Урок по теме "Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии"

Разделы: Математика


Учебник:  «Алгебра  9  класс», под ред. С. А. Теляковского

Цели урока:  

  • Предметные: повторить определение арифметической прогрессии, формулы n–го члена, свойство членов прогрессии; вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, сформировать у учащихся умения применять данную формулу при решении задач.
  • Развивающие: развитие способности  к обобщению, сравнению; эмоционального восприятия математических объектов.
  • Воспитательные: формирование представлений о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры.

Задачи:

  • изучение способа сложения первых n–натуральных чисел;
  • развитие творческих способностей, нестандартного математического мышления, способностей самостоятельного поиска путей решения задач;
  • повышения интереса к математике.

Этапы урока:

  1. Организационный момент
  2. Актуализация знаний
  3. Постановка проблемы
  4. Постановка учебной задачи
  5. «Открытие нового»
  6. Первичное закрепление
  7. Домашнее задание
  8. Рефлексия деятельности (итог урока)

ХОД УРОКА

Учитель

Ученик

1. Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, высказывает добрые пожелания.
Эпиграф к уроку «С малой удачи начинается большой успех»

Ученики приветствуют учителя. Садятся на места.

2. Актуализация знаний

Повторение:

  • дайте определение арифметической прогрессии;
  • формула n-го члена арифметической прогрессии;
  • свойство членов арифметической прогрессии.

Устная работа.

  • Последовательность уn задана формулой n-го члена уn = 5n + 1. Найдите у1, у4, у20, у100.
  • Последовательность задана формулой аn = 15 – 3n. Найдите номер члена последовательности, равного 0; –3.
  • Зная, первые два члена арифметической прогрессии 3; –2; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.
  • n): 3; 7; … – арифметическая прогрессия. Найдите: 1).  d. 2). а17. 3). Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 Регулятивные, коммуникативные УУД

3. Постановка проблемы

Классу предлагается решить несколько занимательных задач.

1) Можно ли циферблат часов разделить на 6 частей так, чтобы в каждой части находилось по два числа, причем суммы этих двух чисел в каждой из шести частей были бы равны между собой? (см. рис.1)

Рис. 1

2) Не прибегая к последовательному сложению, сосчитать, сколько очков на всех десяти косточках домино. (см. рис.3)

Рис. 3

 

 

 

 

 

А теперь рассмотрим арифметическую прогрессию, представляющую собой ряд натуральных, и найдем сумму ста первых ее членов.

«Совет мудреца»

Задача очень не проста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Давным-давно один мудрец
Сказал, что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.
Пять первых связок изучи,
Найдешь к решению ключи!

Рис. 5

 

 

Замечание. Сначала открывается первое четверостишье. Если учащиеся ответ не дадут, то учитель открывает подсказку – остальную часть стихотворения.

Сколько таких пар?
Как вычислить сумму?
Рассказать учащимся о маленьком Карле Гауссе, который решил эту задачу, будучи 10-летним учеником. (см. рис. 6)
Когда учитель предложил ученикам третьего класса сложить все числа от 1 до 100 включительно, рассчитывая при этом надолго занять их работой, маленький Карл моментально подошел с готовым ответом. Возможно, он заметил, что каждая из сумм 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … равна 101, а таких сумм 50.

Предлагают различные варианты решения.

Верный ход решения.

а) Сумма всех чисел, обозначенная на циферблате равна 78, т.е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +11 + 12 = 78.
б) А так как нам нужно циферблат разделить на 6 частей, то получаем
78 : 6 = 13. (см. рис.2)

Рис. 2

Ответ. Циферблат можно разделить на 6 равных частей.

а). Приходим к необходимости вычислить сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
б). Образуем пары чисел, которые нужно сложить: 1 и 10, 2 и 9, 3 и 8, 4 и 7, 5 и 6.
в). Сумма очков в каждой паре равна 11, а таких пар пять, находим 11• 5 = 55. (см. рис.4)

Рис. 4

Ответ. 55.

Регулятивные, познавательные УУД

Рис. 6

Учащиеся предлагают сложить пары чисел 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т.д., замечают, что сумма одинаковая.

Ответ. 50.
Ответ. Сумма равна 101 • 50 = 5050.

Учащиеся рассказывают исторические сведения о том, что  многочисленные исследования К. Гаусса в области алгебры, теории чисел и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики, астрономии, физики.
Личностные, познавательные УУД

4. Постановка учебной задачи

Обсуждение затруднений («Почему возникли затруднения?», «Чего мы еще не знаем?»); проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить, или в виде темы урока.

Ответ учащихся: не знаем формулу, как найти сумму первых n членов любой арифметической прогрессии.

5. «Открытие нового»

С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы провели при вычислении суммы первых ста натуральных чисел, можно найти сумму первых n членов любой арифметической прогрессии. (см. рис.7)

Что получится,  если в формулу вместо аn подставить формулу n-го члена арифметической прогрессии? (см. рис.8)
Замечание. При вычислении суммы первых n членов арифметической прогрессии учащиеся могут использовать ту из двух формул, применение которой в каждом конкретном случае более целесообразно.

Путем рассуждений учащиеся выводят формулу, учитывая то, что сумма членов арифметической прогрессии, равностоящих от ее концов, есть величина постоянная.

Рис. 7

Ответ. Еще одна формула для вычисления суммы первых n членов любой арифметической прогрессии.

Рис. 8

Регулятивные, познавательные УУД

6. Первичное закрепление

В процессе первичного закрепления примеры решаются с комментированием. В  ходе работы учитель оказывает помощь учащимся класса.

№ 610. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член 10 и разность равна 3.