Восхождение на математический Олимп. Тема: «Решение прямоугольных треугольников»

Цели урока:

• Образовательные: закрепить знание тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, научиться находить неизвестные элементы прямоугольного треугольника по известным двум его элементам, применять теоретические знания для решения практических задач.
• Развивающие: учиться грамотно формулировать свои мысли, развивать умение анализировать, обобщать, формировать правильную математическую речь.
• Воспитательные: воспитание интереса к математике, умения проявлять настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: смешанный.

Прогнозируемый результат:

• знать определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, алгоритмы решения прямоугольных треугольников;
• уметь находить неизвестные элементы прямоугольного треугольника по известным двум его элементам.

Оборудование урока:

• Программное обеспечение: презентация Microsoft PowerPoint “Восхождение на математический олимп”;
• Техническое обеспечение: интерактивная доска ActivBoard.
• Раздаточный дидактический материал: карточки с задачами, опорные конспекты.

План урока.

1. Организационный момент. Постановка цели урока, объяснение правил перехода по этапам.
2. Актуализация знаний.
3. Объяснение нового материала
4. Первичное закрепление изученного материала. Выполнение упражнений.
5. Решение практических задач.
6. Релаксация. Исторические сведения.
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок за урок. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие учителя.

Сегодня нам будет нелегко: нам предстоит покорить математический Олимп. (Презентация, слайд № 1)

А тема нашего урока: “Решение прямоугольных треугольников”. Мы привыкли решать уравнение, задачи, примеры... а что значит: решить треугольник? (слайд № 2) Наша цель: узнать, что значит “решить треугольник” и научиться выполнять это на практике.

Маршрут восхождения на олимп указан на схеме. (слайд № 3) Номера его этапов - станций спрятались за знаками вопросов (в задачах на готовых чертежах). Найдите числа от 1 до 5, проложите маршрут и в путь! (слайд № 4)

II. Актуализация знаний.

1 этап. “1” спрятано в задаче:

Итак, первой у нас на пути станция Теоретическая (слайд №5)

Для начала проведём теоретическую разминку (разминка сопровождается показом сменяющихся слайдов)

Выберите верное утверждение: (слайды №6 -12)

1. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

Л - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Н - отношение противолежащего катета к прилежащему.

П - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется

Ф - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

А - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

О - отношение противолежащего катета к прилежащему.

3. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

З - отношение противолежащего катета к гипотенузе

Н - отношение прилежащего катета к противолежащему

С - отношение противолежащего катета к прилежащему

А - отношение прилежащего катета к гипотенузе

4. Тангенс угла равен

Д - синусу этого угла

К - отношению синуса к косинусу этого угла

Г - отношению косинуса к синусу этого угла

П - косинусу этого угла

5. Катет, противолежащий углу a равен

У - произведению гипотенузы на тангенс угла a

М - произведению гипотенузы на косинус угла a

А - произведению гипотенузы на синус угла a

6. Катет, прилежащий к углу a равен

Л - произведению гипотенузы на косинус угла a

Э - произведению гипотенузы на синус угла a

Ю - произведению гипотенузы на тангенс угла a

7. Катет, противолежащий углу a равен

И - произведению гипотенузы на синус угла a

Ь - произведению другого катета на тангенс угла a

Р - произведению гипотенузы на тангенс угла a

Историческая справка: Блез Паскаль - знаменитый французский математик, механик, физик, литератор и философ (1623-1662). Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии. (слайд №13)

III. Объяснение нового материала.

2 этап. “2” спрятано в задаче:

Мы прошли первую станцию, и движемся ко второй. Вторая станция “Новые открытия”. (Презентация, слайды №14,15)

Учащимся предлагается решить задачу №1(слайд №16):

Дано: D РКМ, К = 90⁰

РК = 1 см, РМ = 2 см.

Найти: Р, М, КМ.

Решение:

1) Т.к. РК = 1/2 РМ, то М = 30⁰ (св. прямоуг. треугольника)

2) ? Р = 90⁰ - М = 60⁰ (св. острых углов прямоуг. треугольника)

3) (по теореме Пифагора)

Ответ: 60⁰; 30⁰; см.

