Формирование умений проведения доказательства на примере темы курса алгебры 9-го класса «Целое уравнение и его корни»

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (187 кБ)

Подготовка к уроку.

  • Постановка сценки.
  • Подготовка презентации с заданиями.
  • Распечатка заданий к уроку на каждого ученика для оптимизации организации работы на уроке.

Тип урока.

  • Обобщающий урок по теме.
  • Формирование универсальных учебных действий.
  • Все упражнения объединены одной общей мыслью: путём цепочки рассуждений провести доказательство.
  • Все задания начинаются словами “доказать или (опровергнуть)...”.
  • Необычность ситуации - показать, что “доказывать” приходится не только на уроке геометрии, но и на уроке алгебры.

Цели.

  • Ученики определяют степень многочлена; находят целочисленные корни; доказывают, что уравнение не имеет рациональных корней, решают уравнения с параметрами; решают нестандартные уравнения.
  • Ученики учатся рассуждать, обосновывать и доказывать; овладевать компонентами, приёмами и методами доказательства; проводить доказательство строго с опорой на определения и теоремы.
  • Учитель убеждает, что любое положение должно быть аргументировано обосновано.
  • Учащиеся имеют возможность убедиться в том, что “доказательство” - образец мыслительной деятельности человека, который лежит над предметом. Любая наука строится единообразно.
  • Учащиеся знакомятся с изречениями, положениями, высказываниями известных людей о значении доказательства.

Ход урока

I. Подготовка к восприятию материала. Мотивация.

Учитель. Итак, “Целое уравнение и его корни”. Сценка. Учитель, включаясь в роль: “Боже мой! Откуда такой сильный ветер?” Ведущий. Да, ветер очень сильный. Но это обстоятельство не помешало Шерлоку Холмсу и его неизменному спутнику Ватсону отправиться в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности. Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека.

- Не могли бы Вы, хотя бы приблизительно, сказать нам, где мы находимся? - спросил его Холмс.

Человек задумался на некоторое время и затем ответил: “ Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара”. Очередной порыв ветра понес шар дальше в неизвестном направлении.

Черт бы побрал этих математиков! - раздраженно проговорил Шерлок Холмс.

А почему вы считаете, что этот человек был математиком? - как всегда удивился Ватсон.

Ну, во-первых, прежде чем ответить, он подумал; а во- вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас. Язык математики должен быть точным. Всякое его искажение, любая маленькая неточность разрушает логику рассуждений. А что за математика без логики?

(Ведущий) Удивительная способность человеческого разума получать новые факты и доказывать истинность каких-то утверждений, не прибегая к опыту, а только рассуждая.

Учитель. Этот незатейливый математический анекдот напоминает: хорошо бы всем мыслить, как математики. Вот эту удивительную способность надобно развивать.

Деятельность учеников Деятельность учителя, как координатора идей.
II. Устная работа.

1. Докажите, что уравнение:

а) не имеет корней;

б) 3+7х – 47=0 не имеет отрицательных корней.

2. Доказать, что уравнение

- 131 =0 не имеет целых корней.

3. Числа 13 и -24 являются корнями уравнения . Укажите наибольший корень уравнения.

 1. Левая часть уравнения положительна

2. (доказательство методом “от противного”) если есть отрицательные корни, то левая часть при любом значении переменной отрицательна.

3. Целые корни находятся среди делителей свободного члена; проверяем -1, +1, -131, +131

4. Уравнение может иметь 4 корня; левая часть – чётное выражение, значит, -13 и +24 – тоже корни. Ответ: 24 – наибольший корень.
III. Основная часть.

1. Докажите, что при любом “b” уравнение является уравнением 7-й степени.

Доказательство.

-

( D< 0

Не существует таких “b”, при которых коэффициент при равен “0”.

 1.Понятие степени уравнения.

2.Каков алгоритм действий для определения степени уравнения? Раскрыть скобки, представить в виде Р(х)=0, расположить в порядке возрастания или убывания.
2. Докажите, что число + является решением уравнения

и на основании этого факта докажите, что число + - иррациональное.

