна написать ответ на карточке (Приложение 2) и отдать ее учителю. На слайде появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “3 балла”.
4. Работа №4 (слайд №29): команда в течение 3 - 4 минут (по уровню класса), пока звучит музыка, должна на карточке (Приложение 2) написать ответ и отдать учителю. По гиперссылке появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “5 баллов”, частично правильный ответ может принести от “1 до 3 баллов”.
5. Работа №5 (слайд №40): команда в течение 3 - 4 минут (по уровню класса), пока звучит музыка, должна на карточке (Приложение 2) написать ответ и отдать учителю. По гиперссылке появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “5 баллов”, ответ с 1 вычислительной ошибкой может принести от “ 3 балла”.
6. Работа №6 (слайд №43): команда в течение 0,5 - 1 минуты (по уровню класса), пока звучит музыка, должна на карточке (Приложение 2) написать ответ и отдать учителю. По гиперссылке появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “ 3 балла”.
7. Работа №7 (слайд №45): команда в течение 0,5 - 1 минуты (по уровню класса), пока звучит музыка, должна на карточке (Приложение 2) написать ответ и отдать учителю. По гиперссылке появляется правильный ответ. Правильный ответ приносит команде “ 3 балла”.
8. Задача №9 (слайды №47 - №48): учитель предлагает команде, проявившей к данному этапу урока наименьшую активность прочитать по ролям текст задачи – сценки, с выходом к доске. Это выступление представителей команды приносит команде, в зависимости от проявленного артистизма, “ 3 - 4 балла”. Затем на слайде появляются вопросы. Командам сообщается, что данная задача будет затем подробно решена на доске представителем команды, у которой через 2 – 3 минуты на карточке окажутся наиболее содержательные записи. Команды обсуждают решение задачи (в это время звучит музыка). Через указанное время учитель просматривает записи команд, оценивает их содержательность “0 – 3 баллами” и предлагает команде, набравшей больше баллов выдвинуть своего представителя для записи решения задачи на доске. Содержательные подсказки от других команд по ходу решения, если таковые будут, также поощряются баллами (“1 - 2 балла”).
9. Работа №11(слайды №55 - №56) – резерв – проводится и оценивается аналогично работе №5 (смотри п.5).
10. После записи домашнего задания и подведения итогов урока (слайды №50 - №54), во время слайда №54, объявляются баллы, набранные группами. Мне кажется, что всем учащимся группы, набравшей больше всего баллов, и следующей группы, в случае минимального разрыва в количестве баллов, можно (я поступаю именно так) выставить оценку “отлично”, а учащимся остальных групп оценку “хорошо”. Но, и это важный воспитательный момент урока, я предлагаю всем ученикам задуматься над вопросами: “Заслужил ли я эту оценку вместе со всеми? Хорошо ли я помогал зарабатывать баллы своей группе?”. Одноклассники оценят(!!!) честную и объективную самооценку. Так же я предлагаю командам, заработавшим оценку “хорошо”, обратиться ко мне с предложением выставить оценку “отлично” своему лидеру при работе на уроке, если для этого, конечно, есть основания.
Слайды.
Слайд №1.Тема урока: “Прогрессии”.
Слайд №2 - №4. Повторим теорию! Вопрос 1: Определение числовой последовательности. Приведи пример числовой последовательности.
На 1 – м слайде в группе задание и 2 гиперссылки: зелёный квадрат – переход ко 2-му слайду “Молодец”; красный квадрат – переход к 3-му слайду “Ответ на вопрос”. На втором и третьем слайдах гиперссылки: золотистая стрелка – переход к слайду со следующим заданием.
Этот комментарий относится так же к слайдам №5 - №7, №8 - №10, №11 - №13, №14 - №16, №18 - №20, №21 - №23, 326 - №28, №31 - №33, №34 - №36,№37 - №39.
Слайд №5 - №7. Повторим теорию! Вопрос 2: Какие способы задания последовательностей мы изучили? Соотнесите название способа задания числовой последовательности с заданными числовыми последовательностями:
1. Последовательность десятичных знаков числа 
(=3,1415922653...)
2. an=4n-1
3. an+1=an+2, a1 = 2,5
Слайд №8 - №10. Повторим теорию! Вопрос 3: Какую последовательность называют стационарной? Приведи пример стационарной последовательности.
Слайд №11 - №13. Повторим теорию! Вопрос 4: Какую последовательность называют возрастающей?
Слайд №14 - №16. Повторим теорию! Вопрос 5: Определение арифметической прогрессии.
Слайд №17. Работа №1. Перед вами последовательности чисел:
1) 7; 7; 7;...
2) 1; 4; 9; 16;...
3) 4; – 4; 4; – 4; 4...
4) 0,5; 1; 1,5; 2;...
5) – 2; 8; –12; 28;...