После того, как задача решена, перед учениками ставятся вопросы:

“Какие элементы прямоугольного треугольника были известны?”

(Гипотенуза и катет)

“Какие еще элементы треугольника мы нашли?”

(Второй катет и острые углы)

Определение (слайд №17):

Нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника по известным двум его элементам называется решением прямоугольного треугольника.

Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.

Для решения треугольников необходимо знать соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Еще раз повторяем в виде формул (слайды №18,19):

Т. е. катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего этому катету, или на косинус угла, прилежащего к нему.

Т. е. гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, деленному на синус угла, противолежащего этому катету, или на косинус угла, прилежащего к нему.

Далее рассматриваются возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам, с комментариями учащихся заполняется таблица: (слайд №20)

IV. Первичное закрепление изученного материала. Выполнение упражнений.

3 этап. “3” спрятано в задаче:

Прошли станцию 2, впереди станция 3 “Практическая”. (слайды №21,22)

Решение задач: (слайд №23)

№2 Решить треугольник MNK.

Ученик, работающий у доски, определяет: какие элементы треугольника MNK надо найти. (Одновременно один ученик самостоятельно решает на меловой доске № 189 (2) из учебника.)

Дано: D МNК, К = 90⁰

МК = 3 см, М = 30⁰.

Найти: МN, NК, N

Решение:

NК = КМ * tg30⁰

N = 90⁰ – 30⁰ =60⁰.

Ответ:

№ 3 (слайд №24)

Дано: ACB = 90⁰

CD AB

AB = m

A = a

Найти: AC, BC, AD

Решение:

Из треугольника АВС:

Из треугольника АСD:

Ответ: AC = m * cosа, BC = m * sinа, AD = m * cos²а

№ 4 (слайд №25)

Дано: ABC = D = 90⁰

BC = a

CAB = a

ABD = b

Найти: AD

Решение:

Из треугольника АВС:

Из треугольника АВD:

Ответ: AD = a * ctg a * sin b .

V. Решение практических задач

4 этап. “4” спрятано в задаче:

Успешно преодолели 3 станцию,

И нас ждет станция 4 “С геометрией по жизни”.

(слайды №26,27)

Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника. (слайд №28)

Задача № 5. (слайд №29)

Жители древней Америки, о которых вы возможно читали или ещё только прочитаете в книгах Фенимора Купера и Майн Рида, были искусными архитекторами. По всему континенту разбросаны величественные пирамиды майя. Самая загадочная из них пирамида Кукулькана на полуострове Юкатан в Мексике с храмом на вершине. Пирамида была построена в 11 веке, но триста лет спустя город, где она находится, был покинут своими жителями по невыясненным до сих пор причинам. Пирамиду поглотили джунгли.

Только в 19 веке древний город и сама пирамида были вновь обнаружены археологами. Началась реставрация, в ходе которой было выяснено, что пирамида обладает множеством оптических и акустических эффектов и несёт в себе астрономическую информацию. Но вначале учёные смогли измерить только длину её основания – 55,5 м и длину боковой грани – 31 м. (слайд №30) Затем им удалось измерить угол между этими отрезками – 52 градуса, после чего возник вопрос, а какова же высота пирамиды? Провести измерения высоты на местности не было никакой возможности, тогда на помощь археологам пришла математика, и они вычислили эту высоту.

Проведём высоту из вершины пирамиды и посмотрим – не появилась ли на слайде знакомая нам геометрическая фигура? (Треугольник) (слайд №31)

Определите вид этого треугольника. (Прямоугольный треугольник)

Что нам достаточно найти в этом треугольнике, чтобы достичь цели ? (Сторону АС)

Что нам известно в данном треугольнике? (Гипотенуза и острый угол В)

А так же мы знаем определения синуса, косинуса и тангенса острого угла. Поможет ли какое-нибудь из данных определений решить нашу проблему? (Синус)

Почему именно синус? (Он связывает вместе гипотенузу, угол и искомый катет)

Остался один вопрос – а можно ли найти значение синуса, зная только градусную меру угла? (слайд №32)

Ответ прост – можно, и это можно было сделать ещё более двух тысяч лет назад, во времена греческого астронома Гиппарха, который первым составил таблицы значений синуса, косинуса и тангенса. Сегодня все эти значения собраны в специальном сборнике Владимира Модестовича Брадиса “Четырёхзначные математические таблицы”.

