Теорема Виета. 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

Образовательная: 

  • исследовать квадратные уравнения и установить связи корней квадратного уравнения и его коэффициентов;
  • изучить теорему Виета.
  • Сформировать интерес к личности Франсуа Виета и его великой теореме.

Воспитательная: развивать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение, выдвижение гипотезы
Развивающая: развитие речи, умение излагать свой мысли, анализировать и делать выводы.

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная.

Тип урока: изучение нового материала.
 
Оборудование:

  • компьютер;
  • раздаточный материал.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Приветствие учителя;
Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Актуализация знаний, необходимых для ведения  новых понятий

Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3у² – 5у + 1 – 0
б)  – х² + Х – 3 = 0
в) 12х – 7х² + 4 = 0
г)  9х – 6 + х² = 0
д ) 5у – у² = 0
е)  х² – 7 = 0.

Какие из данных уравнений являются приведенными квадратными уравнениями? (г, е, т. к коэффициент а = 1).

3. Целеполагание и мотивация

Учитель говорит учащимся, что он может, зная корни уравнения, назвать само уравнение и предлагает назвать ему корни, раннее решенных приведенных квадратных уравнений.
Учащиеся называют свои корни уравнения, учитель называет уравнения.
Далее учитель сообщает учащимся, что и они смогут также легко и просто составлять уравнения и находить корни уравнения, не решая их.

4. Изучение нового материала

Постановка перед учащимися учебной проблемы.

На доске висит портрет Франсуа Виета.

Учитель. Это один из видных французских математиков, которого называют «отцом современной символической алгебры». Этот ученый занимался шифрами, поэтому чтобы узнать, кто же на портрете, нам с вами нужно тоже поработать шифровальщиками.
На столах лежат карточки с таблицей, в которой записаны квадратные уравнения и карточка с шифром. На экране эта же таблица и 1 задание (Приложение 1).
В тетрадях записываем число и выполняем  1 задание.

Задание 1.

а)Решите квадратные уравнения (1 вариант – под четными номерами; 2  вариант – под нечетными номерами;

б) Работая в паре, заполните таблицу.

 

Уравнение

Коэффициенты
уравнения

Корни
уравнения

Сумма
корней

х1 + х2

 

Произведение корней
х1 ∙ х2

Первый коэф.
а

Второй коэф.
в

Свободный член
с

 

х1

 

х2

1.

х2 – х – 2 = 0

 

 

 

 

 

 

 

2.

х² – 9х + 20 = 0

 

 

 

 

 

 

 

3.

х² + 2х – 48 = 0

 

 

 

 

 

 

 

4.

х² – 11х + 10 = 0

 

 

 

 

 

 

 

5.

х² – 16 = 0

 

 

 

 

 

 

 

6.

х² + 6х – 27 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х² + pх + q = 0

 

 

 

 

 

 

 

Таблица №2  

в) Расшифруйте  имя и фамилию этого ученого, используя данные таблицы №1, вначале взяв сумму корней, затем произведение (Приложение 1)

 

У

А

Н

Ф

А

Р

С

–

Е

Т

И

В

– 6

9

11

1

– 2

9

0

 

10

– 16

–48

20

 
Франсуа Виет.

Через  8-10 мин. на экране появляется готовая таблица и происходит самопроверка.

Учитель: Выясните, как Франсуа Виет связан с решением квадратных уравнений, для этого выполните следующее задание.

Задание 2: Проанализируйте таблицу и выдвиньте предположение о связи между суммой и произведением корней с коэффициентами приведенного квадратного уравнения и заполните последнюю строку таблицы. Происходит работа в парах.

Через 2-3 мин. заслушиваются ответы учащихся, обобщаются, уточняются.

Учитель: Сейчас мы с вами сформулировали свойство, справедливое для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.  Называется это свойство  теоремой Виета, которая и названа так в честь великого французского математика Франсуа Виета (1540- 1603 гг.).

Далее работа по учебнику. Учащиеся сравнивают свою формулировку с теоремой в учебнике на стр.127.

В тетрадях учащиеся записывают тему урока  «Теорема Виета» и формулируют цели урока.

Теорема:  Х1 + Х2 = – В
                                                                  Для приведенного  квадратного уравнения.
                 Х1 ∙ Х2 = С
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Затем один из учащихся делает небольшое сообщение о Фр. Виете. (Приложение 2)

5. Первичное закрепление. Задания проецируются на экране

1. а) У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна – 6, а произведение корней равно – 11:

а) х² – 6х +11 = 0                                      в) х² – 11х – 6 = 0
б) х² + 6х – 11 = 0                                     г) х² + 11х – 6 = 0?

б)  У какого из заданных квадратных уравнений произведение корней равно – 6, а сумма корней равна  11?

2. Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни (D ≥ 0)

Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:

а) х² – 19х + 1 = 0                                  г) х² – 6 = 0
б) х²  – 2х + 5 = 0                                   д) х² – 15х + 16 = 0.                                        
в) х² + 5х = 0

3. Проанализируете  данные и запишите квадратные уравнения:

а) х² ____х_____=0                                 в) х²_______х – 15 = 0
          Х1= – 2                                                       Х1 = – 5
          Х2 = 8;                                                     Х2 = ____
б)  х² _____= 0                                             г) х²____х ____ = 0
          Х1 =  8                                                        Х1 = Х2 = – 2
          Х2 = – 8

4. При каком значении р один из корней уравнения x² – px + 9 = 0 равен 1? Найти второй корень.

Задания творческого характера. Раздаются карточки. Работа организуется в парах. (Приложение 3)
а) Обозначим корни уравнения х² – 7х – 11 =0  Х1 и Х2. Не вычисляя корни X1 и Х2, найдите значения выражений:

  • X1 + Х2. = ______________________________________________________________
  • X1 ∙ Х2.= _______________________________________________________________
  • 1/ X1 + 1/ Х2.= ___________________________________________________________
  • X1² + 2 X1 * Х2. + Х2²= ____________________________________________________
  • X1² Х2.+ X1 Х2² =________________________________________________________
  • X11²+ Х2².= ______________________________________________________________

б) Дано уравнение х² – (2p²  – p – 6 )x + (8p – 1) = 0. Известно, что сумма корней равна – 5. Найдите значение параметра p.

Подведение итогов урока

  • Для каких уравнений сформулирована теорема Виета?
  • Для любого ли приведенного  квадратного уравнения можно найти сумму и произведение корней?
  • Чему равна сумма корней приведенного квадратного уравнения?
  • Чему равно произведение  корней приведенного квадратного уравнения?
  • А чему будет равна сумма и произведение корней  уравнения  ах²  + вх + с = 0?

(подсказка:  от общего вида квадратного уравнения перейти к приведенному)
Чтоб вы лучше запомнили, послушайте стихотворение, посвященное теореме Виета.

По праву достойна в стихах быть воспета 
О свойствах корней теорема Виета. 
Что лучше, скажи, постоянства такого: 
Умножишь ты корни и дробь уж готова: 
В числителе с, в знаменателе а, 
А сумма корней тоже дроби равна 
Хоть с минусом дробь эта, что за беда– 
В числителе b, в знаменателе a.

Домашнее задание: п.24 (форм. теоремы), решить № 580, 599 и для желающих
Дано уравнение х² – ( р +1)х +(2р² – 9р – 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно   – 21. Найдите значение параметра р.

Литература:

  1. Алгебра, учебник для 8 класса/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, С.Б. Суворова – М.:. Просвещение, 2008 г.
  2. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – 10-е изд.– М.:. Просвещение, 2005.– 144 с:
  3. http://mathem.hut1.ru 
  4. Википедия