Деятельностная цель: формирование у обучающихся способностей к обобщению, структурированию и систематизации материала по теме урока.
Образовательная цель: систематизировать учебный материал и выявить логику развития содержательной линии предмета, укрепить связи между основным и дополнительным образованием на базе факультатива ЗФТШ при МФТИ, подготовить учащихся к решению задач высокого уровня сложности на ЕГЭ.
Воспитательная цель: пробудить интерес к самостоятельному решению задач, побудить учащихся к активному поиску рациональных путей решения задач, развить умение выразить собственную позицию в дискуссии, развить умение формулировать и аргументировать предложения по продвижению к достижению результата.
Образовательные задачи: преодоление барьера перед необходимостью решения нестандартных задач; формирование базы способов алгоритмизации решения задач с параметром, отбор методов решения задач на основе обобщения ранее изученного материала, оценка своих достижений на данном этапе и формирование планов по дальнейшему самообразованию, оптимизация системы домашних заданий, ознакомление с возможностями дистанционного обучения по теме урока.
Развивающие задачи: развитие логического мышления, памяти, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы, содействие развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях, развития умений устанавливать причинно-следственные связи, развитие критического мышления.
Воспитательные задачи: воспитание положительного интереса к изучаемому предмету, обеспечение условий для овладения учащимися алгоритмом решения проблемных и исследовательских задач, укрепление коллективно-творческой среды, обеспечение условий для развития умений высказывать свою точку зрения.
Формы, методы и педагогические приемы.
- Методы обучения: проблемного изложения, исследовательский.
- Выделение гипотезы, проектирование результата, планирование работы.
- Основное внимание – мотивации деятельности учащихся.
- Методика коллективной творческой деятельности, информационно-коммуникативная методика, проблемно – поисковая методика.
- Фронтальная проверка готовности к уроку – подготовь каверзный вопрос.
- Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения.
- Построение проекта выхода из затруднения.
- Рефлексия учебной деятельности.
Модели обучения.
- Коммуникативная, дискуссионная модель обучения
- Информационно – коммуникативная (использование информационных ресурсов).
- Групповое и межгрупповое взаимодействие, смена видов деятельности учащихся
Развитие критического мышления: вызов, осмысление, рефлексия.
Возможности выполнения домашнего задания после завершения обсуждения:
- Полное решение предложенных задач.
- Создание кластеров по отдельным заданиям группы и выбор критериев для его оценивания.
Возможные изменения домашнего задания зависят от хода проведения урока. Фактически, учащиеся имеют опережающее домашнее задание для самостоятельной работы.
Прием “Проблемная ситуация”
Обучение в данном классе курсу “Алгебра и начала анализа” происходит по УМК С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина. В данном курсе не выделяется времени для изучения темы “Решение тригонометрических уравнений с параметрами”. Для многих учащихся класса набор соответствующих задач является весьма сложным, и они не предполагают решать такие задачи в ходе итоговой аттестации. Однако, при подготовке к участию в олимпиадах вузов избегать этой темы нельзя. Данный урок является одним из связующих этапов изучения таких основных тем курса, как графики элементарных функций, решение квадратных уравнений и неравенств и задач, сводящихся к ним, использование метода интервалов, составление схем равносильных переходов.
Учащимся заранее (за неделю до проведения занятия) предлагается набор из 10 заданий, которые они выполняют дома, разбившись на группы по 5-6 человек. Каждой группе предлагается выбрать три задачи, решение которых они могли бы показать одноклассникам (оформление данных задач необходимо представить в виде презентации), одно из решений должно обязательно быть неверным.
Реализация данного приема предполагает:
- создание ситуации противоречия между известным и неизвестным. Известным являются все отдельные возможные этапы исследования и решения. Неизвестным является возможность установления связей между этими этапами для формирования алгоритма решения.
- самостоятельный выбор для решения и презентации отдельных задач внутри мини-групп;
- коллективная проверка результатов;
- выявление причин разногласий результатов или затруднений выполнения заданий;
- рефлексия с самооценкой уровня готовности к решению заданий по данной теме.
Сформулированная цель урока – “Обобщение методов и приемов решения тригонометрических уравнений и исследования тригонометрических функций”.
Возможный вопрос со стороны учащихся: “А при чем здесь параметры?”. Желательно подвести учеников к выводу: “Если ты можешь решить не одну задачу, а целый блок задач, то твои возможности в будущей деятельности существенно расширяются”.
Проверка готовности к уроку.
Учащиеся рассаживаются по группам, в составе которых они готовились к представлению результатов домашней работы.
Для того чтобы оценить исходные условия, учитель раздает группам таблицы и предлагает разнести номера задач в соответствии с предложенной классификацией.
