1. В правильной четырехугольной пирамиде сумма высоты пирамиды и апофемы равна 4. В пирамиде, имеющей наибольший объем, найдите угол между апофемой и основанием пирамиды.
2. В основании пирамиды МАВС равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АВ=ВС), МВ перпендикулярно плоскости АВС, МВ+ВС=3. Найти угол между ребром АМ и плоскостью АВС в пирамиде, имеющей наибольший объем.
3. В цилиндре расстояние от центра нижнего основания до точки на окружности верхнего основания равно м. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы площадь боковой поверхности была наибольшей?
4. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом А равным , АВ:АД=3:1. Известно, что сумма ребер, выходящих из точки А равна 6 дм. Найти сторону основания АД в призме наибольшего объема.
5. В конусе сумма длин диаметра основания и высоты конуса равна 4. Длина радиуса основания конуса может принимать любые значения из промежутка (0,5;1,5). Найдите объем конуса, имеющего наибольшую площадь осевого сечения.
6. Периметр осевого сечения цилиндра равен 8, а длина основания может принимать значения, принадлежащие промежутку [1;3]. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, имеющего наибольшую площадь осевого сечения.
7. Периметр боковой грани правильной треугольной призмы равен 12 см. При какой длине стороны основания призмы ее объем будет наибольший?
8. В правильной четырехугольной призме длина диагонали равна , а высота принадлежит промежутку [1;4]. Какой должна быть высота призмы, чтобы объем призмы был наибольшим?
9. В основании прямой призмы лежит параллелограмм АВСД, у которого угол ВАД равен и АВ:АД= 3:1. Известно, что А+АВ+АД= 6 дм. Найдите длину АД при которой объем призмы будет наибольший.
10. В правильной пирамиде МАВСД, МО – высота, МО+АВ= 3. Длина отрезка АВ принадлежит промежутку (0;3). Каким должен быть угол между плоскостями МАВ и АВС, чтобы объем пирамиды был наибольшим?
11. Периметр осевого сечения конуса равен 10 дм. Найдите наибольший возможный объем этого конуса.
12. Площадь полной поверхности цилиндра равна 54. Найдите длину радиуса основания цилиндра наибольшего объема, если радиус принадлежит промежутку [1;4].
13. В основании пирамиды МАВСД прямоугольник АВСД, причем АД=2ДС, МО – высота пирамиды, МО+ДС=6. ДС принадлежит промежутку [1;5]. Какова должна быть длина отрезка ДС, чтобы объем пирамиды был наибольшим?
14. Найдите наименьшую возможную площадь полной поверхности цилиндра, если его объем равен 16 и радиус принадлежит промежутку [1;4].
15. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна 54 . При какой длине основания призмы объем ее будет наибольшим.
16. Найдите наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, апофема которой имеет длину 2.
17. Какой наибольший объем может иметь конус, образующая которого равна 2.
18. Основание пирамиды DABC равнобедренный прямоугольный треугольник (угол А прямой). Боковое ребро ДА перпендикулярно плоскости основания. Сумма длин трех ребер, выходящих из точки А, равна 12 см. Какой длины должны быть эти ребра, чтобы оббьем пирамиды был наибольший.
19. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, в котором угол С равен , АС:СВ=1:2, МС – высота пирамиды, МС+АС+СВ= 9дм. Найти АС, при котором объем пирамиды будет наибольшим.
20. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, острый угол которого равен . Сумма длин трех ребер параллелепипеда, выходящих из вершины этого угла, равна 24 см. Какой длины должны быть эти ребра, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим.

ОТВЕТЫ:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
arcsin	Arctg5		1		4	4	3	1
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	54	4	24	3			4;4;4	2	8