6) 1; 2; 4; 8; 16;... .
Под каким номером записана арифметическая прогрессия? Укажите разность арифметической прогрессии.
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляются песочные часы, по 2-му звучит музыка, по 3-му появляется ответ:
Ответ:
1) 7; 7; 7;..., d = 0;
4) 0,5; 1; 1,5; 2;..., d = 0,5.
Слайд №18 - №20. Повторим теорию! Вопрос 6: Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Слайд №№21 - №23. Повторим теорию! Вопрос 7: Определение геометрической прогрессии.
Слайд №24. Работа №2. Перед вами последовательности чисел:
1) 9; 9; 9;...
2) 1; 4; 9; 16;...
3) 5; – 5; 5; – 5; 5...
0,5; 1; 1,5; 2;...
5) – 2; 6; –18; 58;...
6) 1; 2; 4; 8; 16;...
Под каким номером записана геометрическая прогрессия? Укажите знаменатель геометрической прогрессии.
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляются песочные часы, по 2-му звучит музыка, по 3-му появляется ответ.
Ответ:
1) 9; 9; 9;..., q = 1
3) 5; – 5; 5; – 5; 5..., q = –1
6) 1; 2; 4; 8; 16;..., q = 2
Слайд №25. Работа №3.
1. Повторим значения степеней числа 2 с натуральными показателями: 23 = ? 26 = ? 28 = ? 210= ?
2. В геометрической прогрессии b1 = 3, q = 2, b7 -?
3. На складе находятся 10 контейнеров кубического вида, длины рёбер которых образуют геометрическую прогрессию:b1 = 2см, q = 2. Какой объём у наибольшего из контейнеров? Оцените искомую величину в кубических метрах. Для быстроты вычислений можно привести приближённое значение объёма.
На слайде присутствуют десять анимационных и один звуковой эффекты: по 1 – 7-му щелчкам появляются ответы на устные вопросы, по 8 – появляется третье задание, по 9-му песочные часы, по 10-му звучит музыка, по 11-му появляются решение и ответ к третьему заданию: Решение: т.к. b10 =b1q10-1=2 * 512=1024 (см), следовательно, ребро куба приближённо равно 10м, а его объём 1000м3. Ответ: 1000м3.
Слайд №26 - №28. Решение: т.к. b10 =b1q10-1=2 * 512=1024(см), следовательно, ребро куба приближённо равно 10м, а его объём 1000м3.
Слайд №29. Работа №4. Банк “Прогрессия” даёт своим вкладчикам 25% годовых. Семён открыл вклад в 100 тысяч рублей на 4 года. Какую схему снятия процентов вы ему предложите:
I. снимать проценты по вкладу в конце каждого года;
II. прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада.
Приведите достаточные для того, чтобы дать обоснованный совет вычисления.
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляется вопрос, по 2-му песочные часы, по 3 – му звучит музыка, гиперссылки: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №4.
Слайд №30. Решение задачи №4.
Слайд №31 - №33. Повторим теорию! Вопрос 9: Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
Слайд №34 - №36. Повторим теорию! Вопрос 10: По каким формулам находят сумму n первых членов арифметической прогрессии?
Слайд №37 - №39. Повторим теорию! Вопрос 11: По какой формуле находят сумму n первых членов геометрической прогрессии?
Слайд №40. Работа №5. Найдите значение суммы: 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 32 + 35, если известно, что ее слагаемые являются последовательными членами арифметической прогрессии.
На слайде присутствуют один анимационный и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляются песочные часы, по 2-му звучит музыка, гиперссылки: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №5.
Слайд №41. Решение и ответ к задаче №5.
Слайд №42. Историческая справка. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства... . Слово “ПРОГРЕССИЯ” латинского происхождения, буквально означает “ДВИЖЕНИЕ ВПЕРЁД”.
Слайд №43. Работа №6. В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”. Вопрос: о какой задаче, идёт речь, если пользоваться современными обозначениями?
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляется надпись: Сейчас решать задачу не надо!!! (Д/з), по 2-му песочные часы, по 3-му звучит музыка, гиперссылки: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №6. Слайд №44. Ответ к задаче №6.
Слайд №45. Работа №7. Самой известной задачей является легенда о шахматной доске. Шахматная игра была придумана в Индии в XIX веке. Изобретателя звали Сета. Сета в награду за своё изобретение потребовал от индийского правителя пшеницы, которой по его условию должно быть столько, чтобы на первую клетку шахматной доски можно было положить одно зерно, на вторую клетку – два, на третью – четыре, на четвёртую – восемь... . Вопрос: о какой задаче идёт речь, если пользоваться современными обозначениями?
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляется изображение шахматной доски, по 2-му песочные часы, по 3-му звучит музыка, гиперссылки: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №7.