Предлагаемые задания.
Задание 1. Найдите все значения параметра а,
при каждом из которых уравнение cos3x
–(4a+1)cos2x+(3a2+4a)cosx-3a2 = 0 имеет на
отрезке 
четное число корней.
Задание 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнения (a+1)cos4x -26acos2x +14a +1= 0, 4sin3x +6sin2x – 2sinx -3 = 0 равносильны.
Задание 3. Найдите все значения параметра а,
при которых уравнение 
имеет решение.
Задание 4. Решите уравнение x2 -2xcosa+1=0 при всех значениях параметра а.
Задание 5. Решите уравнение 9cos4x -12acos2x +2a2+9= при всех значениях параметра а.
Задание 6. Решите неравенство sin4x + cos4x
a при всех значениях
параметра а.
Задание 7. При каких значениях параметра а
уравнение cos22x - (a2 – 3)cos2x +a2 – 4 =0
имеет ровно два корня на промежутке 
Задание 8. Найдите все значения параметра a,
при каждом из которых множество значений функции
содержит
отрезок [2;3].
Задание 9. При каких значениях параметра t уравнение sinx + cosx –sinxcosx =t имеет решение?
Задание 10. Найдите все значения параметра k,
при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение
на отрезке 
Задание для классификации - классифицируйте предлагаемые задания:
1) по уровню сложности
2) по используемым приемам преобразования тригонометрических выражений
3) использующие при своем решении информацию об области определения тригонометрических выражений
4) использующие при своем решении информацию о множестве значений тригонометрических функций
5) сводящиеся к исследованию множества решений квадратного уравнения или неравенства
6) требующие умения выполнять разложение выражений на множители
7) предполагающие аналитический способ решения
8) предполагающие координатно – параметрический способ решения
9) предполагающие использование геометрической интерпретации с использованием плоскости “переменная – значение”.
Примечание: одно и то же задание может попасть в несколько классификационных рубрик.
- Выберите те задачи, которые, с Вашей точки зрения, Вы сможете решить.
- Выберите те задачи, которые, с Вашей точки зрения, Вам понравилось бы решать.
- Попробуйте подобрать аргументы для обоснования Вашего выбора.
Перед выполнением классификации можно задать те “каверзные” вопросы, которые группы подготовили заранее.
Совместно формируется порядок представления заданий учащимися из пяти групп.
Поскольку учащиеся выбрали для решения задачи 2, 3, 4, 5, 7, 9 по жребию выбирался группой номер задачи и представлялся алгоритм её решения (для того чтобы не распылять внимание учащихся, детали решения не проверялись, если ответы групп учащихся совпадали).
Презентации решений учащихся выводятся на экран с помощью АРМ учителя.
Краткие комментарии к обсуждению решений.
Противоречия в ответах к задаче 2, дискуссия по поводу включения – исключения точек (-1) и (0). Учитель обращает внимание учащихся на необходимость отслеживать все разветвления алгоритма.
Одна из групп представляет неверное решение задачи 3. Способ решения отличается от предполагаемого учителем и состоит в избавлении от иррациональности. Учащиеся при этом забывают о требовании не отрицательности правой части уравнения.
В качестве вызова учитель предлагает решить
вместо уравнения неравенства, заменив знак “=”
на “” или “
”. Приветствуется указание учащихся
на уже изученные схемы равносильных переходов
при решении иррациональных неравенств.
Анализируется ошибочный случай включения
значений параметра 
в ответ в задании 7. Совпадения
решений двух ветвей рассматривается как одно
решение. В качестве информации к размышлению
можно представить неравенство (сos2x-1)(cos2x-a2+4)
0 и инициировать
обсуждение темы кратных корней уравнений.
Бурное обсуждение вызвало решение задания 9. Одна из групп учащихся представила график, полученный в программе Advanced Grapher для функции, стоящей в левой части исходного уравнения, и получила вывод, что множеством её значений является отрезок [-2;1]. Конкурирующая группа учащихся построила тут же этот график с соответствующими горизонтальными направляющими, и, увеличив масштаб, продемонстрировала, что касания с линией t = -2 нет. Поскольку увеличение масштаба не привело к изменению ситуации с касанием с верхней горизонтальной линией, первая группа настаивала на том, чтобы решение задачи было зачтено хотя бы частично.
Единственным значимым аргументом конкурентов стало отсутствие возможности на ЕГЭ воспользоваться какими-либо графопостроителями. Тем не менее, остался открытым вопрос, при каких реальных обстоятельствах можно опираться на результаты численных расчетов и почему по большей части на экзаменах не допускаются в ответах округления числовых величин.