Значение синуса возьмём из таблицы. (sin 52^o» 0,79) (слайд №33)

Как найдем катет АС? (Гипотенузу умножим на синус 52 градусов)

Вам остаётся только выполнить умножение (25,28 м)

Округлим ответ до целых. Итак, высота пирамиды индейцев майя? (25 м)

Задача №6 (слайд №34)

С самолета радируют капитану рыболовецкого судна, что самолет находится над косяком рыбы на высоте 1000 м. С судна определяют, что угол, под которым виден самолет над горизонтом, равен 26⁰. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние от судна до косяка рыбы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.

 

Ученик у доски решает задачу, записывая решение на слайде № 35 презентации, где приготовлен чертеж:

Решение:

ВС = 1000 * ctg 26⁰ 1000 * 2,050 2050 (м).

Ответ: 2050 м.

Резервная задача №7, можно предложить ее в качестве творческого домашнего задания. (слайд №36)

Высота пятиэтажного дома 15 м, а длина пожарной лестницы 30 м. На какой угол должна быть поднята лестница, чтобы достать до крыши дома, если её основание расположено на высоте 2 м от земли?

(Чертеж приготовлен на слайде презентации № 37.)

Решение:

sin a = 13/30 0, 4333

a 25⁰ 36^/ 26⁰.

Ответ: a   26⁰.

VI. Релаксация. Исторические сведения

5 этап. “5” спрятано в задаче:

Успешно преодолели 4 станцию, впереди станция 5 “Историческая”. (слайды №38,39)

Очень интересна история возникновения термина “синус”. (слайд №40)

Впервые зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника, были найдены древнегреческим астрономом Гиппархом во 2 веке до н.э.

В 4 веке появился уже специальный термин в трудах по астрономии индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Поскольку вычисления синуса тогда были связаны с полухордами в окружности, очень похожими на тетиву натянутого лука, то Ариабхата так и назвал это отношение “полутетива” или “ардхаджива” на санскрите. Затем термин сократился до просто “джива”.

В 9 веке арабские учёные при переводе трудов Ариабхаты не стали оставлять буквальный смысл этого слова, а заменили созвучным арабским “джайб” - “впадина”, тем самым потеряв первоначальное значение термина.

Европейские же учёные добросовестно перевели “впадину” на латынь, получив слово “синус”, которым мы и пользуемся до сих пор.

История возникновения термина “косинус” не так интересна – это просто “дополнительный синус”.

“Тангенс” был известен ещё в 10 веке учёным Востока, а в Европе его открыли заново только в 14 веке, а в 16 он получил современное звучание, которое означает “касающийся”, что так же связано с окружностью.

Современные короткие обозначения были введены в 17 веке.

VII. Подведение итогов. Постановка домашнего задания.

Мы с вами успешно прошли все станции, и на вершине математического Олимпа водрузили наш флаг. (слайд №41)

Во время восхождения мы узнали, что значит решить треугольник, смогли попрактиковаться в этом, а также познакомились с историческими сведениями.

Запишите домашнее задание: параграф 12; № 188 (1,3), 189 (1) (слайд №42)

Выставление оценок за урок.

“Спасибо за урок! До свидания!” (слайд №43)

Использованные ресурсы.

1. Учебник “Геометрия 8”. Авторы: Кайдасов Ж. и др. Алматы, “Мектеп”, 2012.
2. “Задачи с практическим содержанием” (http://geometry2006.narod.ru/Problems/prakt.htm).
3. “Задачи по геометрии для 7-11 классов”. Авторы: Зив Б.Г. и др. Москва, “Просвещение”, 1991.
4. План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему: “Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника”. Автор: Филин П.В., МБОУ “СОШ № 46” г. Брянска.
5. Фотографии гор. (http://jankovoy.com/night_scenes)