Слайд №46. Ответ к задаче №7. Формулировка задачи №8 (домашней), вытекающей из задачи №7: Как вы думаете, велико ли количество зёрен пшеницы, которое затребовал Сета? Какой объём должен иметь амбар, способный вместить эту пшеницу, если допустить, что 10 зёрнышек имеют объём 1 см3? Укажите размеры амбара, соответствующие найденному объёму.
На слайде присутствуют два анимационных эффекта: по 1-му щелчку появляется Задача №8, по 2-му надпись: Сейчас решать задачу №8 не надо!!! (Д/з)
Слайд №47-48. Задача №9 - сценка “Мужик и купец”. Действующие лица: купец, купчиха, мужик (читаем по ролям).
Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил одного мужика и заключил с ним необычную сделку.
Купчиха. Какую сделку?
Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100 тысяч рублей, а я ему в 1-й день отдам копейку. Ты слышишь меня, всего копейку за 100 тысяч рублей! Во 2-й день отдам ему – 2 копейки! В 3-й день 4 копейки, потом 8 копеек и так целый месяц! А он то - мне целый месяц будет носить каждый день по 100 тысяч рублей.
Купчиха. И откуда же у этого глупца столько денег?
Купец. Это, жена, не наше дело. Об одном уже жалею, что заключил я с ним договор только на один месяц. Но боюсь я, что мужик поймёт, что сделка для него не выгодная, и не принесёт свои деньги.
Раздаётся стук в дверь и входит мужик.
Мужик. Получай купец свои деньги и отдай мне мою копейку!
Взяв свою копейку, мужик уходит.
Купец. Как же я жена боялся, что он сегодня не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт, да разорвёт сделку и заберёт свои деньги?
Купчиха. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, то не поймёт и завтра. Ведь как у нас говорят: “Если он дурак, то это надолго”
На слайде №48 присутствует анимационный эффект: по щелчку появляются задание “Необходи-мо вычислить доход каждого” и вопрос: “Кто же выиграет от этой сделки: мужик или купец?”, гиперссылка: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №9.
Слайд №49. Решение задачи №9.
Слайд №50. Домашнее задание. (Приложение 3)
1. Повторить теорию по теме “Прогрессии” (учебник стр. 171).
2. Решить задачи: №6 (задача Ахмеса), №10.
3. По желанию, на дополнительную оценку, оформив решение для стенда, решить задачу №8 (легенда о шахматах). Дать комментарий: использовать применённый на уроке приём оценки искомой величины.
На слайде №50 присутствуют две гиперссылки (золотистая стрелка): 1-я - переход к слайду №51 с формулировкой задачи №10; 2-я - переход к слайду №52 – подведение итогов урока. Слайд №51. Работа №10 (домашняя). Задачи на составление уравнений и систем уравнений. На слайде №51 присутствует гиперссылка (золотистая стрелка): возвращение к слайду №50 – продолжение формулировки домашнего задания.
Слайд №52. Подводим итоги урока.
I. Мы повторили теорию по теме “Прогрессии”. Каждый из вас сделал вывод о степени освоенности лично им теории, готовности к зачёту.
II. Вы получили опыт в решении практических и исторических задач по теме “Прогрессии”.
III. Вы подготовили к уроку интересный материал для стенда, и ученики других классов смогут с ним ознакомиться.
Завершая наш урок, прошу вас продолжить предложения: (гиперссылка: золотистая стрелка – переход к слайду №53).
Слайд №53. Прошу вас продолжить предложения: (Приложение 4)
1. Я на этом уроке узнал ... .
2. Больше всего меня на уроке удивило (заинтересовало) ... .
3. Было труднее всего ... .
4. Теперь я могу (я научился) ... .
5. Урок дал мне для жизни ... .
На слайде присутствует звуковой эффект: по щелчку звучит музыка, гиперссылка: золотистая стрелка – переход к слайду №54.
Слайд №54. Спасибо за урок!!! Задумайтесь над словами В.П. Ермакова “В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления”.
На слайде присутствует звуковой эффект: по щелчку звучит музыка.
Слайд №55. Резерв (после 4 этапа, если осталось более 2-3 минут, практическая задача медицинской направленности).
Работа №11. Курс водных процедур начинают с 20 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 мин. На сколько дней рассчитано лечение в указанном режиме, если продолжительность водной процедуры в заключительный день составит 1ч 30мин?
На слайде присутствуют два анимационных и один звуковой эффекты: по 1-му щелчку появляется картинка, по 2-му песочные часы, по 3-му звучит музыка, гиперссылка: золотистая стрелка – переход к слайду с решением задачи №11.
Слайд №56. Решение задачи №11 (резерв).
Слайд №57 - №59. Решение задач домашнего задания: задачи №6, №8, №11 (использовать на следующем уроке)