Рисунок 1
Рисунок 2
Верного решения задания 9 нет. Поступает предложение выполнить замену переменных sinx + cosx = p, учащиеся озвучивают “противоречие”: 1 +sin2x = p2.
t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2, построенный график t(x) дает совершенно иное множество значений функции t.
Рисунок 3
Противоречие снимается требованием
аккуратной замены: t(x) = sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2 только при
sinx +cosx 0
Полосы, внутри которых координаты точек удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой.
Рисунок 4
При sinx +cosx <0 :
t(x) = -sqrt(1+sin(2x))-sin(2x)/2.
Полосы, внутри которых координаты точек к удовлетворяют неравенству, выделены штриховкой
Рисунок 5
Урок стремительно близится к окончанию. Задачи 1, 6, 8, 10 не нашли своих почитателей. Во время представления алгоритмов решения задач, выбранных группами, учитель просмотрел классификацию заданий, проведенную учащимися в начале урока. Судя по информации в таблицах, задания 1, 8, 10 оцениваются учащимися как особо сложные и идей по их решению не возникает. Задание 6 вызвало на предварительном этапе расхождение в ответах, потому его для презентации учащиеся не выбирали.
Домашнее задание: модифицируйте рассмотренные задачи и предложите свой вариант их решения. Возможные пути модификации: превратите заданные уравнения в неравенства; измените числовые коэффициенты, сформулируйте иные вопросы к условию задачи.
Учитель также предлагает рассмотреть его аналитическое решение выбранных учащимися задач и к следующему занятию прокомментировать достоинства и недостатки решений.
Рефлексия.
Учащиеся требуют в качестве внешнего атрибута рефлексии “ШЕСТЬ ШЛЯП”.
Поскольку их в наличии нет, договариваемся, что каждая из 5 групп мысленно выбирает цвет шляпы, любой, за исключением красного (так как эмоций хватало во время споров), и высказывает свое отношение к прошедшему занятию.
“Белая шляпа”: из предложенных десяти заданий успели рассмотреть только 6. Во многих задачах были недочеты в решениях. Использование компьютера в качестве помощника на стадии подготовки переросло в неверное доказательство. Тригонометрические неравенства мы решать не умеем.
“Черная шляпа”: уровень задач явно превышает наши возможности. На ЕГЭ тригонометрия только в простейшей задаче с полным решением, нам не нужны подобные модели к задаче ЕГЭ с параметром. У нас есть ошибки в отборах корней тригонометрических уравнений на промежутках, этому надо уделять время учебных занятий. Состав групп неравноценен. Жребий позволял первым группам выбирать более простые задания, это никак не учитывалось в оценках. Можно было не предлагать специально ошибиться в решениях, и без этого ошибок хватало.
“Желтая шляпа” Хорошо, что сейчас, а не в конце 11 класса мы увидели сложные задачи. У рассмотренных задач есть алгоритмы решения, просто к ним нужно приучить свои мозги. В учебнике все подпункты параграф 11 представляют собой семейства “задач с параметрами”, так как их решение строится по похожим алгоритмам.
Есть время определиться с “потолком” компетентностей. А может кто-то захочет принять участие в конкурсах или олимпиадах? Можно считать, что начало дорожки к ним мы уже увидели.
“Зеленая шляпа” Мне представляется, что решение подобных задач более всего подходит программистам. Им необходимо делать условные переходы, обходить критические значения, чтобы программы не повисли, наверняка, существует банк программ, рассматривающих вопросы тригонометрии. Нужно только принять позицию программиста, и дело стронется.
“Синяя шляпа” - учитель. Хочется согласиться со всеми замечаниями и высказываниями, кроме совсем уж прагматических. Да и прагматикам, стоит иметь ввиду, что никогда не можешь знать, что от тебя потребует жизнь в той или иной ситуации.
Есть предложение провести консультацию по решению оставшихся нерешенными задач, участие в консультации добровольное, задач подобного уровня сложности в ближайшее время на контрольных и диагностических работах не будет.
Подведение итогов.
Ребята, сегодня мы вместе сделали шаг, пусть небольшой, на пути творческого поиска решений в тригонометрии. Я уверена, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения.
При выполнении письменной зачетной работы вы будете иметь возможность выбора определенного типа заданий. Я надеюсь, что и задачи с параметрами не будут обойдены Вашим вниманием.
Спасибо вам за активную работу на уроке. Занятие окончено. До свидания!
В Приложении 1 содержатся комментарии и краткое решение предложенных задач.
В Приложении 2 приведен список литературы, использованной при построении занятия и необходимое материально – техническое оборудование.
В Приложении 3 представлены графики, использованные при подготовке к уроку, построенные в программе Advanced Grapher.