Доказательство.

1. - 10 + 1=0

- 10

; 24 – 25+1=0

Число+ - корень уравнения.

2. Уравнение не имеет целых корней; покажем, что оно не имеет рациональных корней.

Предположим противоположное тому, что надо доказать:

несократимая дробь (p корень уравнения , тогда верно равенство:

Правая часть делится на “q”. Значит, “р” делится на “q”. Получили противоречие с тем, что - несократимая дробь. Значит, наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т. Е. уравнение не имеет рациональных корней.

 Доказательство от противного. Это способ доказательства, который так любил Евклид, является одним из наиболее мощных орудий математики. (Харди Г.)

 

1. Алгоритм доказательства от противного.

2. Понятие числа: натуральное, целое, рациональное, иррациональное.

3. Свойства делимости.
3. Доказательство внутри решения, как его часть.

Решить уравнения, используя свойство монотонности функций:

А) Ответ: 1

Б) Ответ: 2

В) Ответ: 2

Г) Ответ: 2

 Алгоритм рассуждений.

1. Обозначим левую часть уравнения через f(x).

2. Сумма возрастающих функций - возрастающая функция.

3. Сумма убывающих функций - убывающая функция.

4. Монотонная функция принимает каждое своё значение лишь при одном значении аргумента.
4. Решите уравнение: – = 2

Обозначим левую часть через функцию: f(x)= –

Укажем область определения: х -3.

Доказали, что уравнение имеет один корень.

Учитывая, что х -3 и квадратный корень должен извлекаться, пробуем х=-2 и х=1.

Ответ: х=1.

 1.Функция убывающая, как сумма убывающих функций.

2. Монотонная функция принимает каждое своё значение лишь при одном значении аргумента.
5. Решите уравнение, используя свойство монотонности:

1.Обозначим левую часть через функцию: f(x)=

Функция – чётная, график симметричен относительно оси ОУ. Проведём исследование для х 0. Данную функцию можно рассматривать, как сумму двух функций

f(x)=, обе для условия х 0 являются возрастающими, значит, принимают значение “0” один раз. Доказали, что уравнение имеет один корень (х=3). А так как график чётной функции симметричен относительно оси ОУ, то исходное уравнение имеет 2 противоположных корня. Ответ: -3 и 3.

6. Решить уравнение:

а) 2001 – 1999 =0

Решение.

1) Х1 = -1; 2) по теореме Виета х1х2= -

Ответ: -1;

б) 2000

Решение.1) Х1 = 1; 2) по теореме Виета х1х2= -

Ответ: 1; -

5. Дополнительные вопросы и теоретические обоснования.

1. Как называется данное уравнение?

2. Способ решения – введение новой переменной.

3. Свойство графика чётной функции.

 

 

 

6. Коэффициенты уравнения громоздки для использования формул корней квадратного уравнения. Какой ход рассуждений приводит к быстрому решению данного уравнения?

1. Целые корни находятся среди делителей свободного члена.

2. Теоремы Виета.
Заключительная часть. Диалог учителя со своими учениками.

1. Какое слово чаще всего употреблялось на уроке?

2. Как может звучать тема урока?

3. Как понимать японское изречение: “Доказательства лучше рассуждений”.

4. Как понимать положение римского права: “Бремя доказательства лежит на том, кто утверждает, а не на том, кто отрицает?”

5. Ватсон напомнил: “Математика – способ приучать ум к точному и последовательному мышлению”.

6. Это не значит, что всем людям необходимо быть глубокими математиками, но, усвоив тот способ рассуждения, к которому неизбежно приобщает наука, люди способны будут переносить его в другие области знаний, с которыми им приведётся иметь дело.

 

1.“Доказать”

2.Например, “Учимся рассуждать и доказывать”

 

4. Можно привести пример: Н.И.Лобачевский доказывал право на существование Неевклидовой геометрии, несмотря на то, что некоторые современники считали его “не в себе”.